абстрактное и эпсилон-дельта
Feb. 15th, 2007 10:44 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaВсе размышляю об этой записи. Благо материал все время новый попадается. Вот в наборе записей "Basic Concepts in Science", о котором я писал позавчера, очень многие - математические из блога Good Math, Bad Math. Но практически все они, хоть и написаны специально для людей без всякого математического образования, совершенно для этой цели бесполезны. То он пишет об алгебраических структурах, вводя формальное определение группы, но ничего в нем не объясняя. То рассказывает о понятии предела, вываливая на несчастного читателя определение через эпсилон-дельта, совершенно не подозревая, насколько оно ему будет непонятно. В результате все это получается, мне кажется, довольно бессмысленным занятием.
Но я вот еще о чем подумал: к списку примеров в той записи стоит добавить определение предела через эпсилон-дельта. Сейчас, перечитав ее, вижу, что я упомянул его в конце, но только в списке того, что обычно проходят математики в первый год учебы, до теории групп. Этот пример заслуживает отдельного рассмотрения. Всякий, кто преподавал анализ в университете, особенно не студентам-математикам, студентам с других факультетов, знает, как тяжело студентам понять формальное определение предела через эпсилон-дельта, и непосредственно связанные с ним понятия (непрерывность функции, определение производной итд.). Я подумал вдруг, что можно представить это определение в виде некоторой совершенно необходимой ступени на пути к пониманию математики, подобно тому, как Джоэль Спольский предлагает считать понимание указателей и рекурсии (см. ту запись) необходимым шагом на пути к настоящему пониманию программирования. На эту тему есть две интересные заметки Кита Девлина: Letter to a calculus student и Will the real continuous function please stand up? Обе советую, но не буду пытаться их пересказывать, замечу только, что в обоих заметках Девлин рассуждает о том, почему восприятие идей предела и непрерывности оказывается сложным для студентов. В частности, обсуждая понятие предела:
The subtlety that appears to have eluded Bishop Berkeley is that, although we initially think of h as denoting smaller and smaller numbers, the "lim" term in formula (*) asks us to take a leap (and it's a massive one) to imagine not just calculating quotients infinitely many times, but regarding that entire process as a single entity. It's actually a breathtaking leap.
А теперь сравним это с тем, что Джоэль Спольский пишет об указателях и рекурсии:
Указатели и рекурсия требуют от человека определённых способностей: рассуждать, абстрактно мыслить, и, что особенно важно, видеть проблему на нескольких уровнях абстракции одновременно.
Не правда ли, похоже? На нескольких уровнях абстракции одновременно. Не в этом ли заключается секрет способности к абстрактному мышлению? Умение держать в уме несколько разных абстрактных понятий, нетривиальным образом между собой связанных (как в случае эпсилон-дельта: для каждого эпсилон существует дельта итд.); умение переходить с одного уровня абстракции на другой, не теряя из виду сами абстрактные понятие и связи между ними.
Если в этом суть, то, может быть, именно это надо пытаться как-то развивать и тренировать? Действительно ли все эти студенты неспособны понять указатели (или даже простое присваивание, как в другом примере в старой записи - обратите внимание, опять речь о том, чтобы держать в голове одновременно несколько абстрактных объектов - переменных в данном случае), или эпсилон-дельта? Или есть способы объяснить это им лучше, чем обычно это объясняют? Это, кстати, не риторический вопрос, я вовсе не уверен в том, что есть.
Пока все; может, еще через неделю еще что-то придумается...
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2007-02-15 09:05 pm (UTC)В том время как указатели и присвоение вполне 'реальные' понятия.
И трудности их понимания именно отсутствие тренировки мышления.
no subject
Date: 2007-02-15 09:12 pm (UTC)Как если бы учить ценность разных комбинаций карт, не говоря, что они нужны для карточной игры с определенными правилами. Или заучивать списки слов некого диалекта, не говоря, есть ли что–то интересное на нем, а если есть, то что.
про пределы
Date: 2007-02-15 09:27 pm (UTC)Как минимум, перед пределами функций стоит научиться работать с пределами последовательностей; а еще раньше можно поговорить про точные верхние грани (где уже нет никаких тонкостей с эпсилон-дельта, а остается только попадание в сколь угодно малую окрестность более-менее); можно добавить и еще один шаг: через точную верхнюю грань нетрудно определить (бесконечную) сумму ряда положительных чисел.
