геометрическая иррациональность
Oct. 20th, 2022 10:54 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaКрасивое геометрическое доказательство иррациональности квадратного корня из двух.
Возьмем прямоугольный треугольник с катетами 1 и 1. Длина его гипотенузы - корень из двух (по теореме Пифагора). Если это число рационально и равно a/b, то мы можем увеличить треугольник в b раз, и получить таким образом равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого все стороны целые числа (в данном случае: b,b и a).
Но такая ситуация невозможна, и вот почему. Если у нас есть равнобедренный прямоугольный треугольник с целыми сторонами, то можно внутри него построить другой такой же, но поменьше (сейчас объясню, как). Тогда внутри него можно построить еще поменьше, потом еще и так без конца. Но так не может быть: невозможно уменьшать длины сторон без конца, оставляя их целыми (скажем, если сейчас сторона длиной 1000, то больше 1000 раз ее не уменьшить, хоть удавись). Это противоречие доказывает, что такой треугольник не существует, и значит корень из двух не равен никакой дроби a/b.
Как построить внутри такого (равнобедренного прямоугольного с целыми сторонами) треугольника еще один такой же поменьше?
Смотрим внимательно на картинку.
Окружность с радиусом в длину катета отсекает кусок от гипотенузы. От места пересечения ведем перпендикуляр вниз на второй катет. Новый треугольник поменьше имеет катеты, обозначенные двумя сечениями.
1. Он прямоугольный по построению (повели перпендикуляр).
2. Он равнобедренный по равенству обозначенных углов. В исходном треугольнике два угла по 45° (т.к. он равнобедренный). В новом прямоугольнике есть один из этих 45° и один прямой угол, значит, оставшийся тоже 45°.
3. Два касательных отрезка к окружности из одной точки равны друг другу, и поэтому все три отрезка, обозначенные двумя сечениями, равны между собой (и равны разности гипотенузы и катета старого треугольника). Отсюда видим, что все три стороны нового треугольника получаются вычитаниями из сторон старого, и остаются целыми числами, если старые были целыми.
(доказательство придумал Том Апостол и опубликовал в 2000-м году).
Возьмем прямоугольный треугольник с катетами 1 и 1. Длина его гипотенузы - корень из двух (по теореме Пифагора). Если это число рационально и равно a/b, то мы можем увеличить треугольник в b раз, и получить таким образом равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого все стороны целые числа (в данном случае: b,b и a).
Но такая ситуация невозможна, и вот почему. Если у нас есть равнобедренный прямоугольный треугольник с целыми сторонами, то можно внутри него построить другой такой же, но поменьше (сейчас объясню, как). Тогда внутри него можно построить еще поменьше, потом еще и так без конца. Но так не может быть: невозможно уменьшать длины сторон без конца, оставляя их целыми (скажем, если сейчас сторона длиной 1000, то больше 1000 раз ее не уменьшить, хоть удавись). Это противоречие доказывает, что такой треугольник не существует, и значит корень из двух не равен никакой дроби a/b.
Как построить внутри такого (равнобедренного прямоугольного с целыми сторонами) треугольника еще один такой же поменьше?
Смотрим внимательно на картинку.
Окружность с радиусом в длину катета отсекает кусок от гипотенузы. От места пересечения ведем перпендикуляр вниз на второй катет. Новый треугольник поменьше имеет катеты, обозначенные двумя сечениями.
1. Он прямоугольный по построению (повели перпендикуляр).
2. Он равнобедренный по равенству обозначенных углов. В исходном треугольнике два угла по 45° (т.к. он равнобедренный). В новом прямоугольнике есть один из этих 45° и один прямой угол, значит, оставшийся тоже 45°.
3. Два касательных отрезка к окружности из одной точки равны друг другу, и поэтому все три отрезка, обозначенные двумя сечениями, равны между собой (и равны разности гипотенузы и катета старого треугольника). Отсюда видим, что все три стороны нового треугольника получаются вычитаниями из сторон старого, и остаются целыми числами, если старые были целыми.
(доказательство придумал Том Апостол и опубликовал в 2000-м году).
