задачка (геометрическая)

[avva]

Во внутренней рассылке предложили задачку. В трехмерном пространстве есть четыре прямых линии, находящихся "в общем положении" (это значит, что никакие две из них не пересекаются, не параллельны, итд. - нет никаких линейных зависимостей между ними). Вопрос: существует ли прямая, которая пересекает каждую из этих четырех? Если да, то сколько есть таких, и как ее построить?

Мне кажется, что я ее решил (не строго, но) правильно, на основании геометрической интуиции - что вообще-то очень странно, потому что геометрическая интуиция у меня всегда была очень плохая. Позже напишу свой вариант решения, если в комментах не всплывет.

Comments

[leonchic.livejournal.com]

совершенно необязательно такой прямой существовать. даже для трёх её может и не быть.

[dragon-ru.livejournal.com]

Как построить, пока не думал - но, по идее, такая прямая должна быть единственная. Прямая в 3-х мерном пространстве имеет 4 степени свободы, и каждое условие отнимает одну из степеней.

[grur.livejournal.com]

Для любых двух прямых L1 и L2 общего положения и для любой точки пространства существует прямая L(L1,L2) пересекающая обе прямые и проходящая через эту точку.
Если взять третью прямую L3 общего положения и провести прямые L(L1,L2) через каждую точку прямой L3, то эти прямые образуют какую-то поверхность. Поскольку все уравнения линейны, то эта поверхность - плоскость. А значит она непременно пересечет прямую L4.

[dragon-ru.livejournal.com]

Алгебраический способ вычисления искомой прямой подойдет? Там вроде как ничего сложнее системы линейных уравнений не предвидится.

[muchacho.livejournal.com]

> Для любых двух прямых L1 и L2 общего положения и для любой точки пространства существует прямая L(L1,L2) пересекающая обе прямые и проходящая через эту точку.

Неверно. Возьмем любую точку в плоскости, параллельной Л2 и содержащей Л1.

[vdots.livejournal.com]

Это рассуждение хорошее, но говорит только, что таких прямых конечное множество :-)

[utnapishti.livejournal.com]

Но эта точка (пересечения поверхности с L4) не обязательно принадлежит всем 4 линиям!

[vdots.livejournal.com]

Поскольку все уравнения линейны, то эта поверхность - плоскость.

Смело. Но только сомнительно.

[dizzy57.livejournal.com]

А кто сказал, что пространство не проективное? =)

[utnapishti.livejournal.com]

И уж конечно эта поверхность не обязана быть плоскостью!

[dimrub.livejournal.com]

Пока что только такая идея. Допустим, что не все 4 прямых находятся в общей позиции, а что они попарно параллельны (т.е. L1 || L2, L3 || L4). Тогда через L1 и L2 проходит плоскость, и еще одна плоскость проходит через L3, L4, и эти две плоскости непараллельны. Эти плоскость, стало быть, пересекаются, местом их пересечения является прямая, и она не параллельна ни одной из исходных - следовательно и является единственной прямой, которая их всех четверых пересекает.

Следует ли из этого, что если параллельности нет, то и прямых вообще нет, еще непонятно.

[vdots.livejournal.com]

В общем положении - две, как мне думается. Решение довольно научное ("исчисление Шуберта на грассманниане"), посему не буду тут излагать, ибо подробности писать лень, а кто знает про исчисление Шуберта, поймёт, какое решение я имею в виду. :-)

[vdots.livejournal.com]

Ну то есть это в случае, если мы живём в P^3 (проективном пространстве), иначе возможны всякие неудачи, связанные с параллельностью и т.п.

[dimrub.livejournal.com]

Ага, то же самое верно, если только две прямые параллельны. Допустим, L1 || L2, и P1 - это плоскость, в которой они обе находятся. Тогда L3 и L4 пересекают эту плоскость, и прямая, проходящая через точки пересечения, и является единственной прямой, которая пересекает все четыре прямые - либо является параллельной двум из них (т.е. таких прямых либо одна либо нет вообще).

[jewgeniusz.livejournal.com]

По-русски general position будет "в общем положении". Да, разумеется, хорошо бы ещё предполагать, что основное поле алгебраически замкнуто (С, а не R).

Сейчас будет решение, так что кому интересно порешать самим, дальше коммент не читайте.

Лемма. Через три прямые общего положения проходит единственная квадрика (т.е. поверхность, уравнение которой -- однородный многочлен второй степени).

