о корнях

[avva]

Простое доказательство того, что кубический корень из 2 - иррациональное число.

Предположим, что рациональное и равно p/q, тогда эта дробь в третьей степени равна 2, т.е. p^3 = 2*q^3, или p^3=q^3+q^3. Это противоречит великой теореме Ферма, что и требовалось доказать.

Легко видеть, что этот же метод доказывает, что корень любой степени n>2 из двойки - иррациональное число. К сожалению, великая теорема Ферма - недостаточно мощный инструмент для того, чтобы доказать, что квадратный корень из 2 иррационален, и для этого нужно использовать другие методы.

(источник, где еще много такого)

Comments

[natomist.livejournal.com]

Интересно, а где-нибудь составлена иерархия зависимостей теорем? А то может выясниться, что доказательство теоремы Ферма тоже базируется на предположении, том что корень из 2 - иррациональное число :-)

[dims12.livejournal.com]

Скоро составят. Как раз когда машины начнут править миром. А потом они уничтожат нас быстрее, чем вы успеете сказать "тральфамадор" :)

[taki-net.livejournal.com]

БТФ не касается квадратов и квадратных корней.

Даже если ее доказательство зависит от иррациональности кубического корня - эта иррациональность доказывается независимо.

[dims12.livejournal.com]

Причём топик закрыт, как водится :)

[avva.livejournal.com]

Ага.

[migmit.livejournal.com]

Одному студенту дали на экзамене задачку: перечислить все конечные группы с ровно двумя классами сопряжённости. Он улизнул из аудитории и попросил пару моих приятелей помочь. Те подумали и сказали, что такая группа несомненно будет простой, после чего послали его к теореме о классификации конечных простых групп.

[alex-levit.livejournal.com]

Честно говоря, мне тоже пришло в голову доказательство с использованием теоремы о классификации. Раз классов всего два, то все неединичные элементы имеют один порядок. Значит, по теореме Силова, порядок группы является степенью простого. С другой стороны, группа простая, значит имеет четный порядок. Значит это группа из двух элементов. Простое доказательство я придумал только когда писал этот коммент.

[migmit.livejournal.com]

На моей памяти был только один случай, когда на экзамене была дана задача, требующая подобной тяжёлой техники. Когда Старков достал Берлова окончательно, выпрашивая у него задачку на пятёрку, тот в итоге сунул ему нерешённую проблему.

[alex-levit.livejournal.com]

Кажется тот же Берлов без задней мысли попросил студента описать все автоморфизмы поля комплексных чисел. Студент был толковый и доказал что их несчетное число.

[alex-levit.livejournal.com]

Для вычисления предела х^n/exp(x) можно использовать гипотезу P!=NP.

[(Anonymous)]

Насколько я понимаю, из P != NP следует только существование такого k, что х^n/exp(x^k) -> 0.

[(Anonymous)]

Там прямо на второй странице есть доказательство для квадратного корня с использованием теоремы Ферма о прямоугольном треугольнике (БТФ для n=4 – её частный случай).

[(Anonymous)]

Больше всего понравилось доказательство равенства
Sum[k = 0..n, (-1)^k * Binomial[n,k]] = 0.

[tata-akivis.livejournal.com]

Красиво!