о пересечениях
Aug. 22nd, 2025 12:53 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaПытался вспомнить самостоятельно, нигде не подсматривая, как доказать, что в треугольнике пересекаются в одной точке разные линии: 1) медианы 2) высоты 3) биссектрисы 4) серединные перпендикуляры
(почему пытался? Мне пришла в голову мысль, что смочь это доказать - удобная проверка того, что владеешь неким базовым уровнем в геометрии, где не только помнишь определения и главные свойства, но и можешь с их помощью доказывать теоремы; перед тем, как предложить ребенку, решил попробовать на себе. Рекомендую это упражнение)
Результат по субъективной сложности:
Серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке - 1/5, очень просто
Биссектрисы (линии, которые делят углы треугольника пополам) пересекаются в одной точке - 1.5/5, почти так же просто
Медианы (линии, которые соединяют вершину и середину противоположной стороны) пересекаются в одной точке - 3/5, помогает помнить важное свойство точки пересечения медиан
Высоты (линии, выходящие из вершины, и образующие прямой угол с противоположной стороной или ее продолжением) пересекаются в одной точке - 5/5. Не смог найти геометрическое решение, решил практически "в лоб" тригонометрией. Геометрическое решение очень простое, но основано на "трюке", и если его не знать, я не знаю, как догадаться.
ПОДСКАЗКИ приведу в первом комментарии.
(почему пытался? Мне пришла в голову мысль, что смочь это доказать - удобная проверка того, что владеешь неким базовым уровнем в геометрии, где не только помнишь определения и главные свойства, но и можешь с их помощью доказывать теоремы; перед тем, как предложить ребенку, решил попробовать на себе. Рекомендую это упражнение)
Результат по субъективной сложности:
Серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке - 1/5, очень просто
Биссектрисы (линии, которые делят углы треугольника пополам) пересекаются в одной точке - 1.5/5, почти так же просто
Медианы (линии, которые соединяют вершину и середину противоположной стороны) пересекаются в одной точке - 3/5, помогает помнить важное свойство точки пересечения медиан
Высоты (линии, выходящие из вершины, и образующие прямой угол с противоположной стороной или ее продолжением) пересекаются в одной точке - 5/5. Не смог найти геометрическое решение, решил практически "в лоб" тригонометрией. Геометрическое решение очень простое, но основано на "трюке", и если его не знать, я не знаю, как догадаться.
ПОДСКАЗКИ приведу в первом комментарии.
no subject
Date: 2025-08-22 10:55 am (UTC)Серединные перпендикуляры - используйте тот факт, что серединный перпендикуляр между точками A и B - в точности все точки, расстояние от которых до A и B одинаково.
Биссектрисы - используйте тот факт, что биссектриса - в точности все точки внутри угла, расстояние от которых до сторон угла (т.е. длины перпендикуляров на стороны угла) одинаково.
Медианы - проведите две и докажите, что точка их пересечения делит каждую в отношении 2:1. Для этого найдите подходящие подобные треугольники с отношением сторон 2:1.
Высоты - проведите сквозь каждую вершину прямую, параллельную противоположной стороне, и рассмотрите большой треугольник, образованный этими тремя линиями