![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
задачка
Непростая математическая задача с элементарным условием и очень красивым решением.
Условие: дан четырёхугольник в пространстве. Дано, что все его стороны касаются одной и той же сферы. Доказать, что все точки касания лежат в одной плоскости.
Если кто-то знает решение, не подсказывайте ;)
Условие: дан четырёхугольник в пространстве. Дано, что все его стороны касаются одной и той же сферы. Доказать, что все точки касания лежат в одной плоскости.
Если кто-то знает решение, не подсказывайте ;)
no subject
Бредовая какая-то задача. Естественно в одной. Они же все принадлежат ЭТОМУ четырехугольнику. Или это не 4-х угольник, а пирамида, т.е. объемная фигура?
no subject
Напимер, это может быть "скелет" пирамиды, да.
no subject
Вообще-то я тоже не очень понял. Ведь если четырехугольник - с внешней стороны сферы, то касаться ее он может только какой-то из своих плоскостей - то есть, в единственной точке.
no subject
В этом случае стороны не касаются сферы, а пересекаются с ней. Прямая касается сферы, если она пересекается со сферой и лежит в касательной к этой сфере плоскости.
Или вспомните, что такое касательная прямая к окружности, и вместо окружности представьте сферу. Так понятнее?
no subject
no subject
Вот полезная картинка, чтобы представить себе условие. Представьте себе большой квадрат. Поместите его мысленно в трёхмерное пространство.
Теперь возьмите одну из его вершин и "отогните" так, чтобы она отошла от первоначальной плоскости квадрата. Все остальные три вершины остаются месте. Стороны, которыми соединены другие две вершины квадрата с той, которую Вы оттягиваете, тянутся вслед за ней.
У Вас получается такая как бы искривлённая рамка (можно представить для наглядности, что она сделана из проволоки). Четыре точки и четыре стороны, но точки не лежат в одной плоскости. Теперь представьте себе, что в этот четырёхугольник "вписана" сфера так, что каждая из его сторон касается этой сферы. Представьте, что Вы как бы вталкиваете сверху шар нужного размера в эту рамку, пока он не сидит внутри неё, касаясь сферой каждой стороны. Нужно доказать, что эти четыре точки касания лежат в одной плоскости.
Теперь можно усложнить и начать не с квадрата, а с какого-то случайного четырёхугольника в плоскости, "отогнуть" одну из его вершин итд., это даст несколько более общую картину для интуиции.
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject
очень лень думать
а мне то как! но перестать думать не смог )))
будет производной от трёх остальных
неа, не будет. при наличии трёх точек (и сторон) вариантов расположения четвёртой будет бесконечно много. хотя все они таки да, будут лежать в плоскости первых трёх. ))
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject
Задачка очень хорошая, спасибо!
no subject
no subject
Только ногами не бейте :-))
Re: Только ногами не бейте :-))
(кроме всего прочего, длины сторон вовсе необязательно равны, так что квадратом это вовсе необязательно должно быть)
Re: Только ногами не бейте :-))
Хорошая задача
Можно попробовать доказать линейную зависимость любого вектора соединяющего точки касания от двух других таких векторов.
Ну, а если так???
Так, как каждая касательная сферы является стороной для двух прилежащих квадратов, то значит любые два прилежащих квадрата лежат в одной плоскости.
И тогда уже можно сделать вывод о том, что все 4-е квалрта лежат в одной плоскости.
Это означает: изначально заданный 4-х угольник является квадратом и все его стороны и вершины лежат в одной плоскости.
Кажется вот так.
Re: Ну, а если так???
(Anonymous) 2003-11-19 11:13 am (UTC)(link)Re: Ну, а если так???
Re: Ну, а если так???
Вот здесь первый пункт. Это не верно даже для плоского 4-угольника. Возьми любой прямоугольный треугольник (например, 60,30 и 90 градусов) и отобрази зеркально относительно гипотенузы. Получишь четырёхугольник 90, 60, 90, 120 градусов.
Tell me what da solution?
Была теорема (да и очевидно если рассмотреть прямоугольные треугольники с радиусами сферы), что если 2 пересекающиеся прямые обе касаются одной сферы, то отрезки прямых между точкой пересечения и точками касания со сферой равны.
Поэтому приходим вот к такой модели:
Всё, про сферу забыли :-) Здесь точки A,B,C,D - те самые точки касания.
Обозначим длины отрезков a, b, c, d (см. картинку, маленькие чёрные буковки). Соответственно, длины сторон 4угольника равны a+c, b+c, b+d и a+d.
Дальше вводим прямолинейную не-декартову систему кординат, как на рисунке, чтобы 4 вершины стали точками {0,0,0}, {1,0,0}, {0,1,0}, {0,1,1}. При таком преобразовании (все помнят?) сохраняются прямые, плоскости и отношения длин параллельных отрезков, и не сохраняются углы и отношения длин непараллельных отрезков. См. картинку — фиолетовым цветом подписаны координаты.
Дальше — немного векторов.
Координаты точек A-D: Пришли к тождеству. Значит, существуют такие x и y, что AB = x*AC + y*AD. Следовательно, эти 3 вектора в одной плоскости, следовательно, и 4 точки тоже. Как уже говорилось, то линейное преобразование сохраняет плоскости, т.е. плоскость переходит в плоскость, значит и в „настоящем “ пространстве точки A,B,C и D тоже в одной плоскости.
no subject
no subject
http://www.livejournal.com/users/avva/1004350.html