Как-то так следует поступать и с другими сложными идеями, вероятно.
no subject
Date: 2007-02-15 09:47 pm (UTC)На меня в свое время произвела большое впечатление, но не до конца убедила убедила книга Марека Кона "A reason for everything: Natural Selection and the English Imagination" Он анализирует биографии шести крупных эволюционистов уровня Фишера и Халдейна и показывает, что теория эволюции -- специфически английское явление и могла зародиться только в Британии (если быть совсем точным, специфическое умонастроение необходимое для понимания и развития теории эволюции крайне типично имено для британцев)
В этой связи вспоминаются вгляды, что понятия дифференциала, исчисления бесконечно малых, очень четко связаны с философией и не могли зародиться вне контекста монад и всей европейской культуры-философии того времени (кажется Ван дер Варден пропагандировал такую точку зрения)
Re: про пределы
Date: 2007-02-15 09:50 pm (UTC)Что значит LIM{x->3}x^2 = 9?
Возьмем полосу ширины 1 вокруг y=9. Когда мы достаточно близко от x=3, граф находится внутри полосы. Можно сказать "существует окрестность", причем "окрестность" для нас будет строгим термином [определяется так-то]. [Потом - о том, что значение функции в самой точке нас интересовать не будет.]
Уменьшим ширину полосы до 1...
Потом до 1/2...
Мы видим: какую бы узкую полосу не взяли...
Заметим, что чем уже полоса, тем меньшую окрестность приходится брать.
Назовем половину ширины полосы "эпсилон". Тогда это можно сказать так: для любого эпсилон существует окрестность точки x=3 (и ее ширина зависит от эпсилон), в которой граф попадает в полосу - т.е. |f(x)-9| < epsilon.
После этого: всегда можно взять симметричную окрестность... Назовем половину ее ширины "дельта"... Ну итд.
no subject
Date: 2007-02-15 10:01 pm (UTC)И да, и нет. Когдя я даю своим экологам определение устойчивости по Ляпунову, они выучивают эти самые эпсилон-дельта, но многие не могут понять физический смысл устойчивости - близкие начальные условия влекут близость рещений.
no subject
Date: 2007-02-15 10:25 pm (UTC)http://andreylv.livejournal.com/265893.html
http://andreylv.livejournal.com/266193.html
http://andreylv.livejournal.com/266476.html
http://andreylv.livejournal.com/272438.html
http://andreylv.livejournal.com/279189.html
no subject
Date: 2007-02-15 10:35 pm (UTC)Мне кажется, что такие абстрактные концепции хорошо бы вводить, давая несколько полу-метафорических взглядов с разных сторон. Когда есть много объяснений, они друг другу помогают, и среди них найдётся такое, которое окажется понятнее других :) Одно более понятное объяснение помогает понять менее понятные, уложить их в голове без противоречий.
Насчёт несоответствия эпсилон-дельты интуитивно понимаемой непрерывности я несколько не понял. Формализм, imho, вполне понятно рассказывает следующее: "если мы хотим подойти к данному значению функции вот так близко (эпсилон), нам нужно подойти к соотв. значению аргумента не дальше, чем на дельту". Очень, imho, напоминает движение вдоль такой проволочной кривой.
Re: про пределы
Date: 2007-02-15 10:57 pm (UTC)Мне кажется, что эту идею, как и другие сложные идее, гораздо эффективнее излагать и усваивать, если показать ее эволюцию от естественного (и частного) понятия, такого как непрерывность, распространяя его на все более широкий круг ситуаций (пределы на бесконечности, односторонние пределы, пределы последовательностей, я немного высказывался на эту тему вот здесь: http://kdv2005.livejournal.com/231809.html).
Большинство этих понятий достаточно просты и наглядны для интуивного усвоения и, на мой частный взгляд, вполне достаточны для почти всех изучающих математику (кроме самих математиков). Те же, кому действительно интересно "как оно на самом деле все устроено" (и коих, как водится, будет гораздо меньше), могут перейти и к изучению формального определения предела и того, как он связан с интуитивными представлениями. За те же трудности, которые испытывают многие студенты сейчас с понятием предела, математики ответственны куда в большей степени, чем сами студенты.
Re: про пределы
Date: 2007-02-15 10:58 pm (UTC)Мне, как инженеру, всегда было удобно объяснение пределов и производных с помощью физических понятий. Например ускорение, как производная скорости, среднее ускорение сначала, а затем мгновенное ускорение как производная мгновенной скорости, т.е. предел средней скорости за промежуток времени, стремящийся к нулю.
