бесконечность и континуум в физике

[avva]

Прочитал жутко интересную обзорную статью Джона Баэза о проблемах бесконечно больших и малых расстояний в физике, очень рекомендую:

Struggles with the Continuum (PDF)

Все современные физические теории опираются на понятие пространственного или пространственно-временного континуума, в котором единицы длины и времени делятся на сколь угодно малые величины. Мы не знаем на самом деле, является ли физическое пространство таковым - бесконечно делимым - или есть какая-то очень малая фундаментальная единица длины, меньше которой ничего быть не может. Но статья Баэза не совсем об этом - она о том, что даже если пространство-время можно бесконечно делимы, известные нам физические теории не вполне справляются с тем, что происходит в пределе все меньших и меньших расстояний.

Может ли ньютоновская теория притяжения корректно описать столкновение двух точечных частиц, притягивающих друг друга? Если считать электрон точечной заряженной частицей, то как на него действует создаваемое им самим электрическое поле? Оказывается, например, что наивный подход - посмотреть на электрон как на крохотную сферу, равномерно покрытую зарядом, а потом устремить радиус сферы к нулю - дает неверное значение энергии. А попытка описать действие электромагнитного поля на частицу, движущуюся в нем с ускорением, дает очень странную формулу, предсказывающую парадоксальные решения, не наблюдаемые на опыте.

О всем этом в данной статье, а также о перенормировке в квантовой теории поля (это кстати написано очень понятным и ясным языком, впервые у меня создалось пусть наивное, но представление о том, как это работает и зачем необходимо), о Стандартной Модели и о черных дырах и сингулярностях в общей теории относительности.

Плюс там отличная, на первый взгляд, библиография с кучей интересных статей об истории всех этих открытий, на которые он ссылается в тексте.

Пример цитаты оттуда:

"In practice, quantum field theory is marvelously good for calculating answers to many physics questions. The answers involve approximations. These approximations seem to work very well: that is, they answers that match experiments. Unforunately we do not fully understand, in a mathematically rigorous way, what these approximations are supposed to be approximating."

Comments

[nihao-62.livejournal.com]

Все современные физические теории опираются на понятие пространственного или пространственно-временного континуума, в котором единицы длины и времени делятся на сколь угодно малые величины.

Я бы уточнил. Опираются на математический аппарат, которым они оперируют, а уж который в свою очередь опирается на...

А он ведь не совсем опирается. Аппарат всех предупреждал - принимаете ли вы аксиому выбора или нет? На себя пеняйте после решения о том.

Приняли - получили возможность оперировать непрерывностью функций. И матанализ выжил.
----
А может вот именно там - куда вы посмотрели - и невозможна никакая непрерывность? Перестала работать аксиома выбора.

[(Anonymous)]

Вспоминается милый рассказ "Иван Кузьмич в мире точек".

https://a-g0r.livejournal.com/210891.html

[alexanderr.livejournal.com]

казалось бы, это одна из причин, почему стали придумывать струны, чтобы не возиться с этими точечными сингулярностми

а фундаментальная единица есть, это планковский размер, 1.6*10^-35 если в метрах. sqrt(hbar*G/c^3)

суперструнщики часто жалуются, что Planck length очень маленькая, из-за этого ничего проверить на эксперименте невозможно

[nikaan.livejournal.com]

а какая связь аксиомы выбора с непрерывностью?

[livelight]

Таки да, планковский размер. Если мы принимаем неопределённость Гейзенберга (а от неё никуда не денешься), то его тоже придётся принять: грубо говоря, чтобы локализовать частицу с меньшей пространственной погрешностью, нам придётся зафигачить в неё фотоном, который свернётся в чОрную дыру.

[muh2.livejournal.com]

Для этого придумали не струны, а квантовую электродинамику. Если мы еще о проблеме взаимодействия электрона с собственным зарядом. И мне казалось, что там все понятно с апроксимациями. Струны -это попытка туда вплести еще и гравитацию. Что понятно уже из определения Планковской длины.

[muh2.livejournal.com]

А чем нибудь другим зафигачить нельзя?

[(Anonymous)]

определение 1: функция f непрерывна в точке a, если для любой последовательности z_n→a имеем f(z_n)→f(a)

определение 2: функция f непрерывна в точке a, если ∀ε>0,∃δ>0:∀z∈E,|z−a|<δ⟹|f(z)−f(a)|<ε

эти два определения эквивалентны только если принять аксиому выбора (счетного)

[nikaan.livejournal.com]

определения я знаю, аксиому выбора тоже, казалось. Где именно она тут нужна? Из второго первое следует всегда, из первого второе -- ну, там нужно какую-то последовательность выбирать, но можно, скажем, каждый раз брать инфимум среди тех, для кого |f(z)-f(a)|>e. Кажется, не нужна она.

