решение задачки

[avva]

Вот очень красивое (по-моему) решение непростой математической задачки, которую я поместил в журнале в ночь на воскресенье.
Если кто-то не хочет смотреть, а хочет решать сам, не заглядывайте под лж-кат.



Итак, у нас есть четырёхугольник ABCD в пространстве, так что все его стороны касаются одной и той же сферы. Обозначим точки касания T₁, T₂, T₃ и T₄ (по порядку обхода: т.е. T₁ - точка касания стороны AB, T₂ - стороны BC, T₃ - стороны CD и T₄ - стороны DA). Нам нужно доказать, что эти четыре точки лежат в одной плоскости.

Сначала заметим тот очевидный факт, что расстояние от каждой вершины до любой из точек касания, связанных с этой вершиной, одинаковое: например, расстояния AT₁ и AT₄ одинаковые. Это следствие того общего факта, что расстояние от точки A до любой точки касания T на сфере по какой-то касательной AT не зависит от выбора T, а зависит только от A и сферы (например, из соображений симметрии; просто нарисуйте в уме A и сферу в симметричном положении, и всё станет ясно). Таким образом, AT₁=AT₄, BT₂=BT₁ итд. для всех точек.

Теперь мы делаем следующее: помещаем в каждую из вершин A,B,C,D массу, равную обратному расстоянию от этой вершины до её точек касания (например, в килограммах). Скажем, в вершину A мы помещаем массу, равную 1/AT kg. Теперь достаточно напрячься и припомнить определение центра масс, чтобы заключить, что центр масс системы точек {A,B} находится в точности в точке T₁, центр масс системы точек {B,C} находится точно в T₂ итп.

Если мы сгруппируем точки так: {A,B} и {C,D}, то увидим, что центр масс первой группы находится в T₁, второй — в T₃, а следовательно центр масс всей системы находится на прямой, соединяющей T₁ и T₃. Если же мы сгруппируем точки так: {A,D} и {B,C}, то точно таким же образом увидим, что центр масс всей системы находится на прямой, соединяющей T₂ и T₄.

Т.к. это один и тот же центр масс, это одна и та же точка. Вывод: прямые T₁T₃ и T₂T₄ пересекаются. Следовательно, вместе они образуют плоскость, в которой и лежат все четыре эти точки. Что и требовалось доказать.

P.S. Решение было подправлено несколько раз в мелочах (у меня плохая память и мне надо больше спать), спасибо oblomov_jerusal и drw.

Comments

Угу, очень красиво

[(Anonymous)]

Более в лоб, но, естественно, куда менее красивое решение -- проведем плоскость через три точки касания. Выпишем теперь связь высот вершин и четвертой точки касания над плоскостью и длин отрезков вершина--точка касания, либо вершина -- точка пересечения ребра с плоскостью, либо точка касания -- точка пересечения ребра с плоскостью, каждый раз рассматривая подобные треугольники с общей вершиной и катетом в плоскости, лежащие в плоскости, перпендикулярной нашей проведенной и проходящей через ребро исходного четырехугольника(оно получится составленным из гипотенуз наших треугольников). Довольно трудно объяснить без рисунка, увы, но все будет завязано на равенствах типа A/a = B/b, где А и B -- расстояния от вершин A и B до плоскости, а a и b -- их же расстояние до пересечения отрезка AB с плоскостью. Короче, если выписать через такие плюшки высоту четвертой точки касания над плоскостью, она таки и окажется равной нулю.
Ну и, конечно, это самое A/a = B/b -- ровно и выглядывает из решения с центрами тяжестей.

Re: Угу, очень красиво

[avva.livejournal.com]

Ага, спасибо, действительно, связь с центрами масс это решение хорошо проясняет.