avva | о великом чит-коде

У ребенка на мат. кружке была задача:

Есть 50 целых чисел. Известно, что после того, как в каждому из них прибавили 1, сумма их квадратов от этого не изменилась. Изменится ли сумма их квадратов (и если да - на сколько), если их опять все увеличить на 1?

Если хотите решить самостоятельно, отложите чтение этой записи прямо сейчас и решайте, потому что дальше я буду обсуждать решение.

У ребенка была проблема с этой задачей, и после того, как мы вместе ее разобрали, я предложил ее еще нескольким людям, и заметил общий тренд у тех, кому было трудно с ней справиться. Об этом я и хочу поговорить после того, как объясню решение задачи.

Задача решается с помощью алгебры. Обозначим наши 50 чисел через x1, x2, ..., x50. Тогда сумма их квадратов это x1^2 + x2^2 + ... + x50^2. А если мы прибавим 1 к каждому числу, и опять возьмем сумму квадратов, то это будет сумма из 50 слагаемых вида (x1+1)^2. Если раскрыть скобки, то это x1^2 + 2*x1 + 1. Если сложить это все для всех 50 чисел, и сгруппировать отдельно квадраты, иксы и просто числа, то выйдет сумма x1^2 + ... + x50^2 (это квадраты) + 2*(x1+x2+...+x50) (это иксы) + 50. Из того, что "сумма их квадратов от этого не изменилась", получаем, что все это вместе равно исходной сумме квадратов, и приравняв, видим, что эту сумму квадратов можно сократить с обеих сторон, и остается, что 2*(x1+...+x50) + 50 = 0, или x1+...+x50 = -25.

Теперь добавим еще раз единицу ко всем числам и возьмем суммы квадратов, это будет сумма слагаемых типа (x1+2)^2, или x1+4*x1+4. Просуммировав отдельно квадраты, иксы и числа, видим, что сумма отличается от просто "сумма квадратов" на 4*(x1+...+x50) + 4*50, но мы уже нашли раньше, что сумма всех чисел равна -25, значит, эта разница равна 4*(-25)+200 = 100. И это ответ.

Обратите внимание, что в процессе этого решения мне не пришлось ничего "изобретать". Нет никаких трюков, не надо никаких догадок, не надо замечать что-то особенное. Нужно: обозначить неизвестные числа буквами; записать с помощью формул то, о чем говорится в условии; попробовать упростить эти формулы (раскрыть скобки, сгруппировать вместе похожие слагаемые) и посмотреть, куда это нас приведет. Ну можно придраться и сказать "надо было догадаться раскрыть скобки в (x1+1)^2" или что-то в этом роде, но это совершенно стандартное поведение, когда пытаешься справиться с какими-то алгебраическими выкладками. Простой рецепт "обозначь буквами, запиши слова формулами и уравнениями, попытайся упростить и решить, посмотри, что получается" ведет прямо от условия к ответу.

Что делали люди, которые затруднялись решить задачу? Некоторые пытались найти конкретный пример, набор из 50 чисел, который отвечал бы данному условию (прибавили 1, сумма квадратов не изменилась). Кстати, у кого-то это получилось быстро, так что можно сказать, что и не "затруднялся", но все равно это требовало определенной изобретательности, некоего мини-озарения. Другие долго подбирали числа. Или просто глядели на задачу и не знали, как к ней подойти. Но когда я предлагал им "обозначьте буквами, запишите, что сказано словами - формулами", они с некоторым сомнением пытались это сделать - и быстро приходили к ответу. Иногда я по дороге пару раз говорил что-то типа "а дальше что?", но реально никуда не направлял и не давал информации кроме этого начального совета.

Какова мораль этой истории?

Алгебра в решении этой задачи работает как чит-код в компьютерной игре: игрок застрял, не знает, куда идти на карте или как пройти препятствие, а с чит-кодом все просто, все само собой проходится и решается.

Те, кто изучал историю математики (очень рекомендую, жутко интересно, помогает взглянуть на знакомое по-новому), знают, что за привычной алгебраической записью скрываются нетривиальные открытия. Знак "плюс" - это изобретение, знак "равно" - изобретение, а уж какое "икс" нетривиальное изобретение, это вообще дух захватывает, а про отрицательные числа я вообще молчу. Все эти вещи придумали, а до того выписывали длинными словами и предложениями и рассуждениями, уравнения разбивали на множество сложных категорий (потому что не было чит-кода в виде отрицательных чисел), и все это было стократ более сложно и муторно. За правилом "обозначь буквами, запиши слова формулами и уравнениями, попытайся упростить и решить, посмотри, что получается" скрывается огромный накопленный цивилизационный опыт. Этот опыт воплотился в алгебре - мощнейшем чит-коде, который гигантское число разнообразных задач сводит к простым и естественным манипуляциям буквами и символами, и не нужны гениальные догадки.

Но нужно об этом чит-коде знать и помнить. И часто дети и взрослые, в принципе знакомые с чит-кодом и умеющие его применить, не делают именно этот первый шаг, даже не думают о нем, не приходит в голову. Надо твердо заучить, приучить себя: не понимаешь, что делать, не знаешь, как вообще подступить к этому?

Обозначь неизвестное буквами. Запиши то, что сказано словами - формулами с этими буквами. Преврати условие в уравнение или неравенство с этими буквами. Попытайся упростить и решить. Посмотри, к чему это приводит.