Jan. 15th, 2014

[livejournal.com profile] mitrius цитирует Н.В.Масленникову, доцента философского факультутеа МГУ:
Скажем, что настоящий прорыв в славистике совершил Павел Йозеф Шафарик (1795--1860), одни лишь «Славянские древности» которого (не говоря уже о прочих трудах) ставят его и по сей день на недосягаемую высоту, а славянский патриотизм и Божественная, пронзающая толщу веков, интуиция отметают всяческие сомнения в правомерности его научных открытий и оценок...
Славно сказано. Я тоже хочу такую пронзающую толщу веков интуицию. Чтобы отмелись всяческие сомнения.
В комментариях к вчерашним задачкам про непрерывные функции несколько человек рассказали, что решили, но никто не описал подробно свое решение. Вот мои доказательства, для тех, кто сам не решил, но интересно. Дальше следуют спойлеры:


1. а) Действительная функция f выполняет заключение теоремы о промежуточном значении. Дано также, что она принимает каждое возможное значение ровно один раз. Доказать, что она непрерывна. б) Обобщить на случай, когда f принимает каждое возможное значение только конечное число раз.

Решение сразу для 1б). Рассмотрим произвольную точку x0, в которой f(x0)=y0, и выберем интервал (y0-ε,y0+ε) вокруг ее значения. У двух точек y0-ε и y0+ε вместе есть только конечное число прообразов, поэтому мы можем найти такой достаточно маленький интервал (x0-δ,x0+δ) вокруг x0, в котором не лежит ни один из этих прообразов этих двух конкретных точек. Тогда для любой точки x в этом интервале ее значение f(x) не может выходить за пределы (y0-ε,y0+ε): например, если f(x) > y0+ε, то согласно заключению теоремы о промежуточном значении, которому подчиняется f, между x и x0 найдется x' с f(x') = y0+ε, т.е. прообраз, которого, мы знаем, там нет. Мы показали, что образ интервала (x0-δ,x0+δ) целиком заключен в интервале (y0-ε,y0+ε), и тем самым доказали непрерывность f в точке x0.


2. Пусть n - четное число. Доказать, что не существует непрерывной действительной функции f, принимающей каждое возможное значение ровно n раз.

Сначала докажем для случая, когда "каждое возможное значение" относится ко всему R, а не только к области значений f. Рассмотрим n прообразов значения 0 (т.е. n нулей функции f), обозначим их x1...xn слева направо. Они делят ось x на n+1 областей: от минус бесконечности до x1, между соседними иксами, и от xn до плюс бесконечности. В каждой отдельной области функция f может быть либо только положительной, либо только отрицательной: если бы она внутри области принимала и положительное и отрицательное значения, это бы создало согласно теореме о промежуточном значении еще один ноль там, где его быть не может. Поэтому мы можем классифицировать каждую область как "отрицательную" или "положительную". При этом две крайние области должны быть разных знаков: если бы скажем они обе были отрицательными, то у функции был бы глобальный максимум, т.к. на интервале [x1,xn] она ограничена, и тогда ее областью значения не может быть все R. Скажем для примера, что крайняя левая область отрицательная, а крайняя правая положительная.

Выберем в каждой из n+1 областей какую-то репрезентативную точку y, и возьмем ε так, чтобы он был меньше, чем абсолютные значения функции на всех репрезентативных точках f(y0)...f(yn). Тогда теорема о промежуточном значении в применении к репрезентативным точкам и границам областей гарантирует нам следующее. В крайней левой области как минимум один прообраз -ε, в крайней правой области как минимум один прообраз +ε, а в каждой внутренней области как минимум два прообраза либо -ε, либо +ε, в зависимости от того, отрицательная это область или положительная. Суммируя все эти гарантии, мы видим, что на два значения -ε,+ε вместе у нас гарантировано как минимум 1+1+2(n-1)=2n прообразов. Но согласно условию, эти две точки обязаны вместе иметь ровно столько прообразов. Значит, все "как минимум" в гарантиях на самом деле "в точности".

Но теперь мы приходим к противоречию, пытаясь подсчитать, скажем, прообразы +ε. Один прообраз от крайней правой области, и по два от каждой внутренней положительной области вместе дают точное число прообразов +ε. Но эта сумма не может быть четным числом n.



Теперь предположим, что условие позволяет, чтобы областью значения f было не все R, т.е. кол-во прообразов каждого значения либо n, либо 0. Тогда уже необязательно, чтобы крайние области были разных знаков, и именно в случае, когда они одного знака, скажем, обе отрицательные, доказательство выше не работает. Но в этом случае у функции есть глобальный максимум M. Ту же классификацию на области, что мы делали с помощью нулей функции, проведем теперь относительно n прообразов значения M. Тогда выйдет, что все области отрицательные, и же выбор ε по той же системе, что и раньше, показывает, что M-ε гарантированно имеет 2n прообразов, а никак не n - противоречие.
[livejournal.com profile] chingizid:
"На всякий случай напоминаю, что всякое публичное заявление о вреде курения я полагаю бессмысленным визгом, а его источник при всем желании не могу считать разумным собеседником, заслуживающим соответствующего отношения. Так что постарайтесь не палиться, граждане запуганные."

Это лихо закручено, конечно.

У меня вот есть определенные сомнения насчет характера и размера риска от пассивного курения - в этой области было немало статей, которые ничего не находили, а те, что находили, демонстрировали корреляции небольшого размера, которые необязательно указывали на причинно-следственную связь. Я много лет не смотрел на эту область, но в середине 2000-х там многое казалось относительно шатким.

Но отрицать вред активного курения, да еще и в терминах "бессмысленного визга" и "не считать разумным собеседником" - это да. Это сильно. Тут остается только покачать головой.

P.S. Дорогие друзья, мой совет: никогда не пользуйтесь словом "визг" (или "верещание" итп.) для описания слов оппонента в любом споре. Даже если это политическая ругань. Даже если это гнусная ложь, полная эмоциональных наскоков. Просто не говорите так. Это в первую очередь плохо характеризует вас самих.

P.P.S. Статья, на которую там ссылка, очень глупая, конечно. Там полно всяких искажений и полуправд, но мне бросилось в глаза - уже в начале сказано про ВОЗ, что у него бюджет в несколько триллионов долларов. Это уже относится к числовой грамотности, наверное. Подумаешь, миллиард, триллион, какая разница. Подумаешь, что несколько триллионов - это бюджет всех США, какая разница. Это написано для читателей, для которых "миллиард", "триллион", "ВОЗ" - какие-то абстрактные слова, о которых можно написать что угодно.

March 2014

S M T W T F S
       1
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 131415
16171819202122
23242526272829
3031     

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Oct. 20th, 2017 10:45 am
Powered by Dreamwidth Studios