геометрические факты

Недавно у старшего ребенка был багрут (общеизраильский выпускной экзамен) по математике. Я помогал ей готовиться.

Структура там устоявшаяся (это 11-й класс, предпоследний, наиболее полная программа из трех вариантов):

- 8 задач
- одна блиц-раунд: четыре мини-задачи по разным темам, надо сделать любые две
- одна на арифметические/геометрические прогрессии
- одна на теорию вероятностей (включая понятие условной вероятности, но не доходя до теоремы Байеса)
- две на геометрию: треугольники, круги, трапеции. Одна из двух обычно с использованием тригонометрии.
- три на исследование функций: область определения, асимптоты, экстремальные значения, точки перегиба, нарисовать график, найти площадь, все это возможно с каким-то параметром, оптимизировать его значение каким-то образом. Обычно одна задача функция с корнями, другая тригонометрическая, третья геометрическая, где функцию надо определить самому из условий, данных словами.
- всего надо решить 5 задач, из них не меньше 2 по функциям, не меньше 1 по геометрии, не меньше 1 из отдела "мини"/прогрессии/вероятности.

Короче, не знаю даже, зачем я все это написал, подумал, вдруг интересно кому из не-израильтян. Я хотел сказать, что решая разные старые экзамены и примеры из специальной брошюры, я сформулировал закономерность. В задачах по геометрии обязательно будет ключевым использование одной из двух теорем:

1. Что биссектриса делит сторону, на которую падает, в той же пропорции, что две остальные стороны треугольника
2. Что угол между касательной к окружности и хордой равен вписанному углу с вершинами этой хорды.

Не знаю, почему составителям на протяжении многих лет именно в этих двух фактах медом намазано, но вот как-то так получилось. Осторожно предположу, что их визуально тяжелее запомнить, чем другие, похожие на них (например, что медианы пересекаются в одной точке и делятся ей в пропорции 1:2, или что вписанный угол в 2 раза меньше центрального). И что составители экзамена видят в них способ "завалить" учеников, которые не готовились прилежно и не подучивали специально разрешенные к использованию "факты" геометрии.

Экзамен был на прошлой неделе. В одной из задач по геометрии первым пунктом шло прямое применение угла между касательной и хордой.