об оптимальных пожертвованиях
Jan. 23rd, 2011 06:45 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaЭкономист Стивен Ландзбург написал несколько лет назад колонку в журнале Slate, в которой он доказывает довольно неинтуитивное, на первый взгляд, утверждение, связанное с пожертвованиями благотворительным организациям. Ландзбург пишет (англ.), что практически всегда лучше все деньги, которые вы решили пожертвовать, дать одной организации - той, которая по вашему мнению наиболее эффективна, приносит больше всего пользы.
Разделить свои деньги между несколькими организациями - хуже, принесет меньше пользы; и это верно даже в том случае, когда вы не уверены, какая из них "лучше" в этом смысле - все равно, пишет он, следует выбрать наиболее вероятную согласно той информации, что у вас есть, и весь бюджет отдать ей. Единственное исключение - когда вы жертвуете столько денег (скажем, вы Билл Гейтс), что они реально могут изменить баланс, например, решить заметную часть всей проблемы, которой занимается данная организация.
Ландзбург предлагает два доказательства своего утверждения - неформальное, и математическое (на отдельной странице, чтобы не пугать читателей так уж сразу). Но мне это математическое кажется неверным, или как минимум нерезонно упрощенным. Однако я не уверен в этом, и среди моих читателей много людей, понимающих и в математике, и в экономике куда больше меня. Я внизу попробую вкратце разобрать его так, как я понимаю, а вы поправьте меня, если не согласны, или добавьте, если видите что-то еще, ладно? Заранее большое спасибо.
Неформальное доказательство Ландзбурга можно вкратце пересказать так.
Меня же больше заинтересовал математический анализ. Пересказ анализа Ландзбурга:
Но мне это кажется странным. Главное - непонятно, что дает Ландзбургу право предполагать (*) хорошим приближением, и почему он говорит "в случае, если ваш вклад намного меньше текущей суммы". При чем тут вообще текущая сумма (X, Y или Z)? Она играет роль точки, в которой мы считаем значение функции пользы или ее производных, но сама ее величина не играет никакой роли. Если кто-то понимает, почему малая величина Δx/X оправдывает этот анализ, объясните мне, потому что я не понимаю.
Что я понимаю - это что можно разложить по теореме Тейлора для нескольких переменных. В таком случае кроме уже приведенного в (*), величина остатка ограничена суммой слагаемых вида
∂U2(X', Y', Z')/∂x2*(Δx)2
и
∂U2(X', Y', Z')/∂x∂y*(ΔxΔy)
где X' лежит где-то между X и X+Δx, и так далее. Если эти слагаемые очень малы, то приближение хорошее. Функция пользы, скорее всего, имеет какой-то вид типа U1(X)+U2(Y)+U3(Z), предполагая, что благотворительные организации действуют в разных областях и не мешают друг другу. В таком случае смешанные производные сразу равны нулю, и нам надо минимизировать только слагаемые с вторыми производными по X, Y, Z. Если вторая производная очень близка к нулю, то даже при относительно большом Δx итд. линейное приближение все равно будет хорошим. Именно это условие, близкой к нулю второй производной, а вовсе не "ваш вклад намного меньше текущей суммы", кажется мне ключевым тут. Когда это случится? Первая производная оценивает эффективность организации в данный момент: сколько она приносит пользы на доллар. Если эффективность не меняется или почти не меняется от добавления долларов, то условие соблюдается. Это верно, например, если ваши деньги идут на приобретение чего-то (например, продуктов для нуждающихся) с каким-то фиксированным overhead'ом. Если же ваши деньги могут идти на инфраструктуру самой благотворительной организации, то они вполне могут поднять эффективность, и тогда вторая производная не будет настолько мала, чтобы игнорировать остаток. Ну и сама сумма пожертвований, если она растет, тоже увеличивает остаток.
Наверное, можно предположить, что если речь идет о благотворительных организациях, уже состоятельных и устоявшихся, то их инфраструктура уже построена, и вторая производная от их функции пользы очень близка к нулю, и тогда аргумент Ландзбурга срабатывает. А если речь идет об относительно небогатых организациях, в которых ваши деньги могут заметно изменить их эффективность, то это не так. Так что косвенным образом это коррелирует с текущим количеством денег X,Y,Z, но отношение Δx/X тут ни при чем. Так мне кажется.