Не будучи программистом понятие pointers в свое время выучил довольно легко и просто, когда надо было написать кое-что на C. Однако линейную алгебру, матрицы и векторный анализ в свое время пропустил в университете и так до конца не понял.
Отсюда вывод - несомненно врожденные способности к абстрактному мышлению важны, но важно еще и качество и, если хотите, умелость преподавания.
Re: про пределы
Date: 2007-02-16 01:56 am (UTC)Re: про пределы
Date: 2007-02-16 02:59 am (UTC)Все же пределы и все, что с ними связано -- это числовая модель интуитивного геометрического понятия. Проблемы, возникающие при рассмотрении связи между ними, отчасти сходны с проблемами рассмотрении соответствия физических теорий тому "как оно есть на самом деле".
Re: про пределы
Date: 2007-02-16 03:19 am (UTC)Потом до 1/2...
В этом есть опасность на которую я нарывался: такая иллюстрация сводит предел непрерывной функции к дискретным шагам, пределу последовательности. Наиболее вдумчивые (или зловредные) здесь спросят - а что будет если ширину делить на 3 ? Тоже самое - а как доказать ? К тому же, зная про последовательности, они знают что из анализа любого конечного числа шагов нельзя сделать вывод о сходимости. Я в это напоролся с дочерью в школе - через минуту подобного построения она мне сказала - а откуда ты знаешь что получится ?
Поскольку суть-то в ' для любого епсилон > 0', для меня с дочерью лучше сработало: вот функция на графике, предел в x=1 f(x)=1. Дай мне епсилон, а я тебе найду дельта, и попробуй меня побить, чтоб я не нашел подходящего.
А вот график функции с разрывом - на втором шаге негожий епсилон был найден.
Re: про пределы
Date: 2007-02-16 06:53 am (UTC)Что же до преподавания математики нематиматикам, то прежде чем говорить о методах, нужно определиться с целью.
Re: про пределы
Date: 2007-02-16 10:18 am (UTC)Ну, Анатолий,
Date: 2007-02-16 11:40 am (UTC)И предел так же элементарен. Любой человек не детского возраста понимает, "чего он может достичь". Слово-то какое говорящее -- "предел"! Надо быть воистину словесным кретином, чтобы его не понять. Просто математики придумали свую эпсилон-дельта для фиксации ОТСУТСТВИЯ ЗНАЧЕНИЯ предела. Я бы развил в этом направлении (разные варианты отсутствия) математику, но мне это не интересно -- я интуитивно понимаю, а какую чушь (логическую) для этого можно придумать, меня не интересует.
PS 2 9000:
А я вот долго не понимал, что такое "файл". Причём я встретился с этим словом году в 85, когда Роботроны и Писюки появились. А ведь до этого я работал на IBM360-370, редактировал ТЕКСТЫ с помощью xedit-а & edgar-а (VM CMS). Помню, долго ещё на писюках держал kedit, аналог этих редакторов. Ну не был я знаком с "файлом" ни на терминалах, ни, тем более, на перфокартах. Было просто: текст программы.
no subject
Date: 2007-02-16 11:40 am (UTC)... Беспредел Шеннона ...
Re: про пределы
Date: 2007-02-16 02:55 pm (UTC)no subject
Date: 2007-02-16 03:22 pm (UTC)Тот, кто с эпсилонами и дельтами не разобрался, этого понять гарантированно не сможет. Т.е. ввести-то можно и через нестандартный, но только на уровне хендвейвинга.
Re: про пределы
Date: 2007-02-16 03:29 pm (UTC)Это справедливое замечание, но на мой взгляд оно в первую очередь указывает на неинтуитивность введенного в математике понятия функции. Психологический барьер, который нужно преодолеть, чтобы от идеи "функция -- это описание зависимости одной величины от других, данное таблицей или формулой" к идее "функция -- это любое множество пар, задающее однозначное соответствие", мне представляется куда большим, чем барьер, связанный с осознанием идеи предела. Современное определение предела -- плата за общность. Оттого, на мой взгляд, и овладение этим понятием вызывает такие трудности.
Аналитическая же интуиция у неискушенного в математике человека воспитана на многочленах и (по индукции) на целых функциях, с которыми редко что происходит такое неинтуитивное и неожиданное. В этом случае, как мне кажется, с непрерывностью никаких проблем нет, поскольку она всегда присутствует вместе с гладкостью. Предлагать же человеку с такими представлениями о непрерывности (и гладкости) пользоваться эпсилон-дельта определениями, как мне кажется, это создавать ощущение, что его заставляют говорить сложно о простом и понятном, даже очевидном.
