пифагор через биссектрису

[avva]

Красивое доказательство теоремы Пифагора, относительно малоизвестное.

ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом в вершине C. Проведем биссектрису AD, которая делит угол при вершине A пополам. Из точки ее пересечения со стороной a опустим перпендикуляр DE на гипотенузу.

Мы видим, что CD=ED (обозначены x) и AC=AE=b, оба эти равенства следуют из равенства прямоугольных треугольников ADC и ADE с общей гипотенузой и равными углами в A.

Треугольники ABC и DBE подобны (они прямоугольны и угол при B одинаков). Значит, их стороны равны в пропорции. Стороны ABC: c, a, b. Стороны DBE в том же порядке: a-x, c-b, x. Следовательно:

1) (a-x)/c = (c-b)/a, перемножая крест-накрест (a-x)*a = (c-b)*c, или a^2 - ax = c^2 - bc
2) (c-b)/a = x/b, перемножая крест-накрест (c-b)*b = ax

Второе уравнение позволяет нам заменить ax на (c-b)*b в первом, и получаем

a^2 - bc + b^2 = c^2 - bc, что после сокращения дает нам желанное a^2+b^2=c^2.

(Есть похожее доказательство, чуть проще и гораздо более известное, где мы проводим не биссектрису, а опускаем высоту из вершины C на гипотенузу. Это дает два меньших треугольника, подобных первоначальному, и опять-таки из равенства сторон в пропорции легко получить a^2+b^2=c^2. Но мне нравится это своей ненавязчивой асимметрией)