вероятно

[avva]

Какая из последовательностей в среднем появится раньше, если бросать монету - орел, решка, орел или орел, решка, решка?

Любопытно, насколько у меня не работает интуиция в правильном направлении. Я даже когда-то знал эту задачку, знал правильный ответ, забыл его, но помнил приблизительно, в какую сторону надо думать - и все равно неправильно угадал.

(в комментариях наверняка будут правильные ответы, я их не буду скрывать)

Update: мне стоит уточнить условие задачи, потому что в моей формулировке его можно понять двояко (прошу прощения). Итак, предположим, мы кидаем монету снова и снова и записываем количество бросков до того, как впервые получили ОРО (орел, решка, орел). В среднем выходит, что ОРО впервые появляется после X бросков. Теперь делаем то же самое для ОРР и получаем, что в среднем ОРР впервые появляется после Y бросков. Вопрос: как соотносятся друг с другом числа X и Y?

В комментариях есть уже несколько правильных ответов на этот вопрос.

Comments

[dizzy57.livejournal.com]

Итересная задачка чтобы подумать в самолёте между Москвой и Mountain View, спасибо. =)

Разве есть проблема?

[vakhabit.livejournal.com]

В какой-то момент в первый раз появится орел, решка. Для следующего броска шансы орел или решка равны.

[avva.livejournal.com]

О, велкам! :)

[ex-dr-deliri146.livejournal.com]

Равновероятно, потому как монета "не запоминает" последний результат поэтому веротность выпадения орел или решка при любом по счету броске 50/50

[ohtori.livejournal.com]

Вероятность выпадания любой последовательности равна вероятности выпадания любой другой последовательности такой же длины.

[bacek.livejournal.com]

Чё тут думать-то. Вероятность обоих последовательностей 1/2^3

[braindancer.livejournal.com]

Моя математическая интуиция подсказывает то же, что написали предыдущие ораторы. Однако общечеловеческая интуиция подсказывает, что если бы все было так просто - avva не задавал бы этот вопрос :-)

Буду с интересом ждать прояснения ситуации.

Никакого подвоха быть не должно))

[ex-alexloto.livejournal.com]

Допустим, что уже выпала последовательность орел, решка. Следующим ходом выпадет либо орел, либо решка))

[upstartn.livejournal.com]

Одинаковая вероятность.

[avva.livejournal.com]

:)

0,5*0,5*0,5=0,125

[ex-dr-deliri146.livejournal.com]

да добавить забыл, вероятность любой комбинации будет 1/2^n, где n-длина последовательности

[maxvt.livejournal.com]

Вторая.

Вероятность выпадания каждой из серий равна, но:

Когда в эксперименте бросков первой выпадает первая серия, то с вероятностью 0.25 сразу за ней будет вторая. (последний "орел" - первый "орел" второй серии). А если первой выпадает вторая серия, то за ней будет первая только с вероятностью 0.125 (первая серия не начинается с "решки").

[avva.livejournal.com]

Поскольку вопрос о том, как скоро случится появление одной из серий, вопрос о том, что произойдет после того, как одна из серий выпадет, не имеет значения.

[(Anonymous)]

HTH vs THH better.

[denspb.livejournal.com]

Анатолий, а там точно последовательности отличаются последним элементом, а не первым?

Потому, что в нынешнем варанте вероятность появления OP при условии, что раньше не встречалось ОРО и ОРР одинакова для обеих последовательностей, а следующая монета выпадет равновероятно.
А вот если бы у них были одинаковые "хвосты", но разные "головы" — тут было бы сложнее и интереснее.

[oxfv.livejournal.com]

Интуитивно, вроде как, о-р-о появится раньше: в последовательность длины N таких троек можно напихать больше, чем о-р-р, а значит, расстояние от случайной точки до ближайшей тройки будет в среднем меньше. Но какое-то это хлипкое рассуждение. Еще подумаю.

[avva.livejournal.com]

Нет, я не ошибся в условии, именно так.

не могу молчать :)

[i-talk.livejournal.com]

отображение Х устанавливает биекцию между множеством O_n (OPO сначала на месте n) и P_n (OPP соответственно) : x_{n+2} -> not x_{n+2}

так что одинаково. это такая хитрая подколка, да?

[roma.livejournal.com]

kazhetsja, chto ORR skoree pojavitsja, no dokazat' bystro ne vyshlo.

Программисты, фиглиш

[itman.livejournal.com]

Результат симуляции, написанной за 5 минут дает следующие времена для матожидания появления одной из восьми возможных последовательностей:
0 -> 10.784000
1 -> 4.963700
2 -> 6.975200
3 -> 4.926600
4 -> 5.006500
5 -> 6.908700
6 -> 4.994600
7 -> 10.919700
Как несложно видеть, симметрично с точностью до инверсии О в Р, что можно было бы ожидать.
ОРО - это 5, ОРР - это 4. Соответственно, ОРР появляется на два шага раньше.
PS: над математическим обоснованием надо подумать. :-)

[sovok4ever.livejournal.com]

зависит от того, кто кидает монету.

[itman.livejournal.com]

Вероятность того, что последовательности появятся на шаге n+1 после того, как появилась ОР - одинаковы. Однако вероятности того, что последовательности НЕ появятся до шага n - разные. Вот такой вот парадокс, надо бы над ним подумать :-)

Re: Программисты, фиглиш

[i-talk.livejournal.com]

ОР
сначала идет цепочка из >=0 штук Р ( в среднем 1 )
затем идет цепочка из >0 штук О ( в среднем 2 )
затем Р
итак, после в среднем 4 монет появляется ОР.

С вероятностью 1/2 дальше будет О, с вероятностью 1/2 дальше будет Р; ОРР и ОРО имеют одинаковые шансы "выиграть первый приз". Но что будет дальше?

...ОРО:
+ в среднем 1 О
+ Р
+ с вероятностью 1/2 пришла Р, на месте 8, то есть ОРР

...ОРР:
ОРО должно начинать сначала

Итак, среднее время
ОРР = 1/2 * 5 + 1/4 * 8 + 1/8 *11 + ... = 5/2 + 3/2 + ОРР/2
то есть ОРР = 8
ОРО = 1/2 * 5 + 1/4 * 10 + ... = 5 + ОРО/2 то есть ОРО = 10

Вот. То есть ОРО и ОРР, имеют одинаковые шансы выиграть скачку, но если ОРР приходит первым, оно ставит подлянку ОРО.

[i-talk.livejournal.com]

да, смотри мой анализ, это так.
еще раз, если читать постановку задачи так: я ставлю 100 баксов на ОРР, вы на ОРО и бармен кидает монетку пока один из нас не закричит ура - то с вероятностью 1/2-eps выиграю я, с вероятностью 1/2-eps вы, а с вероятностью 2eps бармену надоест. но если я буду платить $1 за каждый ОРР и получать за каждый ОРО, то после 100000 бросков я буду где то в 3000 минусе.

[http://users.livejournal.com/malfet_/]

Ну, если интуиция подводит, то OPP в среднем должно появляться раньше чем OPO.
Точнее, для бесконечной случайной последовательности, в среднем, расстояние от начала последовательности до подстроки "ОРР" будет меньше чем до подстроки "ОРО"