задачка

[avva]

Непростая математическая задача с элементарным условием и очень красивым решением.

Условие: дан четырёхугольник в пространстве. Дано, что все его стороны касаются одной и той же сферы. Доказать, что все точки касания лежат в одной плоскости.

Если кто-то знает решение, не подсказывайте ;)

Comments

[dimulka-9.livejournal.com]

СТОП.
Бредовая какая-то задача. Естественно в одной. Они же все принадлежат ЭТОМУ четырехугольнику. Или это не 4-х угольник, а пирамида, т.е. объемная фигура?

[avva.livejournal.com]

Это четырёхугольник, но он в пространстве, т.е. его вершины необязательно лежат все в одной плоскости.
Напимер, это может быть "скелет" пирамиды, да.

[karakal.livejournal.com]

Но ведь если предположить, что это - "скелет" пирамиды ВНУТРИ сферы, а точки касания - вершины пирамиды, то они в одной плоскости никак не лежат. При этом условие, вроде, не нарушается.
Вообще-то я тоже не очень понял. Ведь если четырехугольник - с внешней стороны сферы, то касаться ее он может только какой-то из своих плоскостей - то есть, в единственной точке.

[avva.livejournal.com]

это - "скелет" пирамиды ВНУТРИ сферы, а точки касания - вершины пирамиды

В этом случае стороны не касаются сферы, а пересекаются с ней. Прямая касается сферы, если она пересекается со сферой и лежит в касательной к этой сфере плоскости.

Или вспомните, что такое касательная прямая к окружности, и вместо окружности представьте сферу. Так понятнее?

[dimulka-9.livejournal.com]

СТОП еще раз. Сторон получается 6. Или мы сейчас уже говорим не о сторонах, а о гранях, т.е. о 4-х?

[avva.livejournal.com]

Нет. Четырёхугольник. Четыре точки. Необязательно в одной плоскости.

Вот полезная картинка, чтобы представить себе условие. Представьте себе большой квадрат. Поместите его мысленно в трёхмерное пространство.

Теперь возьмите одну из его вершин и "отогните" так, чтобы она отошла от первоначальной плоскости квадрата. Все остальные три вершины остаются месте. Стороны, которыми соединены другие две вершины квадрата с той, которую Вы оттягиваете, тянутся вслед за ней.

У Вас получается такая как бы искривлённая рамка (можно представить для наглядности, что она сделана из проволоки). Четыре точки и четыре стороны, но точки не лежат в одной плоскости. Теперь представьте себе, что в этот четырёхугольник "вписана" сфера так, что каждая из его сторон касается этой сферы. Представьте, что Вы как бы вталкиваете сверху шар нужного размера в эту рамку, пока он не сидит внутри неё, касаясь сферой каждой стороны. Нужно доказать, что эти четыре точки касания лежат в одной плоскости.

Теперь можно усложнить и начать не с квадрата, а с какого-то случайного четырёхугольника в плоскости, "отогнуть" одну из его вершин итд., это даст несколько более общую картину для интуиции.

[karakal.livejournal.com]

Да, неправ. Ошибку понял.

[dimulka-9.livejournal.com]

Вот насколько у меня хорошо было с матанализом, тервером и дифференциальной геометрией, настолько плохо с пространственным проектированием. Можно скан рисунка?

[avva.livejournal.com]

Нет, у меня руки кривые, я не умею ничего рисовать и чертить. М.б. если кто-нибудь другой захочет.

[tanakatka.livejournal.com]

очень лень думать, но наверняка 4ая точка касания будет производной 3х остальных, из за сферы например .. а те 3и первых стало быть и определяют плоскость :)

[drw.livejournal.com]

[avva.livejournal.com]

Спасибо.

[dimulka-9.livejournal.com]

Супер!

[igorbor.livejournal.com]

Я что-то не понял, наверное. Пирамида с треугольным основанием - четырехугольник или нет? если да, то ее точни никак не лежат в одной плоскости, при этом она может быть вписана в сферу.

[avva.livejournal.com]

Четырёхугольник. Не лежат. Может, но это нерелевантно, т.к. тогда стороны четырёхугольника не будут касательными к сфере.

[igorbor.livejournal.com]

Ой, прошу прощения, я неправильно понял условие :)

[0qwerty0.livejournal.com]

То есть мозгами понимаю что сечение/проекция плоскостью, пролегающей через любые три точки касания - круг вписанный в квадрат, но доказать не могу...

[flaass.livejournal.com]

Написал у себя.
Задачка очень хорошая, спасибо!

[avva.livejournal.com]

Завтра напишу известное мне красивое решение (если до тех пор никто не напишет).

[flaass.livejournal.com]

Читать не буду, охота найти самому.

