![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
о функциях как степенных рядах
Sep. 14th, 2022 11:29 pmЕще одна запись в духе "математика, которую я должен был понять еще в университете, но почему-то тогда не научили или скорее я протупил".
Я читаю учебник по ОДУ (обыкновенные дифференциальные уравнения), чтобы вспомнить и лучше понять то, что когда-то учил, и узнать больше того, что не учил.
Внезапно у меня случилось озарение, настоящее вот просто охватившее меня понимание чего-то, что раньше точно не понимал. Не сомневаюсь, что многим это покажется абсолютно тривиальным, но меня это потрясло.
Возьмем что-то очень простое типа x'(t) = kx(t). Как мы это решаем? - просто показыаем решение, x(t) = C*e^kt, то, что оно работает, очевидно, C зависит от начальных условий, то, что решение единственное, легко показать (если y(t) другое решение, то y(t)*e^-kt имеет производную всюду 0, поэтому константа).
Если мы спросим себя, "почему" это решение работает, то та часть, которая kt и дает в конце коэффициент k, это применение правила сложной функции, так что по сути главное тут то, что производная e^t равна самой e^t. А это можно "прочитать" из определения e^t в виде степенного ряда 1+t+t^2/2 + ... : каждый член при взятии производной сдвигается в соседний слева от него. Все понятно.
Но теперь давайте посмотрим на это с противоположной стороны: мы не знаем, как найти x(t), но у нее есть какой-то степенной ряд (это на самом деле необязятельно, да, но давайте притворимся на секунду, что мы физики), каковы его коэффициенты? Пусть для простоты мы ищем x(t) около t=0, где нам дано начальное условие x(0)=x_0. Тогда степенной ряд выглядит как x(t) = a_0 + a_1t + a_2t^2 + a_3t^3...
и если мы возьмем его производную, то выйдет
x'(t) = a_1 + 2a_2t + 3a_3t^2 + ...
И теперь если мы приравняем x' = kx, то сравнивая по коэффициентам, получаем равенства
а_0 = x_0, a_1 = k*a_0, 2*a_2 = k*a_1, 3*a_3 = k*a_2, итд.
И это просто сразу определяет рекурсивно (рекуррентно) все коэффициенты a_i, и если мы их запишем, то сразу видим, что получили знакомый степенной ряд x_0*e^kt.
Мое озарение состоит в том, что НИЧЕГО НЕ НАДО РЕШАТЬ. Я этого не понимал раньше. Дифференциальное уравнение такого вида - это не какое-то мистическое пугающее что-то, к чему непонятно, как подойти, пока не приходит в голову "а, есть e^t, он нам поможет". Нет, это уравнение просто само по себе говорит нам, какое у него решение. "Хитрость" нужна лишь для того, чтобы его компактно записать в привычной форме. Получается, что дифференциальное уравнение проще, чем скажем квадратное: там нужно подумать, придумать хоть простой, но некий трюк (выделение полного квадрата), чтобы найти формулу ответа. В дифференциальном уравнении ничего и решать не надо, если думать о функциях, как о степенных рядах.
Более того, то же касается систем уравнений, для которых мы используем линейную алгебру. Скажем, есть какие-то
x_1'(t) = 3x_2 + 4x_3
x_2'(t) = -x_3
....
В общем, что-то такое. Здесь производные x1'(t), x2'(t) итд. определены в терминах самих функций, но запутанным способом, как будто спутаны в клубок ниток. И если матрица правой стороны это A, то мы можем поискать такую Q, чтобы QAQ^-1 было диагональной или достаточно близкой к тому, и это похоже на "распутать клубок", разделить переменные, и позволить решить каждое отдельно как какое-то e^kt, или парами как Asin(kt)+Bcos(kt) итд. итп. Т.е. линейная алгебра помогает нам - я думал - *решить* систему.
Но если опять-таки посмотреть на это с т.з. функций как степенных рядов, то опять - и это взорвало мой мозг - РЕШАТЬ НИЧЕГО НЕ НАДО. Сами уравнения дают рекуррентные формулы всех коэффициентов степенных рядов x_i(t) в терминах предыдущих коэффициентов; они все "спутаны вместе", но скажем вычислять их с любой желаемой точностью это никак не мешает. Вся магическая линейная алгебра нужна не для того, чтобы _решить_, а для того, чтобы превратить рекуррентные формулы в эксплицитные функциональные определения, и в этом смысле просматривается очевидная связь между таким решением дифф. системы, и производящими функциями, о которых я писал недавно. Собственно, это все одно и то же.
