о законах кеплера
May. 29th, 2019 05:28 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaЯ размышлял над тем, как сделать более простым/наглядным док-во того, что орбиты планет вокруг Солнца - эллипсы, как следствие закона притяжения Ньютона (иными словами, вывод законов Кеплера из закона притяжения и второго закона Ньютона).
Есть пятьсот тысяч объяснений этого, в учебниках, тьюториалах, страницах в сети, википедии итд. Все, что я видел, переходят к полярным координатам, и в конечном итоге выводят уравнение траектории r = L/(1+e*cos(\phi)), т.е. зависимость радиуса от угла, где L и e - константы. Это общее уравнение конического сечения; в зависимости от значения e, оно может быть эллипсом, параболой или гиперболой. Но мне кажется, что можно "проще" (пусть и необязательно "правильнее"). Можно обойтись без полярных координат, без d(\phi)/dt итп., а все делать в обычной координатной системе, и в итоге получить общее уравнение конического сечения в картезианской форме, а именно Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F = 0, где A...F какие-то константы. Это опять-таки может быть эллипсом, параболой или гиперболой, в зависимости от значения детерминанта B^2-4AC, подробности в википедии про конические сечения.
Если читатель помнит, что такое производные и как брать производную сложной функции, и что скорость/ускорение - первая/вторая производная от положения, этого достаточно для док-ва эллиптической орбиты, и мне это кажется полезным. План примерно такой. Обозначим с помощью x', x'', y', y'' производные по t. Второй закон Ньютона вместе с формулой силы притяжения превращается в уравнения:
x'' = (-k/r^3)*x
y'' = (-k/r^3)*y, где r = sqrt(x^2+y^2), расстояние до Солнца, оно же начало координат, а k - постоянная.
Пользуясь этими формулами, мы видим, что L = xy' - x'y является постоянной величиной, потому что dL/dt = 0 (L это удельный угловой момент, но необязательно говорить это вслух). Далее мы строим пару координат y'L - x(k/r), -x'L - y(k/r), и показываем, что каждая из этих координат тоже постоянна (тут единственное место с немного утомительными выкладками), поэтому их можно обозначить как некие (c1, c2). На самом деле это так называемый вектор Лапласа-Рунге-Ленца, но это тоже необязательно говорить вслух. Теперь если подставить в c1*x+c2*y вышеуказанные определения c1,c2, то это окажется равным L^2-kr, т.е. иными словами kr = L^2-c1*x-c2*y. Но это все, что нужно, потому что возведя обе стороны в квадрат, слева мы получаем r^2=x^2+y^2, и все вместе оказывается квадратичным уравнением от x,y, т.е. общей формой конического сечения.
Может быть, стоит записать это более подробно и с нормальной математической нотацией. Мне кажется, есть немало людей, которым такое объяснение может быть доступно и интересно, а к подходу через полярные координаты, угловой момент в виде r^2*d(phi)/dt, итд. они не подготовлены.
Есть пятьсот тысяч объяснений этого, в учебниках, тьюториалах, страницах в сети, википедии итд. Все, что я видел, переходят к полярным координатам, и в конечном итоге выводят уравнение траектории r = L/(1+e*cos(\phi)), т.е. зависимость радиуса от угла, где L и e - константы. Это общее уравнение конического сечения; в зависимости от значения e, оно может быть эллипсом, параболой или гиперболой. Но мне кажется, что можно "проще" (пусть и необязательно "правильнее"). Можно обойтись без полярных координат, без d(\phi)/dt итп., а все делать в обычной координатной системе, и в итоге получить общее уравнение конического сечения в картезианской форме, а именно Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F = 0, где A...F какие-то константы. Это опять-таки может быть эллипсом, параболой или гиперболой, в зависимости от значения детерминанта B^2-4AC, подробности в википедии про конические сечения.
Если читатель помнит, что такое производные и как брать производную сложной функции, и что скорость/ускорение - первая/вторая производная от положения, этого достаточно для док-ва эллиптической орбиты, и мне это кажется полезным. План примерно такой. Обозначим с помощью x', x'', y', y'' производные по t. Второй закон Ньютона вместе с формулой силы притяжения превращается в уравнения:
x'' = (-k/r^3)*x
y'' = (-k/r^3)*y, где r = sqrt(x^2+y^2), расстояние до Солнца, оно же начало координат, а k - постоянная.
Пользуясь этими формулами, мы видим, что L = xy' - x'y является постоянной величиной, потому что dL/dt = 0 (L это удельный угловой момент, но необязательно говорить это вслух). Далее мы строим пару координат y'L - x(k/r), -x'L - y(k/r), и показываем, что каждая из этих координат тоже постоянна (тут единственное место с немного утомительными выкладками), поэтому их можно обозначить как некие (c1, c2). На самом деле это так называемый вектор Лапласа-Рунге-Ленца, но это тоже необязательно говорить вслух. Теперь если подставить в c1*x+c2*y вышеуказанные определения c1,c2, то это окажется равным L^2-kr, т.е. иными словами kr = L^2-c1*x-c2*y. Но это все, что нужно, потому что возведя обе стороны в квадрат, слева мы получаем r^2=x^2+y^2, и все вместе оказывается квадратичным уравнением от x,y, т.е. общей формой конического сечения.
Может быть, стоит записать это более подробно и с нормальной математической нотацией. Мне кажется, есть немало людей, которым такое объяснение может быть доступно и интересно, а к подходу через полярные координаты, угловой момент в виде r^2*d(phi)/dt, итд. они не подготовлены.
