Скорее всего вы знаете, что такое среднее арифметическое каких-то чисел: это всего лишь их сумма, поделенная на то, сколько их есть. Например, если есть четыре числа

,

,

и

, то их среднее арифметическое равно

.
Другой вид среднего значения - среднее геометрическое: это произведение всех чисел, из которого извлечен корень той степени, сколько есть чисел. Среднее геометрическое чисел

,

,

,

равно

.
Если все числа, среднее значение которых мы хотим посчитать, одинаковы - это одно и то же число - то и среднее арифметическое, и среднее геометрическое тоже будут тем же самым числом. Если же числа разные, то оба эти средние значения будут где-то в промежутке между наименьшим из исходных чисел и наибольшим - оттого они и называются "средние". Но оказывается, что среднее геометрическое в таком случае всегда будет меньше среднего арифметического:

Я написал формулу для четырех чисел, но на самом деле это верно для любого набора положительных чисел. Это неравенство называется теоремой о средних и часто оказывается полезным в математике. Есть очень много разных способов его доказать, но в начале 19-го века французский математик Коши придумал одно особенно красивое доказательство. Вот оно.
Если бы мы хотели доказать это неравенство по индукции, то тогда мы сначала доказали бы, что оно верно для любых двух чисел A и B:

, а потом - что если оно верно для любого набора из

чисел, то верно также для любого набора из

чисел (это называется "шаг индукции"). И тогда из этого бы следовало, что это верно для любого количества чисел: из того, что верно для двух, следует, что верно для трех; из этого следует, что верно для четырех; из этого - что верно для пяти; и так далее до бесконечности - выходит, что верно для любого числа. Это называется "принцип математической индукции".
Но в данном случае так доказать легко не получается. Вместо этого Коши придумал следующий красивый прием: сначала мы докажем по индукции, что неравенство верно, но не для любого количества чисел, а только для степеней двойки: 2 числа, 4 числа, 8, 16, 32, 64 - если взять ровно 32 числа, например, то неравенство будет верно. Но тогда мы пропускаем все промежуточные числа: что если я возьму три числа

,

,

, или 25 чисел, или еще сколько-то? А для всех этих случаев мы докажем, взяв уже доказанную степень двойки и спустившись от нее 'вниз'. Например, из того, что неравенство верно для

чисел, будет вытекать, что оно верно и для 31 числа, и для 30, 29, 28, и так далее. Выходит, что индукция получается как бы двойная: вперед-назад. Сначала мы доказываем только для степеней двойки, "вперед", а потом от достаточно больших степеней двойки возвращаемся ко всем остальным числам, "назад".
Итак, начнем с того,
( Read more... )