три чуда линейной алгебры
May. 22nd, 2024 09:08 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaУ известного венгерского математика Ласло Бабаи есть, оказывается, учебник линейной алгебры, еще не дописанный до конца, под названием "Discover Linear Algebra". Большинство доказательств в нем дается в виде упражнений.
В предисловии Бабаи пишет о "трех чудесах линейной алгебры".
Первое чудо: невозможно усилить линейную независимость. Среди линейных комбинаций m векторов мы никогда не найдем m+1 линейно независимых векторов.
Второе чудо: ранг строк матрицы и ранг столбцов равны друг другу, "факт, который не перестает меня изумлять. Какое отношение линейная независимость столбцов имеет к линейной независимости строк? Они ведь даже живут в разных вселенных, если матрица не квадратная!"
Третье чудо связано со вторым: если строки матрицы образуют ортонормальный базис, то и столбцы тоже. Почему скалярные произведения столбцов и строк связаны друг с другом?
Торопясь побыстрее продраться сквозь эти теоремы, пишет Бабаи, мы часто не замечаем волшебство, таящееся в них.
Насчет самого учебника не знаю, не изучал внимательно, но эти замечания меня покорили. А еще очень понравился пример, тоже из предисловия, задачи, которая легко решается с помощью линейной алгебры. Пусть у нас есть какой угодно ненулевой многочлен - тогда можно всегда найти другой многочлен, так, что в их произведении только у степеней x с простым порядком (2,3,5,7...) есть ненулевые коэффициенты.
В предисловии Бабаи пишет о "трех чудесах линейной алгебры".
Первое чудо: невозможно усилить линейную независимость. Среди линейных комбинаций m векторов мы никогда не найдем m+1 линейно независимых векторов.
Второе чудо: ранг строк матрицы и ранг столбцов равны друг другу, "факт, который не перестает меня изумлять. Какое отношение линейная независимость столбцов имеет к линейной независимости строк? Они ведь даже живут в разных вселенных, если матрица не квадратная!"
Третье чудо связано со вторым: если строки матрицы образуют ортонормальный базис, то и столбцы тоже. Почему скалярные произведения столбцов и строк связаны друг с другом?
Торопясь побыстрее продраться сквозь эти теоремы, пишет Бабаи, мы часто не замечаем волшебство, таящееся в них.
Насчет самого учебника не знаю, не изучал внимательно, но эти замечания меня покорили. А еще очень понравился пример, тоже из предисловия, задачи, которая легко решается с помощью линейной алгебры. Пусть у нас есть какой угодно ненулевой многочлен - тогда можно всегда найти другой многочлен, так, что в их произведении только у степеней x с простым порядком (2,3,5,7...) есть ненулевые коэффициенты.
