о нильпотентных группах (математическое)

[avva]

Красивая конструкция попалась сегодня, доказывающая, что любую конечнопорождённую нильпотентную группу без кручения можно представить в качестве дискретной ко-компактной подгруппы односвязной нильпотентной группы Ли.

Впервые это доказал Мальцев в конце 40-х. Насколько я понимаю, обычно это доказывают с помощью представлений групп Ли. Я очень плохо знаю группы Ли, и это доказательство не читал. Но вот на какую красивую конструкцию Филиппа Холла (P.Hall) я сегодня случайно наткнулся (может быть, она общеизвестна — я бы об этом всё равно не знал, если так, т.к. в группах Ли ничего почти не смыслю. Но мне понравилась).

Пусть нам дана конечнопорождённая нильпотентная группа G без кручения (так, кажется, по-русски называют torsion free? У меня могут быть смешные ошибки в русской терминологии, т.к. я её не знаю). Вообще говоря, если дан центральный ряд для G, то может оказаться, что в его фактор-группах есть элементы конечного порядка. Но если взять именно верний центральный ряд, то можно легко показать индукцией снизу вверх, что все фактор-группы будут без кручения; они также все конечнопорождённые (т.к. G нильпотентна) и абелевы, так что каждая из них является прямой суммой конечного числа копий Z. Поэтому можно расширить верхний центральный ряд до центрального ряда G=G₀ >= G₂ >= ... >= G_n = {1}, так что каждая фактор-группа G_i/G_i+1 изоморфна Z. Выберем в G элементы u₁...u_n так, что u_i+1G_i+1 порождает G_i/G_i+1. Тогда каждый элемент G можно записать единственным образом в виде произведения u₁^k1...u_n^kn; целочисленные показатели k₁...k_n назовём координатами данного элемента. Если мы умножаем два элемента с координатами (k₁...k_n) и (l₁...l_n), то получаем элемент с координатами f₁(...), ... f_n(...), где каждая f_i — функция от 2n переменных, координат множителей. Подобным образом, если мы возводим элемент в целочисленную степень, то получаем элемент с координатами, явлющимися функциями g_i от n+1 переменных: исходных координат и степени.

Теперь ключевой шаг: мы доказываем индукцией по n, что эти функции f_i и g_i являются на самом деле многочленами от своих переменных. Это не тривиально, но и не сложно.

Наконец, мы определяем группу T как множество формальных комбинаций вида u₁^k1...u_n^kn, где координаты k₁...k_n теперь могут быть любыми действительными числами, а умножение элементов определяется согласно многочленам f_i. Легко видеть, что T действительно группа и G её подгруппа; идентифицируя T с Rⁿ очевидным способом, вводим на ней топологию и аналитическую структуру. Из того, что f_i и g_i многочлены, следует совместимость умножения в T с этой аналитической структурой, так что T — односвязная группа Ли, а G, соответствующая в этой идентификации Zⁿ — дискретная подгруппа, и T/G компактно. Наконец, T нильпотентна, т.к. у неё есть центральный ряд, состоящий из T_i, где T_i — подгруппа T, состоящая из элементов, у которых первые i координат равны 0; фактор-группы T_i/T_i+1 изоморфны аддитивной группе действительных чисел R.

Вместo R, кстати, можно брать другие полезные кольца (напр. Q или p-адические числа), и получать полезные расширения G.

Красиво!

Comments

[ex-ex-ex-gr.livejournal.com]

> мы доказываем индукцией по n, что эти функции fi и gi являются на самом деле многочленами от своих переменных. Это не тривиально, но и не сложно.
... и неочевидно по-моему... Хотя, впрочем, я в теории групп изрядно плаваю :)

[jinxli.livejournal.com]

боже какой ужас :)
так вот за что еретиков математиков на кострах в средневековье жгли :)

[avva.livejournal.com]

