математическое мышление
Mar. 3rd, 2004 07:51 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaПытаясь объяснить себе, что мне не нравится в своём же собственном отношении к доказательствам в математике, я придумал вот какой пример. Вот, скажем, есть теорема Нильсена-Шрейера. Она гласит, что каждая подгруппа свободной группы тоже свободна, сама по себе.
У этой теоремы есть несколько доказательств. Одно из них — алгебраическое, восходит к работам Нильсена. Возьмём свободную группу и подгруппу в ней. Возьмём множество порождающих подгруппы. Докажем, что его можно преобразовать, за конечное число шагов, в некоторым образом редуцированное множество порождающих, используя определённое определение такого редуцированного множества. Докажем, что редуцированное множество в свободной группе обладает тем свойством, что никакое нетривиальное произведение не может дать 1, и отсюда легко следует, что такое множество порождает свободную подгруппу. Всё это работает пока что только для свободных групп конечного ранга, но есть трюк, использующий частичный порядок на коллекции всех множеств порождающих (подробностей не помню), который позволяет достаточно легко расширить это на любую свободную группу. В общем и целом, это доказательство довольно муторное с технической точки зрения, нужно возиться с длинами элементов группы (в их репрезентации как строк над алфавитом базиса группы), вводить всякие условия того, на сколько разрешается двум или трём элементам-строкам сокращать друг друга при умножении (определение редуцированного множества на этом основывается), подсчитывать эти длины в доказательствах итп.
И есть топологическое доказательство, куда более стройное с технической точки зрения. Любую свободную группу можно представить как фундаментальную группу графа (тривиально). Любая подгруппа фундаментальной группы комплекса реализуется как фундаментальная группа некоторого накрытия данного комплекса (достаточно просто). Любое накрытие графа — само тоже граф (просто). Фундаментальная группа графа всегда свободна (тривиально). Всё.
Если выписывать подробно все топологические шаги второго доказательства, то, наверное, получится больше писанины, чем в первом, но в любом случае эти шаги — часть общей стройной теории, в них нет ничего специального, и нет этой арифметической мелкой возни с длинами и сокращениями, которая нужна в первом доказательстве. На первый взгляд, второе доказательство не даёт, в отличие от первого, эксплицитного свободного базиса для подгруппы, но его на самом деле можно вытащить из этого доказательства тоже, при желании. Второе доказательство более "глубокое", более стройное, более "концептуальное", если можно так сказать. Наконец, оно несомненно более простое.
Но мне при этом больше нравится первое. И в этом, наверное, я неправ, в этом проявляется плохое, вредное стремление к прозрачности, что ли, не знаю даже, как это лучше определить. В первом доказательстве я понимаю, что происходит, и почему оно происходит, и как оно всё редуцируется, при желании, к первым принципам. Во втором доказательстве присутствует элемент "чуда", который всегда возникает, когда для решения проблемы в одной области используется совсем другая. Такое "чудо" всегда красиво, и совершенно необходимо для существования математики, более того, наверное, именно такие "чудеса" в математике важнее всего остального, но меня в таких случаях не оставляют подозрения, что я не всё понимаю как следует — именно потому, что нет очевидной редукции к первым принципам, наверное.
В общем, первое доказательство мне нравится больше потому, что с ним я себя чувствую уютнее, примерно так. А надо бы по-другому, лучше бы, наверное, было, если бы я интуитивно предпочитал второе доказательство. Так мне кажется (я прошу прощения за сумбурность всех этих мыслей, у меня не получается это как следует сформулировать; если неясно, о чём это я вообще, то это, наверное, моя вина).
У этой теоремы есть несколько доказательств. Одно из них — алгебраическое, восходит к работам Нильсена. Возьмём свободную группу и подгруппу в ней. Возьмём множество порождающих подгруппы. Докажем, что его можно преобразовать, за конечное число шагов, в некоторым образом редуцированное множество порождающих, используя определённое определение такого редуцированного множества. Докажем, что редуцированное множество в свободной группе обладает тем свойством, что никакое нетривиальное произведение не может дать 1, и отсюда легко следует, что такое множество порождает свободную подгруппу. Всё это работает пока что только для свободных групп конечного ранга, но есть трюк, использующий частичный порядок на коллекции всех множеств порождающих (подробностей не помню), который позволяет достаточно легко расширить это на любую свободную группу. В общем и целом, это доказательство довольно муторное с технической точки зрения, нужно возиться с длинами элементов группы (в их репрезентации как строк над алфавитом базиса группы), вводить всякие условия того, на сколько разрешается двум или трём элементам-строкам сокращать друг друга при умножении (определение редуцированного множества на этом основывается), подсчитывать эти длины в доказательствах итп.
И есть топологическое доказательство, куда более стройное с технической точки зрения. Любую свободную группу можно представить как фундаментальную группу графа (тривиально). Любая подгруппа фундаментальной группы комплекса реализуется как фундаментальная группа некоторого накрытия данного комплекса (достаточно просто). Любое накрытие графа — само тоже граф (просто). Фундаментальная группа графа всегда свободна (тривиально). Всё.
Если выписывать подробно все топологические шаги второго доказательства, то, наверное, получится больше писанины, чем в первом, но в любом случае эти шаги — часть общей стройной теории, в них нет ничего специального, и нет этой арифметической мелкой возни с длинами и сокращениями, которая нужна в первом доказательстве. На первый взгляд, второе доказательство не даёт, в отличие от первого, эксплицитного свободного базиса для подгруппы, но его на самом деле можно вытащить из этого доказательства тоже, при желании. Второе доказательство более "глубокое", более стройное, более "концептуальное", если можно так сказать. Наконец, оно несомненно более простое.