(но ни один учебник из тех, что попадались мне, включая тот, что я читаю, не объяснял это таким образом...)
Я читаю учебник по ОДУ (обыкновенные дифференциальные уравнения), чтобы вспомнить и лучше понять то, что когда-то учил, и узнать больше того, что не учил.
Внезапно у меня случилось озарение, настоящее вот просто охватившее меня понимание чего-то, что раньше точно не понимал. Не сомневаюсь, что многим это покажется абсолютно тривиальным, но меня это потрясло.
Возьмем что-то очень простое типа x'(t) = kx(t). Как мы это решаем? - просто показыаем решение, x(t) = C*e^kt, то, что оно работает, очевидно, C зависит от начальных условий, то, что решение единственное, легко показать (если y(t) другое решение, то y(t)*e^-kt имеет производную всюду 0, поэтому константа).
Если мы спросим себя, "почему" это решение работает, то та часть, которая kt и дает в конце коэффициент k, это применение правила сложной функции, так что по сути главное тут то, что производная e^t равна самой e^t. А это можно "прочитать" из определения e^t в виде степенного ряда 1+t+t^2/2 + ... : каждый член при взятии производной сдвигается в соседний слева от него. Все понятно.
Но теперь давайте посмотрим на это с противоположной стороны: мы не знаем, как найти x(t), но у нее есть какой-то степенной ряд (это на самом деле необязятельно, да, но давайте притворимся на секунду, что мы физики), каковы его коэффициенты? Пусть для простоты мы ищем x(t) около t=0, где нам дано начальное условие x(0)=x_0. Тогда степенной ряд выглядит как x(t) = a_0 + a_1t + a_2t^2 + a_3t^3...
и если мы возьмем его производную, то выйдет
x'(t) = a_1 + 2a_2t + 3a_3t^2 + ...
И теперь если мы приравняем x' = kx, то сравнивая по коэффициентам, получаем равенства
а_0 = x_0, a_1 = k*a_0, 2*a_2 = k*a_1, 3*a_3 = k*a_2, итд.
И это просто сразу определяет рекурсивно (рекуррентно) все коэффициенты a_i, и если мы их запишем, то сразу видим, что получили знакомый степенной ряд x_0*e^kt.
Мое озарение состоит в том, что НИЧЕГО НЕ НАДО РЕШАТЬ. Я этого не понимал раньше. Дифференциальное уравнение такого вида - это не какое-то мистическое пугающее что-то, к чему непонятно, как подойти, пока не приходит в голову "а, есть e^t, он нам поможет". Нет, это уравнение просто само по себе говорит нам, какое у него решение. "Хитрость" нужна лишь для того, чтобы его компактно записать в привычной форме. Получается, что дифференциальное уравнение проще, чем скажем квадратное: там нужно подумать, придумать хоть простой, но некий трюк (выделение полного квадрата), чтобы найти формулу ответа. В дифференциальном уравнении ничего и решать не надо, если думать о функциях, как о степенных рядах.
Более того, то же касается систем уравнений, для которых мы используем линейную алгебру. Скажем, есть какие-то
x_1'(t) = 3x_2 + 4x_3
x_2'(t) = -x_3
....
В общем, что-то такое. Здесь производные x1'(t), x2'(t) итд. определены в терминах самих функций, но запутанным способом, как будто спутаны в клубок ниток. И если матрица правой стороны это A, то мы можем поискать такую Q, чтобы QAQ^-1 было диагональной или достаточно близкой к тому, и это похоже на "распутать клубок", разделить переменные, и позволить решить каждое отдельно как какое-то e^kt, или парами как Asin(kt)+Bcos(kt) итд. итп. Т.е. линейная алгебра помогает нам - я думал - *решить* систему.
Но если опять-таки посмотреть на это с т.з. функций как степенных рядов, то опять - и это взорвало мой мозг - РЕШАТЬ НИЧЕГО НЕ НАДО. Сами уравнения дают рекуррентные формулы всех коэффициентов степенных рядов x_i(t) в терминах предыдущих коэффициентов; они все "спутаны вместе", но скажем вычислять их с любой желаемой точностью это никак не мешает. Вся магическая линейная алгебра нужна не для того, чтобы _решить_, а для того, чтобы превратить рекуррентные формулы в эксплицитные функциональные определения, и в этом смысле просматривается очевидная связь между таким решением дифф. системы, и производящими функциями, о которых я писал недавно. Собственно, это все одно и то же.
(но ни один учебник из тех, что попадались мне, включая тот, что я читаю, не объяснял это таким образом...)
