про ранг матрицы
May. 18th, 2024 01:38 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaПусть есть матрица A размером mxn, т.е. необязательно квадратная. Ранг системы столбцов A - это максимальное число линейно независимых столбцов (или, что то же самое, минимальное число столбцов, линейно порождающих все остальные). Ранг системы строк - максимальное число линейно независимых строк. Как известно, эти два ранга всегда равны и называются простом рангом A. Два стандартных способа это доказать - либо через приведение к матрице ступенчатого вида по строкам и столбцам одновременно, либо, более абстрактно, через теорему о размерностях ядра и образа линейного отображения.
Сегодня прочитал другое элегантное доказательство этого равенства (из журнала MAA за 2005 год). Если А нулевая матрица, то оба ранга равны нулю. Иначе рассмотрим все способы представить A = BC, где B,C матрицы размера mxr и rxn, и выберем минимальный r, для которого это возможно. Такой r существует и даже меньше или равен m и n, потому что можно выбрать саму A в качестве B или C, и умножить на единичную матрицу.
Вспомним, что если A=BC, то i-я строка Α - это линейная комбинация всех строк C с коэффициентами из i-й строки B. Отсюда следует, что если скажем s строк A линейно порождают все остальные, то можно из этих s строк составить C размером sxn, и подобрать B из правильных коэффициентов так, что A=BC. Но тогда ранг системы строк A равен r, определенному в предыдущем абзаце.
Похожим образом, если часть столбцов A количеством s линейно порождают все остальные, то из этой части можно составить B размером mxs, и подобрать коэффициенты в C так, что A=BC. Поэтому ранг системы строк A тоже равен r, и два ранга равны между собой. Конец доказательства.
P.S. Из этого доказательства можно "бесплатно" сразу получить свойство ранга произведения. Пусть ранг A и D равен r и s соответственно, а A=BC, D=EF разложения по матрицам с промежуточными измерениями r и s соответственно. Тогда разложения AD = B(CEF) = (BCE)F показывает, что ранг AD меньше или равен r и s.
Сегодня прочитал другое элегантное доказательство этого равенства (из журнала MAA за 2005 год). Если А нулевая матрица, то оба ранга равны нулю. Иначе рассмотрим все способы представить A = BC, где B,C матрицы размера mxr и rxn, и выберем минимальный r, для которого это возможно. Такой r существует и даже меньше или равен m и n, потому что можно выбрать саму A в качестве B или C, и умножить на единичную матрицу.
Вспомним, что если A=BC, то i-я строка Α - это линейная комбинация всех строк C с коэффициентами из i-й строки B. Отсюда следует, что если скажем s строк A линейно порождают все остальные, то можно из этих s строк составить C размером sxn, и подобрать B из правильных коэффициентов так, что A=BC. Но тогда ранг системы строк A равен r, определенному в предыдущем абзаце.
Похожим образом, если часть столбцов A количеством s линейно порождают все остальные, то из этой части можно составить B размером mxs, и подобрать коэффициенты в C так, что A=BC. Поэтому ранг системы строк A тоже равен r, и два ранга равны между собой. Конец доказательства.
P.S. Из этого доказательства можно "бесплатно" сразу получить свойство ранга произведения. Пусть ранг A и D равен r и s соответственно, а A=BC, D=EF разложения по матрицам с промежуточными измерениями r и s соответственно. Тогда разложения AD = B(CEF) = (BCE)F показывает, что ранг AD меньше или равен r и s.