Еще одна вещь остается мне тут непонятной, и она связана с неформальным аргументом Ландзбурга, и тем, почему, как он объясняет, аргумент о благотворительности не проходит, когда речь идет об инвестициях. Попросту говоря, мне непонятно, почему математический аргумент, который я разбираю выше, не работает в точности в случае акций. Там тоже можно представить себе функцию дохода U(X, Y, Z), у которой мы хотим максимизировать матожидание E(U), выбрав, сколько акций X,Y,Z покупать. Если мы не вкладываем много миллионов, состояние на бирже от одного нашего вклада не меняется, эффективность каждой компании не меняется, и вторая производная очень близка к нулю. Ландзбург пишет (неформально):
Разделить свои деньги между несколькими организациями - хуже, принесет меньше пользы; и это верно даже в том случае, когда вы не уверены, какая из них "лучше" в этом смысле - все равно, пишет он, следует выбрать наиболее вероятную согласно той информации, что у вас есть, и весь бюджет отдать ей. Единственное исключение - когда вы жертвуете столько денег (скажем, вы Билл Гейтс), что они реально могут изменить баланс, например, решить заметную часть всей проблемы, которой занимается данная организация.
Ландзбург предлагает два доказательства своего утверждения - неформальное, и математическое (на отдельной странице, чтобы не пугать читателей так уж сразу). Но мне это математическое кажется неверным, или как минимум нерезонно упрощенным. Однако я не уверен в этом, и среди моих читателей много людей, понимающих и в математике, и в экономике куда больше меня. Я внизу попробую вкратце разобрать его так, как я понимаю, а вы поправьте меня, если не согласны, или добавьте, если видите что-то еще, ладно? Заранее большое спасибо.
Неформальное доказательство Ландзбурга можно вкратце пересказать так.
Предположим, взвесив всю известную информацию, оценив риски итд., вы ожидаете, что организация А принесет больше пользы в результате того, что вы дадите ей $100, чем организация B. Скорее всего, однако, эти $100, хоть и принесут пользу, решат только крохотную часть всей проблемы, которой занимается A; поэтому после этого пожертвования ваш анализ не должен измениться, и следующие $100 вам опять следует дать A. Эта ситуация отличается, от, скажем, выбора, какие акции покупать для инвестиции; там действительно стоит разнообразить, но это потому, что, скажем, купив какое-то количество технологических акций, вы уже решили для себя в значительной мере эту проблему, и можно теперь (анализ изменился) сбалансировать ее другим видом акций.Более подробное объяснение см. в статье.
Меня же больше заинтересовал математический анализ. Пересказ анализа Ландзбурга:
Если все, что вы хотите добиться своими пожертвованиями - это принести как можно больше пользы, то можно описать это как стремление максимизировать некую функцию пользы
U(X+Δx, Y+Δy, Z+Δz), где - беря для примера три благотворительные организации - X, Y, Z это деньги, которые у них есть сейчас, а Δx, Δy, Δz - деньги, которые вы жертвуете. Но значение этой функции, "в случае, если ваш вклад намного меньше текущей суммы" - слова Ландзбурга - хорошо приближается выражением
(*) U(X, Y, Z) + ∂U(X)/∂x*Δx + ∂U(Y)/∂y*Δy + ∂U(Z)/∂z*Δz,
а чтобы максимизировать это значение при фиксированной сумме Δx+Δy+Δz (ваш бюджет), ясно, что нужно все деньги вложить в ту организацию, у которой больше всего частная производная в данный момент.
Кроме того, если вы не уверены в эффективности той или иной благотворительной организации, это не меняет анализ: просто считайте U не функцией пользы, а - для данного значения Δx, Δy, Δz - случайной переменной над некоторым пространством событий, выражающей известную вам информацию; и пытайтесь максимизировать матожидание E(U). В таком случае все равно E(U) окажется функцией, к которой применяется аргумент выше, и наибольшее матожиданые выходит при вкладе всех денег в одно место.
Но мне это кажется странным. Главное - непонятно, что дает Ландзбургу право предполагать (*) хорошим приближением, и почему он говорит "в случае, если ваш вклад намного меньше текущей суммы". При чем тут вообще текущая сумма (X, Y или Z)? Она играет роль точки, в которой мы считаем значение функции пользы или ее производных, но сама ее величина не играет никакой роли. Если кто-то понимает, почему малая величина Δx/X оправдывает этот анализ, объясните мне, потому что я не понимаю.