Только ногами не бейте :-))

[china-cat.livejournal.com]

Грубо говоря, надо доказать, что и четвёртая точка лежит в той же плоскости, что и остальные. Разумеется, это так, так как если все четыре точки касаются сферы и одновременно образуют квадрат, то данный квадрат вписан в одно из сечений сферы, которое является плоскостью, скажем так, по логике вещей.

Re: Только ногами не бейте :-))

[avva.livejournal.com]

Не буду бить ;) но неясно, почему они образуют квадрат, вписанный в одно из сечений.

(кроме всего прочего, длины сторон вовсе необязательно равны, так что квадратом это вовсе необязательно должно быть)

[sunch.livejournal.com]

решил! ;) на радостях поотвечаю.

очень лень думать
а мне то как! но перестать думать не смог )))

будет производной от трёх остальных
неа, не будет. при наличии трёх точек (и сторон) вариантов расположения четвёртой будет бесконечно много. хотя все они таки да, будут лежать в плоскости первых трёх. ))

Re: Только ногами не бейте :-))

[china-cat.livejournal.com]

Упс! Ошибочка! Я почему-то была уверена, что в условии задачи про квадрат речь. Тогда, конечно, надо думать. С квадратом-то всё просто :-))

[tanakatka.livejournal.com]

мне кажется что если все рассматривать в полярных координатах то вообще думать не надо будет :))

Хорошая задача

[barer.livejournal.com]

Чисто геометрически что-то не получается, не говоря уже о "красиво".
Можно попробовать доказать линейную зависимость любого вектора соединяющего точки касания от двух других таких векторов.

Ну, а если так???

[tvbob.livejournal.com]

Проведем радиусы в точки касания 4-х угольника и сферы. Нам известно, что радиус окуржности(сферы) проведненный к касательной является перпендикуляром к этой касательной. Таким образом мы полчаем 4-е 4-х угольника внутри данного. При этом каждый 4-х угольник имеет два прямых угла и причем противолежащих. Исходя из того что два угла прямые, мы делаем вывод, что и вторые два угла тоже прямые. Таким образом мы приходим к мысли, что это квадрат. Следовательно мы имеем 4-е квадрата, исходя из этого мы делаем вывод, что и фигура в которую вписана сфера тоже является квадратом.
Так, как каждая касательная сферы является стороной для двух прилежащих квадратов, то значит любые два прилежащих квадрата лежат в одной плоскости.
И тогда уже можно сделать вывод о том, что все 4-е квалрта лежат в одной плоскости.
Это означает: изначально заданный 4-х угольник является квадратом и все его стороны и вершины лежат в одной плоскости.

Кажется вот так.

Re: Ну, а если так???

[(Anonymous)]

бредовня

Re: Ну, а если так???

[tvbob.livejournal.com]

A v kakom konkretnom punkte bredovnia, esli ne sekret.

Re: Ну, а если так???

[soonts.livejournal.com]

> Исходя из того что два угла прямые, мы делаем вывод, что и вторые два угла тоже прямые.
   Вот здесь первый пункт. Это не верно даже для плоского 4-угольника. Возьми любой прямоугольный треугольник (например, 60,30 и 90 градусов) и отобрази зеркально относительно гипотенузы. Получишь четырёхугольник 90, 60, 90, 120 градусов.

Tell me what da solution?

[soonts.livejournal.com]

---

   Была теорема (да и очевидно если рассмотреть прямоугольные треугольники с радиусами сферы), что если 2 пересекающиеся прямые обе касаются одной сферы, то отрезки прямых между точкой пересечения и точками касания со сферой равны.
   Поэтому приходим вот к такой модели:

   Всё, про сферу забыли :-) Здесь точки A,B,C,D - те самые точки касания.

---

   Обозначим длины отрезков a, b, c, d (см. картинку, маленькие чёрные буковки). Соответственно, длины сторон 4угольника равны a+c, b+c, b+d и a+d.
   Дальше вводим прямолинейную не-декартову систему кординат, как на рисунке, чтобы 4 вершины стали точками {0,0,0}, {1,0,0}, {0,1,0}, {0,1,1}. При таком преобразовании (все помнят?) сохраняются прямые, плоскости и отношения длин параллельных отрезков, и не сохраняются углы и отношения длин непараллельных отрезков. См. картинку — фиолетовым цветом подписаны координаты.
   Дальше — немного векторов.
Координаты точек A-D:

Пришли к тождеству. Значит, существуют такие x и y, что AB = x*AC + y*AD. Следовательно, эти 3 вектора в одной плоскости, следовательно, и 4 точки тоже. Как уже говорилось, то линейное преобразование сохраняет плоскости, т.е. плоскость переходит в плоскость, значит и в „настоящем “ пространстве точки A,B,C и D тоже в одной плоскости.

[soonts.livejournal.com]

   А теперь с тебя красивое решение :-)

[avva.livejournal.com]

Вот:
http://www.livejournal.com/users/avva/1004350.html