![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
решение задачки
Вот очень красивое (по-моему) решение непростой математической задачки, которую я поместил в журнале в ночь на воскресенье.
Если кто-то не хочет смотреть, а хочет решать сам, не заглядывайте под лж-кат.
Итак, у нас есть четырёхугольник ABCD в пространстве, так что все его стороны касаются одной и той же сферы. Обозначим точки касания T1, T2, T3 и T4 (по порядку обхода: т.е. T1 - точка касания стороны AB, T2 - стороны BC, T3 - стороны CD и T4 - стороны DA). Нам нужно доказать, что эти четыре точки лежат в одной плоскости.
Сначала заметим тот очевидный факт, что расстояние от каждой вершины до любой из точек касания, связанных с этой вершиной, одинаковое: например, расстояния AT1 и AT4 одинаковые. Это следствие того общего факта, что расстояние от точки A до любой точки касания T на сфере по какой-то касательной AT не зависит от выбора T, а зависит только от A и сферы (например, из соображений симметрии; просто нарисуйте в уме A и сферу в симметричном положении, и всё станет ясно). Таким образом, AT1=AT4, BT2=BT1 итд. для всех точек.
Теперь мы делаем следующее: помещаем в каждую из вершин A,B,C,D массу, равную обратному расстоянию от этой вершины до её точек касания (например, в килограммах). Скажем, в вершину A мы помещаем массу, равную 1/AT kg. Теперь достаточно напрячься и припомнить определение центра масс, чтобы заключить, что центр масс системы точек {A,B} находится в точности в точке T1, центр масс системы точек {B,C} находится точно в T2 итп.
Если мы сгруппируем точки так: {A,B} и {C,D}, то увидим, что центр масс первой группы находится в T1, второй — в T3, а следовательно центр масс всей системы находится на прямой, соединяющей T1 и T3. Если же мы сгруппируем точки так: {A,D} и {B,C}, то точно таким же образом увидим, что центр масс всей системы находится на прямой, соединяющей T2 и T4.
Т.к. это один и тот же центр масс, это одна и та же точка. Вывод: прямые T1T3 и T2T4 пересекаются. Следовательно, вместе они образуют плоскость, в которой и лежат все четыре эти точки. Что и требовалось доказать.
P.S. Решение было подправлено несколько раз в мелочах (у меня плохая память и мне надо больше спать), спасибо![[livejournal.com profile]](https://www.dreamwidth.org/img/external/lj-userinfo.gif)
oblomov_jerusal и drw.
Если кто-то не хочет смотреть, а хочет решать сам, не заглядывайте под лж-кат.
Итак, у нас есть четырёхугольник ABCD в пространстве, так что все его стороны касаются одной и той же сферы. Обозначим точки касания T1, T2, T3 и T4 (по порядку обхода: т.е. T1 - точка касания стороны AB, T2 - стороны BC, T3 - стороны CD и T4 - стороны DA). Нам нужно доказать, что эти четыре точки лежат в одной плоскости.
Сначала заметим тот очевидный факт, что расстояние от каждой вершины до любой из точек касания, связанных с этой вершиной, одинаковое: например, расстояния AT1 и AT4 одинаковые. Это следствие того общего факта, что расстояние от точки A до любой точки касания T на сфере по какой-то касательной AT не зависит от выбора T, а зависит только от A и сферы (например, из соображений симметрии; просто нарисуйте в уме A и сферу в симметричном положении, и всё станет ясно). Таким образом, AT1=AT4, BT2=BT1 итд. для всех точек.
Теперь мы делаем следующее: помещаем в каждую из вершин A,B,C,D массу, равную обратному расстоянию от этой вершины до её точек касания (например, в килограммах). Скажем, в вершину A мы помещаем массу, равную 1/AT kg. Теперь достаточно напрячься и припомнить определение центра масс, чтобы заключить, что центр масс системы точек {A,B} находится в точности в точке T1, центр масс системы точек {B,C} находится точно в T2 итп.
Если мы сгруппируем точки так: {A,B} и {C,D}, то увидим, что центр масс первой группы находится в T1, второй — в T3, а следовательно центр масс всей системы находится на прямой, соединяющей T1 и T3. Если же мы сгруппируем точки так: {A,D} и {B,C}, то точно таким же образом увидим, что центр масс всей системы находится на прямой, соединяющей T2 и T4.
Т.к. это один и тот же центр масс, это одна и та же точка. Вывод: прямые T1T3 и T2T4 пересекаются. Следовательно, вместе они образуют плоскость, в которой и лежат все четыре эти точки. Что и требовалось доказать.
P.S. Решение было подправлено несколько раз в мелочах (у меня плохая память и мне надо больше спать), спасибо
oblomov_jerusal и drw.
no subject
Re: Класс!
красиво, правда? :)
Re: Класс!
И, интересно, такое чувство, что где-то я это уже видел.
no subject
Нет, такое решение я бы не придумал. Хотя идея знакомая.
no subject
no subject
(prijatno ponjat', chto esche ne sovsem otupela - minut za pjat' reshila.
po-drugomu, pravda: perpendikuljarnye ploskosti k storonam v tochkah T1 i T2 peresekajutsja po prjamoj L12, prohodjaschej cherez centr sfery. To zhe samoe verno i pro T2 s T3 (prjamaja peresechenija tut budet L23).
znachit L12 i L23 libo sovpadajut (no togda chetyrehugol'nik uzhe ploskij), libo peresekajutsja v centre sfery. S drugoj storony, oni ochevidno peresekajutsja v centre opisanoj vokrug T1T2T3 okruzhnosti. sledovatel'no, centr sfery on i est'. to est', T1 lezhit v toj zhe ploskosti, chto i centr sfery, T2, T3. Eto zhe verno i esli vmesto T1 vzjat' T3 :-) )
no subject
no subject
Ой, это почему же?..
no subject
no subject
no subject
Esli ya pravil'no pomnyu
Re: Esli ya pravil'no pomnyu
Сфера касается рёбер AS, BS, BC и AC треугольной пирамиды SABC в точках K, L, M, N соответственно. Найти длину отрезка KL, если MN=7, NK=5, LN=2\sqrt{29} и KL=LM.
Решение (первой части) там, конечно же, предлагается безо всяких центров масс.
Re: Esli ya pravil'no pomnyu
Re: Esli ya pravil'no pomnyu
некошервнепрограммным материалом (и нам им пользоваться запрещалось; почти уверен, что вам тогда тоже -- могло сойти с рук, но могли и докопаться).В Кванте, кажется, проводят плоскость через S, параллельную плоскости LMN. Далее доказывают, что прямая KL параллельна этой плоскости, ergo, K таки лежит в плоскости LMN. (как это делается, сейчас придумывать лениво -- повозиться чуток приходится; журнал я уже убрал, доставать снова неохота). Дальше остаётся средней сложности планиметрия. Немножко муторно, зато кошерно.
Re: Esli ya pravil'no pomnyu
Naverno, eto uze ischezayushii vid sporta. Tipa "boicy vspominayut minuvshie dni...".
все гораздо проще
Re: Esli ya pravil'no pomnyu
no subject
no subject
Да уж,
Сильно.
Угу, очень красиво
(Anonymous) 2003-11-21 10:39 am (UTC)(link)Ну и, конечно, это самое A/a = B/b -- ровно и выглядывает из решения с центрами тяжестей.
Re: Угу, очень красиво
А вот еще, кажется, из давнего Кванта
http://www.livejournal.com/users/turgutmakbak/10885.html