2015 IMO

[avva]

Оказывается, уже есть условия Международной Математической Олимпиады-2015 (она проходила в прошлую пятницу и субботу; даже результаты уже есть). Порешаем, пацаны кореша друзья дамы и господа?

Как всегда, слишком много геометрических задач, три из шести. На мой взгляд, это примерно на три задачи больше, чем стоило бы.

Из оставшихся шестую я решил в уме минут за 15, что позволяет предположить, что это самая простая из задач, для того, чтобы детям не было обидно не решить ни одной. О задачах номер 2 и 5 еще подумаю с ручкой и бумагой. За геометрические наверное не буду и браться, бесполезно. У меня очень плохо с геометрическим воображением, и даже когда в детстве участвовал в олимпиадах, геометрические задачи всегда выходили хуже всего.

Update: пардон, был неправ. Шестую задачу в уме не решил. Приблизился к решению, но ошибся и подумал, что она сильно проще, чем на самом деле.

Comments

[dreamer-other.livejournal.com]

Ну да, одна функция очевидная. Как доказать, что других нет?

[migmit.livejournal.com]

Никак, они есть.

[avva.livejournal.com]

Есть еще одна, и подозреваю, что это все, но доказать не могу пока.

(если бы доказать, что f инволюция, тогда легко...)

[cousin-it.livejournal.com]

Я пока доказал только, что на целых числах возможны только эти две функции. Как распространить на все действительные числа, пока не знаю.

[avva.livejournal.com]

Да, я тоже.

[lrudman.livejournal.com]

смешно - и я тоже. :) практически сразу. x->x и x->2-x. Тривиально доказывается отсутствие других решений в предположении, что функция принимает все действительные значения, что, разумеется, ниоткуда не следует, увы (в смысле-что я пока не вижу, как это доказать).
Забавно, что во второй задаче тоже практически сразу вылезают 2 (с точностью до перестановок) решения {2,2,2} и {3,2,2} и кажется очень правдоподобным, что других нет

[Вячеслав Аскери (from livejournal.com)]

Через дифф. уравнение с условиями f(0)=2,f(1)=1,f(2)=0.

[migmit.livejournal.com]

А функция, конечно, вся из себя дифференцируемая.

[Вячеслав Аскери (from livejournal.com)]

Вы правы.