Да даже если и нужна здесь, то ничего не мешает жить, пользуясь только одним определением (вторым, например), неясно что из-за этого рушится. Теория меры, наверное, страдает, но просто непрерывные функции..

[livelight]

Не нужна тут аксиома выбора. Достаточно знания, что такой элемент (δ) существует, но нам не нужно тыкать в него пальцем. Ну иди тупо супремум по таким дельтам взять.

[livelight]

Гейзенбергу пофиг.

Планковская длина является пределом расстояния, меньше которого сами понятия пространства и длины перестают существовать. Любая попытка исследовать существование более коротких расстояний (меньше, чем 1,6·10⁻³⁵ метров), осуществляя столкновения при более высоких энергиях, неизбежно закончилась бы рождением черной дыры. Столкновения при больших энергиях, вместо того, чтобы дробить вещество на более мелкие кусочки, приведут к рождению черных дыр все большего размера

"Любая попытка", не только исследование фотонами.

[(Anonymous)]

Зачем вы сокращаете урлы? Чтобы было непонятно, куда ведет ссылка? Чтобы через пять лет ссылка сдохла, а новый владелец домена гу.гл повесил туда копию с червями или фишингом?

[abba65.livejournal.com]

Мне тоже странно слышать - есть ли "какая-то очень малая фундаментальная единица длины, меньше которой ничего быть не может"?
Ну конечно, есть - планковская длина.
Иначе как бы Ахиллес догнал черепаху?

А бесконечная делимость пространства - всего лишь математическая фантазия.

[(Anonymous)]

Срочно обращайтесь в нобелевский комитет. Во уч0ные-то лохи, всё ведь ясно как день!

[avva.livejournal.com]

Мне стало любопытно проследить несколько раз, сколько людей переходят по моим ссылкам - и в частности, сколько переходят по ним из ЖЖ в сравнении с ФБ. Гу.гл принадлежит Гуглу, так что я предполагаю, что нового владельца у него в обозримом будущем не будет, но если вдруг перестанет работать, я постараюсь ретроактивно сменить ссылки.

Кроме кол-ва нажатий на ссылку, никакой другой информации гу.гл мне не дает.

от Капитана Очевидности

[urod.livejournal.com]

Кто ещё не читал, рекомендую Ли Смолина:

http://www.rodon.org/sl/nsfvtsunichzes/

Ваш Кэп

[boffin.livejournal.com]

А были ли попытки применить нестандартный анализ к физическим проблемам?
Вроде бы кажется что определение бесконечно малых в нестандартном анализе куда лучше подходит к физической реальности в которой существует планковская длина

[dmpogo.livejournal.com]

Как говорил нам Зельдович, в физическом опыте нет бесконечно малого, мат анализ это удобное приближенно описание

[avva.livejournal.com]

Разве? Я бы предположил наоборот, что какие-то попытки заменить пределы и производные на конечные формулировки, может в духе
https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_difference_method
лучше подходят к планковской длине, хотя что делать с точностью, неясно.

[avva.livejournal.com]

Понять бы, почему это происходит, что удобным описанием оказывается (возможно) фактически неверное.

[(Anonymous)]

> Оказывается, например, что наивный подход - посмотреть на электрон как на крохотную сферу, равномерно покрытую зарядом, а потом устремить радиус сферы к нулю - дает неверное значение энергии.

Потому что это ахинея. Электрон, как и прочие "элементарные" частицы не является точечной частицей бесконечно малого радиуса.

Возможно, Вы помните фразу Ленина "Электрон так же неисчерпаем, как и атом".

Предсказание Ленина частично подтвердилось уже в 1920-ые, когда у электрона был обнаружен спин (магнитный момент, магнитные полюса).

[dmpogo.livejournal.com]

  Здесь речь была не о неверности (в смысле - упругости тампршстранство дискретно), А  о том что весь наш опыт , все измерения - дискретных, конечные разности. Поэтому и пользование непрерывных функций и производных в законах и расчетах это как раз приближение (а не наоборот).  Модель непрерывного пространства - наша математическая абстракция, возможно наиболее продуктивная, а может и не всегда

[rednyrg721.livejournal.com]

На каждый сокращатель есть разворачиватели :)

redirectdetective.com, unshorten.it, unshorten.me - море их

[(Anonymous)]

я человек туповатый, меня чему когда-то научили, то помню. док-во тут печатать муторно, можно погуглить "countable choice" "sequential continuity" или прямо пойти сюда math.stackexchange.com/questions/1329634/sequential-continuity-is-equivalent-to-epsilon-delta-continuity-implie

[occuserpens.livejournal.com]

[наивный подход - посмотреть на электрон как на крохотную сферу, равномерно покрытую зарядом, а потом устремить радиус сферы к нулю - дает неверное значение энергии]

Уж на что я в квантмехе блондин, но и то знаю, что электрон - ни разу не сфера