У меня сложилось впечатление, что мы говорим несколько о разных вещах. Мне кажется, что уважаемый
Мне кажется, что трудности с освоением понятия предела не могут служить критерием наличия или отсутствия способностей к абстрактному мышлению, или доказательством того, что такие способность, как характеристика людей, вообще существует. Я придерживаюсь той точки зрения, что практически любой человек (для осторожности добавлю, нормальный человек, что бы это ни значило) в состоянии овладеть курсом математики в объеме института или колледжа, при приложении к этому достаточных усилий. Тем самым, на мой взгляд, в этом отношении разница между людьми количественная, а не качественная.
Очень непросто обычно осознать, что непрерывная функция запросто может не быть монотонной ни на каком интервале, скажем. В общем, у любого человека есть интуиция для работы с пределами, но мало у кого — для работы с непрерывными функциями. Поэтому правильнее все же (сначала) говорить о пределах, я полагаю.
Что же до преподавания математики нематиматикам, то прежде чем говорить о методах, нужно определиться с целью.
no subject
Date: 2007-02-16 03:34 pm (UTC)Для меня вот какой-либо сложности в эпсилон-дельта описаниях априорно не было. "Там всё написанно", причём очень понятно и чётко. Когда я объяснял это ученикам (несколько лет объяснял основы матана/алгебры вначале ученикам старших классов платно, потом сокурсникам бесплатно) - я учил именно "читать". Вначале, брать и читать вслух надпись из кванторов. На родном им (немецком, как правило) языке. Потом удерживать в голове то, что они сказали - "для каждого дельта есть эпсилон". Потом представлять, что же они говорят, визуально: Берём вертикальную полоску, сужаем её, смотрим, как сужается соответствующая горизонтальная. Писал программы, которые делают это с графиком функции/последовательностью визуально. Практически все понимали.
А некоторые не могли просто никак - ну не влезает у них три придаточных предложения в черепную коробку. Что тут можно сделать? Читать, наверное, больше. Разговаривать, наверное, на более сложные темы.
Re: про пределы
Date: 2007-02-16 03:42 pm (UTC)Re: про пределы
Date: 2007-02-16 03:49 pm (UTC)Re: про пределы
Date: 2007-02-16 04:02 pm (UTC)Re: про пределы
Date: 2007-02-16 04:13 pm (UTC)Гипотеза о гладкости траектории броуновской частицы очень быстро вступает в противоречие с тем, что среднее расстояние диффузии пропорционально квадратному корню из времени движения. В этом смысле нигде не дифференцируемость непрерывной броуновской траектории имеет совершенно естественное происхождение (быть может непривычное для нашей интуиции). Что касается примера Вейерштрасса я в нем тоже вижу мало естественного. Если разлагать броуновские траектории в тригонометрические ряды, то они будут сходиться лишь условно (и в среднеквадратическом), но не абсолютно, что, с математической точки зрения и является причиной негладкости их сумм.
Re: про пределы
Date: 2007-02-16 07:01 pm (UTC)Вероятно вы правы, я увлекся offtopic'ом.
Re: про пределы
Date: 2007-02-16 09:41 pm (UTC)Re: про пределы
Date: 2007-02-16 10:24 pm (UTC)no subject
Date: 2007-02-17 04:53 pm (UTC)no subject
Date: 2007-02-18 03:49 am (UTC)Собственно, строго говоря, по-настоящему абстрактное мышление начинается как раз там, где перестает работать визуализация. (?)
Абстрактный невизуальный образ, формульная мыслеформа - вот что самое сложное для восприятия, понимания и оперирования.
Программирование в этом смысле проще: алгоритм, наверно, всегда можно представить в виде какой-либо схемы. А вот формулу Шредингера - нет. Т.е. можно, но с упрощением, которое, насколько я понимаю, граничит с профанацией.
Я не уверен, что графическое, визуальное представление всего и вся математического со школы и дальше - правильный метод. Это, в конце концов, подход геометра, а не алгебраиста. Возможно, надо бы двигаться в обратном направлении - от "чтения формул с листа", формульного мышления как формы языкового мышления - к визуальному как только одному из практических приложений
То же понятие предела не имеет, по большому счету, ничего общего с теми картинками, которыми обычно иллюстрируют теорему Вейерштрасса. Понятие непрерывной функции - тем более. Привычка представлять все визуально приводит к ступору при освоении более сложных понятий.
Re: Ну, Анатолий,
Date: 2007-02-18 10:01 am (UTC)