Jan. 19th, 2014

1+2+3

Jan. 19th, 2014 07:56 pm
Всюду в последнее время попадаются ссылки на научно-популярное видео, где объясняют зрителю, что сумма всех натуральных чисел 1+2+3+4+5+... вовсе не уходит в бесконечность, а равна на самом деле -1/12.



Даже настоящие ученые написали об этом удивительном факте - например, астроном Фил Плейт.

Пошла уже даже обратная волна (правда, поменьше первоначальной) - обеспокоенные математики стремятся разъяснить, что бесконечная сумма положительных целых чисел не может равняться отрицательной дроби, но как-то это не очень звучит убедительно.

Что на самом деле происходит? Предположим, у нас есть формула, которая выражает сумму сходящегося бесконечного ряда. Ну скажем, 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... - хорошо известно, что этот ряд все время приближается к двойке, никогда не достигая ее (сумма становится один и три четвертых... один и семь восьмых... один и пятнадцать шестнадцатых....), и поэтому математики называют двойку суммой этого всего бесконечного ряда. Есть формула, которую легко вывести, что сумма сходящейся бесконечной геометрической прогрессии, в которой каждый следующий член получается из предыдущего умножением на X - в этом примере X = 1/2 - сумма всего ряда равна 1/(1-X). Если подставить вместо X 1/2, получится двойка, все сходится.

Но теперь, когда у нас есть формула 1/(1-X), мы можем применить ее, и когда X равно 3, например, т.е. каждый следующий член в три раза больше предыдущего: 1 + 3 + 9 + 27 +... Получим, что "сумма" равна -1/2. Значит ли это, что действительно, суммируя 1 + 3 + 9 + 27 + ... мы будем приближаться к минус половине? Нет, конечно. Формула для суммы геометрической прогрессии верна только когда эта сумма сходится; для X=3 мы ее применили неправомерно, как бы метафорически. По аналогии с сходящимся рядом, можно записать как бы метафорическую "сумму" расходящегося ряда 1+3+9+27+... Есть ли в этом какой-то смысл? Какой-то есть, но не прямой. В математике все настолько взаимосвязано, что даже неправомерное применение формулы скорее всего как-то связано с членами ряда, хоть суммой его результат можно назвать лишь метафорически. Если мы подробнее разберем, как получилась формула 1/(1-X), и более тщательно рассмотрим промежуточные вычисления перед ее получением, то может выйти, скажем, что мы получим что-то вроде 1/(1-X) плюс "еще что-то", так, что это "еще что-то" уходит в ноль для рядов, которые сходятся, а в рядах, которые расходятся, подавляет собой все остальное.

То есть, может быть, верно сказать что-то вроде: в сумме 1 + 3 + 9 + 27 + ... в определенном смысле "таится" минус половина, но ее вклад затмевается собственно огромными и быстро растущими членами ряда; а в сумме 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... "таится" двойка, которую не удается затмить уменьшающимся и уходящим в ноль членам ряда. Но это, конечно, не дает нам оснований утверждать, что сумма 1 + 3 + 9 + 27 + ... "на самом деле" равна -1/2.

С суммой натуральных чисел 1+2+3+... все происходит примерно так же, просто формулы там сложнее, чем 1/(1-X). Там тоже "таится" в определенном смысле -1/12, и это очень интересно, и возможно даже объясняет кое-что в физике теории струн, хоть до конца непонятно, как это в точности там работает; но называть это суммой в прямом смысле, а не в метафорическом - нонсенс.

(при этом в том видео, на которые все дают ссылки, все "объясняют" даже не в таком метафорическом духе, что я описал выше, а как бы получают это -1/12 путем манипуляции расходящихся рядов вроде 1-1+1-1+1-1+1-1... Это чистый обман народа и фричество; хорошо известно, что складывая и переставляя члены в таких рядах, можно получить любой желаемый результат, математики это учат на первом курсе университета. То есть, если в принципе -1/12 имеет некое отношение к ряду 1+2+3+..., в научно-популярным видео к нему приходят фальшивым путем, не имеющим ничего общего с реальной связью)

Более подробные объяснения есть в этом блоге, а совсем строгий математический вывод есть у Терри Тао.
Я тут недавно выяснила, какая была "норма выработки" у литературных переводчиков в советские времена. Это был ШОК!!! я даже забыла сразу об этом написать. Для тех, кто не в теме: авторский лист - единица измерения интеллектуального писательского /переводческого труда, 24 стандартные машинописные страницы или 40 тысяч знаков с пробелами. В общем, стандартная книшшка популярного жанра объемом страниц в 300 - это примерно 12 авторских листов. И вот, оказывается, простой советский переводчик мог переводить... тада-ааам! - один, прописью, авторский лист в месяц и жить себе спокойно. Иногда даже - в Доме творчества, по системе, ткскзть, олл инклюзив, но только, в отличие от турецкого отеля - и вовсе бесплатно. И, судя по всему, не просто "жить", а "жить не бедствуя" - ПЕРЕВОДЯ ОДНУ СТРАНИЦУ В ДЕНЬ!!!111


В Фейсбуке я видел уточнение - не знаю, насколько достоверное - что лит. переводчикам платили 120-130р. за авторский лист; такая сумма в месяц это, наверное, скорее "стесненные обстоятельства", но если в два раза больше, т.е. две страницы в день, то уже вполне нормально, инженеры завидуют. Так мне помнится.

March 2014

S M T W T F S
       1
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 131415
16171819202122
23242526272829
3031     

Most Popular Tags

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Jun. 26th, 2017 08:45 pm
Powered by Dreamwidth Studios