Что я понимаю - это что можно разложить по теореме Тейлора для нескольких переменных. В таком случае кроме уже приведенного в (*), величина остатка ограничена суммой слагаемых вида
∂U2(X', Y', Z')/∂x2*(Δx)2
и
∂U2(X', Y', Z')/∂x∂y*(ΔxΔy)
где X' лежит где-то между X и X+Δx, и так далее. Если эти слагаемые очень малы, то приближение хорошее. Функция пользы, скорее всего, имеет какой-то вид типа U1(X)+U2(Y)+U3(Z), предполагая, что благотворительные организации действуют в разных областях и не мешают друг другу. В таком случае смешанные производные сразу равны нулю, и нам надо минимизировать только слагаемые с вторыми производными по X, Y, Z. Если вторая производная очень близка к нулю, то даже при относительно большом Δx итд. линейное приближение все равно будет хорошим. Именно это условие, близкой к нулю второй производной, а вовсе не "ваш вклад намного меньше текущей суммы", кажется мне ключевым тут. Когда это случится? Первая производная оценивает эффективность организации в данный момент: сколько она приносит пользы на доллар. Если эффективность не меняется или почти не меняется от добавления долларов, то условие соблюдается. Это верно, например, если ваши деньги идут на приобретение чего-то (например, продуктов для нуждающихся) с каким-то фиксированным overhead'ом. Если же ваши деньги могут идти на инфраструктуру самой благотворительной организации, то они вполне могут поднять эффективность, и тогда вторая производная не будет настолько мала, чтобы игнорировать остаток. Ну и сама сумма пожертвований, если она растет, тоже увеличивает остаток.
Наверное, можно предположить, что если речь идет о благотворительных организациях, уже состоятельных и устоявшихся, то их инфраструктура уже построена, и вторая производная от их функции пользы очень близка к нулю, и тогда аргумент Ландзбурга срабатывает. А если речь идет об относительно небогатых организациях, в которых ваши деньги могут заметно изменить их эффективность, то это не так. Так что косвенным образом это коррелирует с текущим количеством денег X,Y,Z, но отношение Δx/X тут ни при чем. Так мне кажется.
Еще одна вещь остается мне тут непонятной, и она связана с неформальным аргументом Ландзбурга, и тем, почему, как он объясняет, аргумент о благотворительности не проходит, когда речь идет об инвестициях. Попросту говоря, мне непонятно, почему математический аргумент, который я разбираю выше, не работает в точности в случае акций. Там тоже можно представить себе функцию дохода U(X, Y, Z), у которой мы хотим максимизировать матожидание E(U), выбрав, сколько акций X,Y,Z покупать. Если мы не вкладываем много миллионов, состояние на бирже от одного нашего вклада не меняется, эффективность каждой компании не меняется, и вторая производная очень близка к нулю. Ландзбург пишет (неформально):
So why is charity different? Here's the reason: An investment in Microsoft can make a serious dent in the problem of adding some high-tech stocks to your portfolio; now it's time to move on to other investment goals.Но мне это кажется нечестным: почему это я должен заранее делить свои цели на high-tech stocks и какие-то другие stocks, почему я должен заранее решить диверсифицировать? Математический анализ, на первый взгляд, показывает, что мне как раз не следует этого делать. Так может, дело совсем не в этом, а в risk aversion, в том, что я готов получить меньшее матожидание прибыли, но минимизировать риск потерять очень много денег? Мне кажется, именно это стоит за рекомендацией диверсификации инвестиций, а не то, что пишет Ландзбург - я прав?
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2011-01-23 04:54 pm (UTC)no subject
Date: 2011-01-23 04:57 pm (UTC)no subject
Date: 2011-01-23 04:59 pm (UTC)no subject
Date: 2011-01-23 05:00 pm (UTC)no subject
Date: 2011-01-23 05:00 pm (UTC)А вот если стремиться, чтобы в самом худшем раскладе убыток был наибольшей, то тут уже надо диверсифицировать, причем довольно сильно - чтобы начал работать закон больших чисел.
Т.е. в первом случае решаем задачу E->max. А во втором случае E(worst 1% cases)->max, как-то так. Ответы разные, и соответствуют логике Ландзбурга.
no subject
Date: 2011-01-23 05:07 pm (UTC)E.g. consider a charity which currently is able to match any contribution with an equal grant from a wealthy donor, until $X is collected. And right now the total is at $X-100. You're clearly better off giving it $100 and the rest of the money to a slightly more efficient charity than giving all money to either. And while this situation can be encoded in a utility function U, Landsburg's analysis can't reach the optimal solution.
