контрпримеры в математике

[avva]

Случайно наткнулся на смешную заметку в American Mathematical Monthly. Автор высмеивает учебники за отсутствие изобретательности в выборе контрпримеров: одни и те же контрпримеры кочуют от автора к автору и от учебника к учебнику. Он строит список утверждений, которые неопытный студент может на основании этих контрпримеров счесть теоремами (это, разумеется, не всерьёз, а для иллюстрации его тезиса). Например: "фунция на [0,1], равная 0 на рациональных числах и 1 на иррациональных — единственная функция, не интегрируемая по Риману". Или "единственные некоммутативные операции в математике — умножение матриц 2x2, вычитание целых чисел, и композиция пермутаций множества из трёх объектов". И так далее (всего 12 примеров).

Выкладываю заметку в виде картинки (50kb, англ.) для интересующихся. Кстати, он забыл включить "f(x)=e^(-1/x2), f(0)=0 — единственная неаналитическая, но имеющая производные всех порядков функция" .

Comments

[kapahel.livejournal.com]

Как, интересно, вторые части теорем 7 и 8 доказать? 8)

Замечание про «примеров мало» верное, но всем хватает, с другой стороны. Есть, например, если кому не хватает, прекрасная книга Gelbaum, Bernard R.; Olmsted, John MH: Counterexamples in Analysis.

[avva.livejournal.com]

Да, и для топологии такая книга тоже есть, не помню автора.

[kapahel.livejournal.com]

Steen Seebach
для топологии, по-моему, контрпримеры намного важнее

[flaass.livejournal.com]

У конечных группистов когда-то слышал такую фразу:
"Гипотезы бывают трех типов. Для первого типа контрпримером служит группа перестановок трех элементов; для второго - четных перестановок 5 элементов; для третьего типа контрпример надо придумывать специально."

[sova.livejournal.com]

И зачем было делать большой (и всё равно очень грязный) JPEG из маленького GIFa?

[avva.livejournal.com]

Затем, что это не был GIF, а версия в GIF занимала больше места. Я
специально загрязнил jpg, чтобы он стал поменьше. Это же не картина
Моне.

[zhenyach.livejournal.com]

Правильно приготовленный GIF таки меньше. Он не очень красив, но это потому, что сделан из этого JPEGа.

мелочная придирка

[malaya-zemlya.livejournal.com]

f(x)=exp(-1/x²)

там знак минус должен быть

ага

[kapahel.livejournal.com]

в принципе, это смотря откуда ползти

Re: мелочная придирка

[avva.livejournal.com]

Да, конечно, я описался просто.

[french-man.livejournal.com]

Не далее, как сегодня, привел три примера некоммутативных операций. Угадай, какие.

[ex-ilyavinar899.livejournal.com]

Вращение в трёхмерном пространстве?

[french-man.livejournal.com]

Увы. Именно те три, которые у аввы.

[gmz.livejournal.com]

17 - единственное произвольное натуральное число.

В интернате при МГУ был (?есть) учитель, который всегда для примера выбирал 17.

Re:

[caucasian.livejournal.com]

"Возьмем произвольное натуральное число k. Нет k мало, возьмен лучше n."

[dbg.livejournal.com]

Не единственное произвольное, а наименьшее случайное. :)

[dmpogo.livejournal.com]

К истории кубического и квадратичного уравнения

http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Tartaglia.html
http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Cardan.html
http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Ferrari.html
http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Ferro.html

Секретность сопутствовала им с начала !