о вращениях и др. (математическое)

[avva]

Expository papers by K. Conrad

Много небольших, обычно хорошо написанных заметок на разные математические темы, примерно на уровне конца первой/первого года второй степени по математике.

Вот, скажем, понятно и красиво написанный разбор группы изометрий плоскости с помощью комплексных чисел. Рядом - изометрии R^n с помощью ортогональных матриц.

P.S. На днях прочитал хорошее объяснение того, как с помощью кватернионов представляют вращения в трехмерном пространстве (и четырехмерном, если вам вдруг нужно). В первых двух главах "Naive Lie Theory" John'а Stillwell'а. Читаю эту книгу, нравится.

Comments

[xgrbml.livejournal.com]

Кстати, автор этих заметок хорошо владеет русским (http://www.mccme.ru/dubna/2014/courses/kconrad.htm).

[thedonreba.livejournal.com]

Наивная Теория Лжи — здорово звучит

[illy-drinker.livejournal.com]

(в сторону, шутка понятна)
x + 1/x = 1 -> x^7 + 1/x^7 = 1
Правда или Ложь?
Можно доказать без вычисления корней?

[(Anonymous)]

Можно: вычислим x^3 + 1/x^3 как разность (x + 1/x)^3 и оставшихся слагаемых (они группируются в 3(x + 1/x)), потом то же самое с пятыми степенями, потом с седьмыми. В результате f(n) = x^n + 1/x^n = f(n mod 6),
а для n = 0, …, 5 получим
f(0) = 2, f(1) = 1, f(2) = –1, f(3) = –2, f(4) = –1, f(5) = 1.

[huzhepidarasa.livejournal.com]

Тут как ни доказывай, все равно x^3=-1 само на каком-то шаге вылезает, после чего док-во можно прекращать, т.к. x^7=x.

[utnapishti.livejournal.com]

Да на самом первом шаге:
x + 1/x = 1 -> х^2-х+1 =0 -> х^3+1 = (х+1)(х^2-х+1)=0.

Я пытался сделать и так, как в анонимном комментарии, но закономерность неочевидна. Получается бесконечная матрица из биномиальных коэффициентов, и нужно доказать, что в обратной матрице суммы строк цикличны. 1, -2, 1, 1, -2, 1, ..., если брать только нечётные степени, или как в том комментарии, если брать все.

Вообще же в общем виде х + 1/x = 1 -> x^k + 1/x^k = 2 cos (k*pi/3). Наверняка есть какое-нибудь "умное" доказательство.

[utnapishti.livejournal.com]

А, вот, придумал нечто получше.
Обозначим а_к = х^к + 1/х^к
Дано а_1 = х + 1/х = 1.
Отсюда а_{к} = а_{к} а_{1} = (х^к + 1/х^к) (х + 1/х) = (х^{к+1} + 1/х^{к+1}) + (х^{к-1} + 1/х^{к-1}) = а_{к+1} + а_{к-1}.
То есть а_{к+1} = а_{к} - а_{к-1}.
Любая такая рекурсия будет иметь период 6:
a, b, -a+b, -a, -b, a-b, a, b, ...
Что, естественно, не случайно, т.к. корни характеристического уравнения, опять же, являются примарными корнями шестой степени из 1.

[(Anonymous)]

А Дмитрий Александрович Могила – ещё лучше.

[huzhepidarasa.livejournal.com]

"Naive Lie Theory"

Пользуясь случаем, хочу спросить — дает ли Гугль возможность работникам смотреть книги на books.google.com без купюр? :)

[avva.livejournal.com]

Так все же на gen.lib.rus.ec есть.

Самый полный ответ, какой я могу дать на ваш вопрос - "свободного доступа к любой книге у меня нет, но если встать на шкаф в определенной позе и настроить телескоп, можно иногда увидеть что-то, что не видно снаружи по разным причинам; но, конечно, ничего, что нарушило бы прайвеси пользователей".

[huzhepidarasa.livejournal.com]

Спасибо. Интересует именно свободный доступ в официальном режиме; с телескопом-то всяко лучше видать, это понятно.

[oblomov-jerusal.livejournal.com]

В апреле я нашел у него ошибку в статье о теореме Артина-Шрейера

[avva.livejournal.com]

так сообщите ему!

[oblomov-jerusal.livejournal.com]

Я сообщил, он исправил

[rrr2.livejournal.com]

А чем кватернионы лучше банальных матриц? Понятно, что углы Эйлера не годятся, но матрицы?

[avva.livejournal.com]

Извините, я не знаю, что такое углы Эйлера :)

Полагаю, что кватернионы, во-первых, быстрее умножать, чем матрицы 3x3, а во-вторых, при умножении меньше погрешность накапливается, если пользоваться числами с плавающей точкой - из-за того, что при умножении матриц несколько терминов сокращаются.

[avva.livejournal.com]

Но вообще я в этом не разбираюсь совсем. Просто я давно знал в самых общих чертах, что такое кватернионы, и читал пару раз, что ими пользуются для работы с вращениями, и все никак не доводилось почитать хорошее техническое объяснение, как именно это работает. Теперь вот доволен, что прочитал ;)

[variate.livejournal.com]

Много суперпозиций вращений подряд эффективнее считать и более тривиально делается интерполяция между вращениями, а это часто нужно.

[jedal]

Кватернионное описание вращений дает явный ответ на такой вопрос, например:
дано два вращения (вокруг таких-то осей, на такие-то углы), вращением вокруг какой оси и на какой угол является их композиция?
(По матрице 3x3 найти ось и угол вращения не так просто — априори даже не слишком понятно, почему любая матрица из SO(3) является вращением вокруг какой-то оси.)

[(Anonymous)]

Slerp