I agree that he probably gives a good advice in a typical situation (albeit it pains me a little to admit it, as I don't really like the conclusion), but I do want to understand whether the math is sloppy and the real math requires different assumptions, or I am off base here.
по-моему,
Date: 2011-01-23 05:15 pm (UTC)То же самое математическое рассуждение с той же степенью убедительности доказывает, что люди, подкармливающие зимой воробьёв и синиц, должны выбрать кого-то одного, или что расходы на ремонт водопровода и канализации нужно сконцетрировать на чём-то одном, и пр.
Что же касается акций, где такой количественный анализ более применим, то нас интересует не только математическое ожидание, но и другие параметры - например, вероятность разориться и пр.
no subject
Date: 2011-01-23 05:20 pm (UTC)Re: по-моему,
Date: 2011-01-23 05:31 pm (UTC)Если они хотят спасти побольше неважно каких птиц, именно так они и дрлжны поступать.
[[расходы на ремонт водопровода и канализации нужно сконцетрировать на чём-то одном]]
Нет, потому что водопровод можно починить до конца. А вылечить всех больных до конца, или даже значительную часть, не получается.
Re: по-моему,
Date: 2011-01-23 05:33 pm (UTC)При условии что на подкормку есть возможность выделить всего лишь 1 (одно) ячменное зерно, это безусловно верно. И скорей всего верно и для 2 зерен.
no subject
Date: 2011-01-23 05:37 pm (UTC)2) черт его знает. например, возможно, с хайтек стоками мы не можем более предположить независимость организаций.
это уже годится,
Date: 2011-01-23 05:37 pm (UTC)вы экономист, если, подкармливая птиц зимой, стараетесь спасти побольше неважно каких птиц
no subject
Date: 2011-01-23 05:41 pm (UTC)Conditional matching gifts are typical of nonprofits rather than charities; the difference may not be obvious when the nonprofits operate under the umbrella of the charities. Matching is OK, but conditional matching is not, for the great majority of charitable organizations (it may even be excluded legally for the charity to retain its status -a lawyer would know). It is travesty of charity putting conditions on it.
Another consideration is what do you want, as a donor, to accomplish through charity. If it is maximizing the good that YOUR contribution will foster then matching does not increase this utility function, because it brings someone else's money. So you need to make guesses about the character of the utility functions. For some choices L.'s logic applies, and for some it does not.
Re: это уже годится,
Date: 2011-01-23 05:50 pm (UTC)no subject
Date: 2011-01-23 05:55 pm (UTC)Наименьший, наверное?
no subject
Date: 2011-01-23 05:58 pm (UTC)no subject
Date: 2011-01-23 06:09 pm (UTC)Ну и вообще, если, например, функция полезности U(x,y)=Ax+By^2, то U(x+Δx,y+ Δy)=AΔx+2ByΔy+B(Δy)^2 и при этом B=A/(2y) - %epsilon, то по логике статьи мы должны бы выбрать первый фонд, поскольку A> 2By, однако на самом деле функция полезности может быть больше, если выбрать второй фонд
no subject
Date: 2011-01-23 06:20 pm (UTC)Re: это уже годится,
Date: 2011-01-23 06:24 pm (UTC)Т.е. какая-то диверсификация привлекательна.
Но, поскольку, даже в плохом случае есть вера, что ничего уж совсем страшного не произойдет, то критическая вероятность подсознательно где-то держится на на уровне 1% (как на бирже), а например 10%.
Т.е. если с E(90% best cases)->max, то и ладно.
no subject
Date: 2011-01-23 06:25 pm (UTC)http://en.wikipedia.org/wiki/Envelope_theorem
no subject
Date: 2011-01-23 06:27 pm (UTC)no subject
Date: 2011-01-23 06:29 pm (UTC)no subject
Date: 2011-01-23 06:36 pm (UTC)Единственный раз, когда я изменил этому правилу - это когда я все же пожертвовал википедии. Очень уж задрали.
no subject
Date: 2011-01-23 06:45 pm (UTC)no subject
Date: 2011-01-23 06:52 pm (UTC)Только если первая производная - ноль по всем направлениям, тогда начинаем интересоваться вторыми производными. И т.д.