Доказательство (схема): размерность множества квадрик -- 9, т.к. квадрика задаётся 10 коэффициентами, но задающий многочлен ещё можно домножать на скаляры, и тогда поверхность не изменится. То есть через 9 точек проходит единственная квадрика. Теперь возьмём на каждой прямой по три точки, получится 9 штук. Проведём через них квадрику. Она будет содержать каждую из этих прямых, т.к. прямая не может пересекаться с квадрикой по трём точкам и не содержаться в ней (у квадратного уравнения не может быть три корня). Лемма доказана.

Вернёмся к задаче. Возьмём первые три прямые, проведём через них квадрику. Теперь вспомним, что на квадрике есть два семейства прямолинейных образующих (смотри на Шуховскую башню), при этом любые две прямые из одного семейства скрещиваются, а любые две прямые из двух разных семейств пересекаются. Наши три прямые не пересекаются, значит, они все принадлежат одному семейству.

Теперь возьмём эту квадрику и четвёртую прямую. Она пересечёт квадрику в двух точках. Через каждую из этих точек можно провести две прямолинейные образующие квадрики. Из них одна будет принадлежать тому же семейству, что и первые три прямые, т.е. скрещиваться с ними; а вторая будет их (все три) пересекать. Эта прямая и будет искомой. Точек пересечения четвёртой прямой и квадрики две, значит, и прямых таких будет тоже две. Это и есть ответ.

[muchacho.livejournal.com]

ужасы какие говорите

[jewgeniusz.livejournal.com]

Как раз эта задачка делается методами, доступными первокурснику, прослушавшему курс ангема. См. http://avva.livejournal.com/1773371.html?thread=42904891#t42904891

[jedal]

Тьфу, гиперболоид проходит через три прямые. Так что 2, да.

[vdots.livejournal.com]

Ты, наверное, шутишь. Уже прямые, которые проходят через данную точку первой прямой и пересекают вторую, заметают плоскость. Где она на твоём гиперболоиде? ;)

[grur.livejournal.com]

А ведь верно... Значит на прямой L3 есть ровно две точки, в которых не существует L(L1,L2). В таком случае должны получиться две (или три?) разные плоскости, и значит две разные прямые удовлетворяющие условиям задачи.

[vdots.livejournal.com]

А, есть такое решение. Только я про грассманиан узнал более недавно и потому помню лучше :-)

Хотя, впрочем, такое решение мне кто-то сдавал в НМУ, когда я там читал курс про введение в алгебраическую геометрию. Пора посыпать голову пеплом.

[grur.livejournal.com]

Точка не принадлежит, но через нее проходит искомая прямая.

[eterevsky.livejournal.com]

Тут есть несколько строго не доказанных интуитивно-ясных геометрических утверждений.

Рассмотрим всевозможные плоскости, проходящие через одну из прямых. Каждая их них будет пересекаться с тремя остальными прямыми. рассмотрим эти самые точки пересечения. Мы нашли искомую прямую если они лежат на одной прямой. Посмотрим, как они будут двигаться по мере поворота плоскости вокруг этой прямой. Каждая из них будет двигаться по гиперболе с осью перпендикулярной нашей прямой. Из трёх точек по крайней мере две будут двигаться по своим гиперболам в одну сторону. Посмотрим на прямую, которая будет проходить через эти две точки. Она будет, возможно, как-то сдвигаться и в сумме повернётся на 360 градусов (два раза, когда точки на гиперболах будут проходить через бесконечно удалённую точку, эта прямая будет параллельна той, вокруг которой вращается плоскость). Итого, имеем: вращающуюся прямую и точку, ползущую по третьей гиперболе. Посчитаем количество раз, когда точка переместится в другую относительно прямой полуплоскость. В точности один раз она это делает не "задевая" прямую -- когда она проходит через бесконечно удалённую точку гиперболы. Следовательно, так как она в итоге окажется по ту же сторону от прямой, по которую была в начале, то она как минимум раз должна была оказаться на прямой. Остаётся вопрос: обязательно ли она на ней оказывается ровно один раз, или может оказаться и три раза. По-моему, может быть и так и так.

Прошу прощения за сумбурность. Наверняка это должно решаться гораздо проще.

[eterevsky.livejournal.com]

Ага, там система уравнений нелинейная.

[eterevsky.livejournal.com]

Не, там не линейные уравнения получаются. Уравнение того, что три точки лежат на одной прямой, например -- не линейное, если я правильно понимаю.