На самом деле довольно легко увидеть. Если n=1, то все группы абелевы, и тогда f_i просто складывает коэффициенты, а g_i умножеает их на степень. Для n>1 суть докательства в том, что мы пытаемся "нормализовать" выражение типа u_1^k_1....u_n^k_n * u_1^l_1....u_n^l_n путём переноса члена u_1^l_1 влево к члену u_1^k_1, а когда нам это удастся сделать для одной координаты, остальные можно будет перенести по индуктивному предположению. u_1^l_1 "перепрыгивает" по дороге через все u_i^k_i для i>=2, и каждый такой "прыжок" оставляет за собой дополнительный множитель; но этот множитель оказывается (игнорируя степени, с которыми мы справляемся индуктивным предположением для g_i для меньших n) возможным представить как [u_1,u_i], и тут мы используем собственно нильпотентность, согласно которой [u_1,u_i] находится полностью в G_i+1, и поэтому её можно выразить меньшим, чем n, числом координат, и тут опять срабатывает индуктивное предположение. В общем, несколько таких манипуляций, использующих индуктивные предположения, дающие многочлены для f_i и g_i при меньших n, и мы получаем представление произведения с помощью многочленов. И для g_i примерно так же. Технически муторно, но не сложно.

[sowa.livejournal.com]

Здорово! Я сначала подумал, что вот самую главную часть рассуждения вы все-таки утаили (и поленился ее восстанавливать), но теперь все стало понятно.

[a-konst.livejournal.com]

не припомню, чтобы жгли математиков в средневековье.

[posic.livejournal.com]

А я не уловил: в какой момент доказывается, что [u^k,v^l] записывается в координатах с показателями, полиномиально зависящими от k и l?

[emilyisawesome.livejournal.com]

whut in the world r u people saying ?

Enjoy! ;););)

[mi-b.livejournal.com]

Beautiful construction fell today, that proves, that any konechnoporozhdennuyu nilpotent torsion-free group can be represented as the discrete to- compact subgroup of the singly connected nilpotent group of Lie. For the first time this proved Maltsev at the end of the 40th how I I understand, usually this they prove with the aid of the representation of a groups of Lie. 4 I very badly know Lie's groups, and this proof it did not read. But here on what beautiful construction of Philipp Hall (P.Hall) 4 today randomly it stumbled (can be, she well-known - 4 about this nevertheless did not know, if then, since in Lie's groups nothing almost I be able to reason but to me it were pleased). Assume that to us is given the konechnoporozhdennaya nilpotent group G without the twisting (so it seems in Russian they do call torsion free? In me there can be ridiculous errors in Russian terminology, since 4 it I do not know). Generally speaking, if a central number for G is given, then it can seem that in its quotient groups there are elements of final order. But if we take precisely verniy a central number, then it is possible to easily show by induction from bottom to top that all quotient groups will be without the twisting; they also all konechnoporozhdennye (since G is nilpotent) and Abel's, so that each of them is the direct sum of the finite number of copies Z Therefore it is possible to enlarge an upper central number to the central number G=.G0 = G2 =... = Gn = {1}, so that each quotient group Gi/Gi+1 is isomorphous Z let us select in G elements u1... un so that ui+.1Gi+1 generates Gi/Gi+1. Then each element G can be written down uniquely in the form of work u1k1... unkn; the integral indices k1... kn let us name the coordinates of this element. If we is multiplied two elements with the coordinates (k1... kn) and (l1... ln), then we obtain element with coordinates f1(...)... fn(...), where each fi - function from 2n of variables, coordinates of coefficients. Similarly, if we raise element to an integral power, then we obtain element with the coordinates, the yavlyushchimisya functions gi from n+1 the variables: reference coordinates and degree. Now key step: we prove by induction on n, that these functions fi and gi are in reality polynomials from their variables. This not is trivial, but also it is not complicated. Finally, we define group T as many formal combinations of form u1k1... unkn, where coordinates k1... kn now can be any real numbers, and the multiplication of elements is determined according to polynomials fi. It is easy to see that T is actual group and G its subgroup; identifying T with Rn obviously, we introduce on it topology and analytical structure. From the fact that fi and gi polynomials, follows the compatability of multiplication in T with this analytical structure, so that T - singly connected group of Lie, and G, which corresponds in this identification Zn - discrete subgroup, and T/G is compact. Finally, T is nilpotent, since it has the central number, which consists of Ti, where Ti - subgroup T, which consists of elements, whose first i of coordinates are equal to 0; quotient groups Ti/Ti+1 are isomorphous to the additive group of the real Re s number. Vmest.o R, by the way, it is possible to take other useful rings (for example Q or p -adiceskie of the number), and to obtain the useful expansions G. It is beautiful!

[aka-pushkin.livejournal.com]

Нет, ужас - это когда осознаешь, что понимаешь о чем речь....

