задачка

[avva]

Непростая математическая задача с элементарным условием и очень красивым решением.

Условие: дан четырёхугольник в пространстве. Дано, что все его стороны касаются одной и той же сферы. Доказать, что все точки касания лежат в одной плоскости.

Если кто-то знает решение, не подсказывайте ;)

Comments

Ну, а если так???

[tvbob.livejournal.com]

Проведем радиусы в точки касания 4-х угольника и сферы. Нам известно, что радиус окуржности(сферы) проведненный к касательной является перпендикуляром к этой касательной. Таким образом мы полчаем 4-е 4-х угольника внутри данного. При этом каждый 4-х угольник имеет два прямых угла и причем противолежащих. Исходя из того что два угла прямые, мы делаем вывод, что и вторые два угла тоже прямые. Таким образом мы приходим к мысли, что это квадрат. Следовательно мы имеем 4-е квадрата, исходя из этого мы делаем вывод, что и фигура в которую вписана сфера тоже является квадратом.
Так, как каждая касательная сферы является стороной для двух прилежащих квадратов, то значит любые два прилежащих квадрата лежат в одной плоскости.
И тогда уже можно сделать вывод о том, что все 4-е квалрта лежат в одной плоскости.
Это означает: изначально заданный 4-х угольник является квадратом и все его стороны и вершины лежат в одной плоскости.

Кажется вот так.

Re: Ну, а если так???

[(Anonymous)]

бредовня

Re: Ну, а если так???

[tvbob.livejournal.com]

A v kakom konkretnom punkte bredovnia, esli ne sekret.

Re: Ну, а если так???

[soonts.livejournal.com]

> Исходя из того что два угла прямые, мы делаем вывод, что и вторые два угла тоже прямые.
   Вот здесь первый пункт. Это не верно даже для плоского 4-угольника. Возьми любой прямоугольный треугольник (например, 60,30 и 90 градусов) и отобрази зеркально относительно гипотенузы. Получишь четырёхугольник 90, 60, 90, 120 градусов.