Вот набросок доказательства Крипке первой теоремы о неполноте Гёделя, о котором я писал несколько дней назад. К сожалению, дать полностью законченное доказательство, не предполагающее знание формальной логики, выше моих сил (нет времени и терпения на это). Поэтому это доказательство, скорее всего, будет непонятно тем, кто не знает, что такое: формальная логика, структура, модель, формальная теория, язык арифметики, PA (формальная теория арифметики Пеано), стандартная модель PA, нестандартная модель PA.

Мы начинаем с формальной системы T, насчёт которой известно:
1) Она расширяет арифметику Пеано PA (в частности возможно T=PA)
2) У неё есть рекурсивная аксиоматизация
3) Она Σ2 - корректна. Это значит, что все Σ2 утверждения, которые она доказывает, истинны.

О Σ-2-корректности )

Исходя из этих условий, мы докажем следующее: T неполна. То есть, существует утверждение φ такое, что T не доказывает его и не опровергает (т.е. не доказывает ¬φ).

дальше... )
В некотором роде апдейт к записи на прошлой неделе на ту же тему.

В FOM я решил не писать, так как, перечитав архивы, обнаружил что Torkel Franzen сделал это раньше меня и куда удачнее (лаконичнее). Ещё раз перечитал статью Floyd & Putnam и окончательно убедился, что лажа.

Стоит, однако, обратить внимание на разные варианты доказательства теоремы Гёделя, путаница между которыми часто приводит к печальным последствиям. Виттгенштейн, например, пересказывает неформальный семантический аргумент, при этом не понимая различия между семантикой и синтаксисом и не сознавая (тут кроется ирония), что семантика тут и не нужна на самом деле.

Update: вместо небольшого рассуждения о видах доказательств теоремы Гёделя у меня вышло что-то вроде введения в саму теорему и её доказательство. Всё это под элжекатом, вопросы и поправления (если где-то что-то забыл или перепутал) принимаются.
дальше... )

March 2014

S M T W T F S
       1
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 131415
16171819202122
23242526272829
3031     

Syndicate

RSS Atom

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Jun. 24th, 2017 12:16 am
Powered by Dreamwidth Studios