[avva.livejournal.com]

Нигде: это не нужно доказывать.

Вот более подробный пересказ индуктивного шага для умножения (функции f_i):

Начинаем с u_1^k_1....u_n^k_n * u_1^l_1....u_n^l_n. Пытаясь перенести u_1^l_1 влево, записываем это так:

u_1^(k_1+l_1)* [u_1^-l_1 * u_i^k_i * u_1^l_1] (i=2...n) * u_2^l_2 * u_3^l_3 *... * u_n^l_n.

Множитель в квадратных скобках повторяется для всех i от 2 до n. Запишем этот множитель (для любого i) так:

u_1^-l_1 * u_i^k_i * u_1^l_1 = (u_1^-l_1 u_i^-1 u_1^l_1)^-k_i . Обозначим (*) то, что в скобках, и займёмся отдельно им:

(*) = u_1^-l_1 u_i^-1 u_1^l_1 = u_1^-l_1 (u_i^-1 u_1 u_i)^l_1 u_i^-1 . Теперь в середине в скобках у нас получился термин, обозначим его (**), не зависящий от исходных степеней: (**) = u_i^-1*u_1*u_i, т.е. u_1*[u_1,u_i]. Т.к. [u_1,u_i] лежит полностью внутри G_i+1, этот термин в скобках равен

u_1*(u_i+1^c_(i,1))*....*(u_n^c_(i,n-i)), где c_(i,1)...c_(i,n-i) - какие-то константы, заданные раз и навсегда (для фиксированного нами выбора базиса u_1...u_n). Это выражение лежит в группе, порождённой u_1 и u_i+1...u_n; у этой группы есть координатный базис (u_1,u_i+1...u_n), размер которого меньше n, т.к. i>1; поэтому по индуктивному предположению для возведения в степень, (**)^l_1 записивается как u_1^l_1*u_i+1^(f_i+1)...u_n^(f_n). Здесь степень u_1 равна в точности l_1 ввиду уникальности представления - ведь мы могли изначально записать
(**)^l_1 как u_i^-1*u_1^l_1*u_i = u_1^l_1*[u_1^l_1,u_i], где коммутатор весь лежит в координатах u_i+1...u_n. А f_i+1...f_n это многочлены от исходных координат и степени l_1, но т.к. исходные координаты все были константы c_(i+1), это многочлены только от l_1.

Возвращаясь теперь обратно к выражению (*), которое мы представили как u_1^-l_1 (**)^l_1 u_i^-1 :
средний термин теперь представлен как u_1^l_1 * u_i+1^f_i+1....u_n^f_n, поэтому степени u_1 сокращаются. На получившееся выражение, содержащее только степени u_i...u_n, действуем предположением индукции для умножения и нормализуем его в правильном порядке, переводя u_i влево: оно равно u_i^f'_i...u_n^f'_n, где f'_i...f'_n - многочлены от исходных степеней, которые все были константы или многочлены f_i от l_1, так что f'_i тоже многочлены от l_1.

Наш общий множитель был равен (*)^-k_i, поэтому мы действуем на него предположением индукции для возведения в степень ( (*) использует меньше, чем n координат), и получаем, что он равен какому-то u_i^f''_i *...* u_n^f''_n,
где f'' - многочлены от l_1 и k_i. Теперь повторяем это для всех i в 2...n, и в результате мы добились того, что полностью убрали u_1 из исходного произведения, кроме первой части u_1^(k_1+l+1). После этой первой части n-1 раз повторяется нормализованный общий член u_i^f''_i *...* u_n^f''_n (для каждого общего члена свой набор f'', нотация это не отражает). Мы смотрим на все эти члены как на элементы группы с базисом (u_2...u_n) и n-1 раз применяем индуктивное предположение, нормализуя в результате всё исходное произведение в следующий вид:

u_1^(k_1+l_1) * u_2^f'''_2....u_n^f'''n * u_2^l_2 .... u_n^l_n , где f''' зависят от l_1 и k_i для i=2..n . Последнее использование индуктивного предположения (применяется к элементам u_2^f'''_2....u_n^f'''_n и u_2^l_2 .... u_n^l_n) даёт нам u_1^(k_1+l+1) u_2^f''''_2....u_n^f''''_n, где f'''' - многочлены от l_1, k_i и l_i для i=2..n. Всё.