решение задачки
Nov. 17th, 2003 02:47 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaВот очень красивое (по-моему) решение непростой математической задачки, которую я поместил в журнале в ночь на воскресенье.
Если кто-то не хочет смотреть, а хочет решать сам, не заглядывайте под лж-кат.
Итак, у нас есть четырёхугольник ABCD в пространстве, так что все его стороны касаются одной и той же сферы. Обозначим точки касания T1, T2, T3 и T4 (по порядку обхода: т.е. T1 - точка касания стороны AB, T2 - стороны BC, T3 - стороны CD и T4 - стороны DA). Нам нужно доказать, что эти четыре точки лежат в одной плоскости.
Сначала заметим тот очевидный факт, что расстояние от каждой вершины до любой из точек касания, связанных с этой вершиной, одинаковое: например, расстояния AT1 и AT4 одинаковые. Это следствие того общего факта, что расстояние от точки A до любой точки касания T на сфере по какой-то касательной AT не зависит от выбора T, а зависит только от A и сферы (например, из соображений симметрии; просто нарисуйте в уме A и сферу в симметричном положении, и всё станет ясно). Таким образом, AT1=AT4, BT2=BT1 итд. для всех точек.
Теперь мы делаем следующее: помещаем в каждую из вершин A,B,C,D массу, равную обратному расстоянию от этой вершины до её точек касания (например, в килограммах). Скажем, в вершину A мы помещаем массу, равную 1/AT kg. Теперь достаточно напрячься и припомнить определение центра масс, чтобы заключить, что центр масс системы точек {A,B} находится в точности в точке T1, центр масс системы точек {B,C} находится точно в T2 итп.
Если мы сгруппируем точки так: {A,B} и {C,D}, то увидим, что центр масс первой группы находится в T1, второй — в T3, а следовательно центр масс всей системы находится на прямой, соединяющей T1 и T3. Если же мы сгруппируем точки так: {A,D} и {B,C}, то точно таким же образом увидим, что центр масс всей системы находится на прямой, соединяющей T2 и T4.
Т.к. это один и тот же центр масс, это одна и та же точка. Вывод: прямые T1T3 и T2T4 пересекаются. Следовательно, вместе они образуют плоскость, в которой и лежат все четыре эти точки. Что и требовалось доказать.
P.S. Решение было подправлено несколько раз в мелочах (у меня плохая память и мне надо больше спать), спасибо![[livejournal.com profile]](https://www.dreamwidth.org/img/external/lj-userinfo.gif)
oblomov_jerusal и drw.
Если кто-то не хочет смотреть, а хочет решать сам, не заглядывайте под лж-кат.
Итак, у нас есть четырёхугольник ABCD в пространстве, так что все его стороны касаются одной и той же сферы. Обозначим точки касания T1, T2, T3 и T4 (по порядку обхода: т.е. T1 - точка касания стороны AB, T2 - стороны BC, T3 - стороны CD и T4 - стороны DA). Нам нужно доказать, что эти четыре точки лежат в одной плоскости.
Сначала заметим тот очевидный факт, что расстояние от каждой вершины до любой из точек касания, связанных с этой вершиной, одинаковое: например, расстояния AT1 и AT4 одинаковые. Это следствие того общего факта, что расстояние от точки A до любой точки касания T на сфере по какой-то касательной AT не зависит от выбора T, а зависит только от A и сферы (например, из соображений симметрии; просто нарисуйте в уме A и сферу в симметричном положении, и всё станет ясно). Таким образом, AT1=AT4, BT2=BT1 итд. для всех точек.
Теперь мы делаем следующее: помещаем в каждую из вершин A,B,C,D массу, равную обратному расстоянию от этой вершины до её точек касания (например, в килограммах). Скажем, в вершину A мы помещаем массу, равную 1/AT kg. Теперь достаточно напрячься и припомнить определение центра масс, чтобы заключить, что центр масс системы точек {A,B} находится в точности в точке T1, центр масс системы точек {B,C} находится точно в T2 итп.
Если мы сгруппируем точки так: {A,B} и {C,D}, то увидим, что центр масс первой группы находится в T1, второй — в T3, а следовательно центр масс всей системы находится на прямой, соединяющей T1 и T3. Если же мы сгруппируем точки так: {A,D} и {B,C}, то точно таким же образом увидим, что центр масс всей системы находится на прямой, соединяющей T2 и T4.
Т.к. это один и тот же центр масс, это одна и та же точка. Вывод: прямые T1T3 и T2T4 пересекаются. Следовательно, вместе они образуют плоскость, в которой и лежат все четыре эти точки. Что и требовалось доказать.
P.S. Решение было подправлено несколько раз в мелочах (у меня плохая память и мне надо больше спать), спасибо
oblomov_jerusal и drw.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
Re: Esli ya pravil'no pomnyu
Date: 2003-11-18 06:44 am (UTC)Re: Esli ya pravil'no pomnyu
Date: 2003-11-18 08:28 am (UTC)некошервнепрограммным материалом (и нам им пользоваться запрещалось; почти уверен, что вам тогда тоже -- могло сойти с рук, но могли и докопаться).В Кванте, кажется, проводят плоскость через S, параллельную плоскости LMN. Далее доказывают, что прямая KL параллельна этой плоскости, ergo, K таки лежит в плоскости LMN. (как это делается, сейчас придумывать лениво -- повозиться чуток приходится; журнал я уже убрал, доставать снова неохота). Дальше остаётся средней сложности планиметрия. Немножко муторно, зато кошерно.
Re: Esli ya pravil'no pomnyu
Date: 2003-11-18 10:53 am (UTC)Naverno, eto uze ischezayushii vid sporta. Tipa "boicy vspominayut minuvshie dni...".
все гораздо проще
Date: 2003-11-19 06:47 am (UTC)