2015 IMO

[avva]

Оказывается, уже есть условия Международной Математической Олимпиады-2015 (она проходила в прошлую пятницу и субботу; даже результаты уже есть). Порешаем, пацаны кореша друзья дамы и господа?

Как всегда, слишком много геометрических задач, три из шести. На мой взгляд, это примерно на три задачи больше, чем стоило бы.

Из оставшихся шестую я решил в уме минут за 15, что позволяет предположить, что это самая простая из задач, для того, чтобы детям не было обидно не решить ни одной. О задачах номер 2 и 5 еще подумаю с ручкой и бумагой. За геометрические наверное не буду и браться, бесполезно. У меня очень плохо с геометрическим воображением, и даже когда в детстве участвовал в олимпиадах, геометрические задачи всегда выходили хуже всего.

Update: пардон, был неправ. Шестую задачу в уме не решил. Приблизился к решению, но ошибся и подумал, что она сильно проще, чем на самом деле.

Comments

[aka-mik.livejournal.com]

" и даже когда в детстве участвовал в олимпиадах, геометрические задачи всегда выходили хуже всего"

Да, у нас в физ-мат лицее это было самым сложным

[liveuser.livejournal.com]

Да!

Не претендую на международный уровень, но у меня в ФМШ это было примерно 5-5-4-5-2-4-2, где двойки стабильно получал за геометрию, неважно, задача ли это на построение или вписанный во что-нибудь шар. В средней школе любую двумерную задачу старался свести к арифметической - обозначал все неизвестное буквами (обычно штук десяти хватало), вспоминал все известные формулы и выводил одно через другое. Учителя все это проверяли с большой неохотой :-)

Были и исключения - в ФМШ был товарищ, которому отлично давались и алгебра, и геометрия. Они с преподавателем строили на доске проекции трехмерных объектов, а я начинал воспринимать все это как хаотичный набор линий где-то с десятой секунды.

[migmit.livejournal.com]

Ну дык так оно и решается по-нормальному: выписать ВСЁ, после чего решать уравнения. Я так обычно и делал. Правда, до того, чтобы считать базис Грёбнера, я всё-таки не дошёл.

[dreamer-other.livejournal.com]

Ну да, одна функция очевидная. Как доказать, что других нет?

[migmit.livejournal.com]

Никак, они есть.

[avva.livejournal.com]

Есть еще одна, и подозреваю, что это все, но доказать не могу пока.

(если бы доказать, что f инволюция, тогда легко...)

[cousin-it.livejournal.com]

Я пока доказал только, что на целых числах возможны только эти две функции. Как распространить на все действительные числа, пока не знаю.

[avva.livejournal.com]

Да, я тоже.

[lrudman.livejournal.com]

смешно - и я тоже. :) практически сразу. x->x и x->2-x. Тривиально доказывается отсутствие других решений в предположении, что функция принимает все действительные значения, что, разумеется, ниоткуда не следует, увы (в смысле-что я пока не вижу, как это доказать).
Забавно, что во второй задаче тоже практически сразу вылезают 2 (с точностью до перестановок) решения {2,2,2} и {3,2,2} и кажется очень правдоподобным, что других нет

[Вячеслав Аскери (from livejournal.com)]

Через дифф. уравнение с условиями f(0)=2,f(1)=1,f(2)=0.

[migmit.livejournal.com]

А функция, конечно, вся из себя дифференцируемая.

[Вячеслав Аскери (from livejournal.com)]

Вы правы.

[boris sivko (from livejournal.com)]

А откуда вы знаете что простая? У вас есть ответы? Или строгое док-во наверняка?

Я вообще поражаюсь местному Curse of Knowledge. Каждый находит задачу, которая лично ему самая легкая, и называет её самой простой.

[avva.livejournal.com]

Шестую задачу я могу объяснить, если надо.

[migmit.livejournal.com]

Утешительная — первая. Решение белым цветом:

[p2004r.livejournal.com]

И четвертая судя по статистике

[inkogniton.livejournal.com]

Я даже пытаться не стала. Я никогда не пытаюсь, всё равно ничего не могу решить. А геометрия это мой ночной кошмар. Когда-то меня поставили ассистировать курс для продвинутых по простой евклидовой геометрии. Ни я, ни сам профессор, геометрию не знали и учили по ходу пьесы. Как же я измучилась тогда. Благополучно и радостно забыла всё опять как только курс закончился. Эх, мне бы не задачки олимпиадные, мне бы мой интеграл посчитать. Уже полтора года, зараза такая, чтоб ему пусто было, а мне полно, не считается.

[karpion.livejournal.com]

Что за интеграл-то?

[inkogniton.livejournal.com]

Плотность состояний для (локально) не каллибровочно-инвариантной орбитальной модели Вегнера:)

[nicky rosenblatt (from livejournal.com)]

>Как всегда, слишком много геометрических задач, три из шести. На мой взгляд, это примерно на три задачи больше, чем стоило бы.

Значит ли это, что по вашему мнению геометрическим задачам не место на математических олимпиадах?

У меня наоборот, всегда хорошо было с геометрией, за счёт неё выплывал часто на олимпиадах. Зато совсем плохо с шахматами, например.

[migmit.livejournal.com]

Математические олимпиады — тоже.

[(Anonymous)]

Какой-то вы странный. А что, они все должны были быть и чемпионами мира и профессиональными математиками? А времени в сутках хватит?
То, что способности к математике и к шахматам - взаимосвязаны, это очевидный факт. Посмотрите какие факультеты обычно выигрывают командные чемпионаты университетов - в 90% случаем это математический.

По поводу же чемпионов мира к тем случаям которые вы перечислили сходу добавлю:

Таль научился читать в три года и обладал способностями к математике (уже в пять лет перемножал в уме трёхзначные числа.
Карпов в детстве побеждал на математических олимпиадах, закончил мат. школу и в университет поступил на мехмат.

[burivykh.livejournal.com]

Как всегда, слишком много геометрических задач, три из шести. На мой взгляд, это примерно на три задачи больше, чем стоило бы.

В такой формулировке, боюсь, не могу согласиться. Есть разные способы мышления — и я не вижу, почему один из них вообще должен отсутствовать на олимпиаде.
Кстати, первая задача, если прочесть условие, выглядит вполне разумно: нас просят расставить точки так, чтобы от любых двух была бы третья на равном расстоянии, но (в пункте б) ) еще и с дополнительным условием, что не бывает точки, от которой на равных расстояниях целых три.
Например, это означает, что выбор одной из точек A задает перестановку остальных: сопоставление точке B точки C, равноудаленной от A и B: как раз таки из-за условия отсутствия центров это взаимно-однозначное отображение.
Нет, я эту задачу еще не дорешал — но я не вижу тут каких-то сверхсложных именных прямых в треугольнике, с которыми задача делается, а без них нет.

[john romero (from livejournal.com)]

http://www.artofproblemsolving.com/community/c105780_2015_imo