Но мне при этом больше нравится первое. И в этом, наверное, я неправ, в этом проявляется плохое, вредное стремление к прозрачности, что ли, не знаю даже, как это лучше определить. В первом доказательстве я понимаю, что происходит, и почему оно происходит, и как оно всё редуцируется, при желании, к первым принципам. Во втором доказательстве присутствует элемент "чуда", который всегда возникает, когда для решения проблемы в одной области используется совсем другая. Такое "чудо" всегда красиво, и совершенно необходимо для существования математики, более того, наверное, именно такие "чудеса" в математике важнее всего остального, но меня в таких случаях не оставляют подозрения, что я не всё понимаю как следует — именно потому, что нет очевидной редукции к первым принципам, наверное.
В общем, первое доказательство мне нравится больше потому, что с ним я себя чувствую уютнее, примерно так. А надо бы по-другому, лучше бы, наверное, было, если бы я интуитивно предпочитал второе доказательство. Так мне кажется (я прошу прощения за сумбурность всех этих мыслей, у меня не получается это как следует сформулировать; если неясно, о чём это я вообще, то это, наверное, моя вина).
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2004-03-03 10:50 am (UTC)Мне тоже нравятся конструктивные вещи в математике. Они "конкретнее", их истинность "более ощутима" что ли.
no subject
Date: 2004-03-03 11:40 am (UTC)no subject
Date: 2004-03-03 11:53 am (UTC)По-моему, тут дело не в "лучше-хуже", а в том что "геометрическое" доказательство позволяет лучше понять материал и на этом уровне гораздо легче придумать что-то новое. А проверять это новое нужно на "алгебраическом" уровне, потому что там нету всех этих "достаточно просто" и "тривиально".
no subject
Date: 2004-03-03 12:21 pm (UTC)"Чудом" можно называть то, что еще непонятно, почему работает. Здесь же ясно, какая структура стоит за доказательством (бесконечные деревья), и чуда нет.
Вам мог бы больше подойти промежуточный вариант, который на самом деле и являтся самым "правильным" доказательством этой теоремы. Вот он. Свободная группа свободно действует на бесконечном дереве - скажем, графе Кэли этой группы, построенном по стандартным образующим. Далее, есть теорема о том, что всякая группа, свободно действующая на дереве, свободна. Это очевидно топологически, но может быть и прямо доказано комбинаторно (теория Басса-Серра). Отсюда следует теорема, и отсюда же можно извлечь алгоритм для поиска образующих.
no subject
Date: 2004-03-03 12:59 pm (UTC)Согласен я и с тем, что в данном случае топологическое доказательство можно "вытащить" обратно в комбинаторику, и поэтому "настоящего" чуда здесь нет, или, по крайней мере, бывают чудеса куда чудеснее. Я наверняка не слишком удачно подобрал пример, просто именно он вертелся на языке, я думал о нём недавно, и поэтому решил его расписать. В этом примере есть несколько качеств, не слишком важных для моей мысли (вот
Проблема, видимо, именно в субъективном чувстве уверенности (объективно-то я всё вполне понимаю, все эти доказательства не представляют для меня никакой сложности, итп.). Это как если бы (ещё одна сомнительная метафора...) я пытался подниматься по лестнице, но всё время оглядывался бы на самые первые ступеньки, и из-за этого постоянно балансировал бы, рискуя свалиться и оттого ещё менее доверяя тем ступенькам, на которые поднимаюсь.
no subject
Date: 2004-03-03 04:52 pm (UTC)Поясню последнее. Во-первых, как кто-то сказал, "свободная группа - это просто набор слов". В сущности, свободная группа - это и есть бесконечное дерево - ее граф Кэли. Это просто разные способы говорить об одном и том же комбинаторном объекте. С другой стороны - самый правильный способ изучать группы - это изучать их действия на чем-нибудь. На самом деле все полезные группы где-нибудь действуют, начиная с групп Галуа. Группа без действия - это абстракция, которая долго сама по себе не живет. Даже если вy начинаете с абстрактной группы, очень скоро придется заставить ее где-нибудь действовать. В случае свободной группы дерево получается очень естественно - группа действует сама на себе, и при этом сохраняется структура дерева, возникающая из образующих. Раз уж речь идет о свободной группе, то образующие - элемент ее структуры.
Я полностью согласен, что доказательства без чужеродных понятий лучше, но понятия, используемые в "древесном" доказательстве, не чужеродны, а возникают при естественном анализе объекта.
Вот еще интересный пример - теория Галуа. Оказывается, чтобы понять уравнение, нужно рассматривать перестановки его корней - группы Галуа. На первый взгляд это "чудо" - привлекается "чужеродное" понятие группы. На самом деле понятие группы стало отдельным от уравнений гораздо позже, а при возникновении теории Лагранжа-Руффини-Абеля-Галуа оно было внутренним средством разобраться с уравнениями.
В скрытой форме группа Галуа присутствует в работе Гаусса по построению правильного 17-угольника: решающую роль играет не очевидная симметрия правильного многоугольника, а его скрытая симметрия Галуа. Которая тоже не "чужеродна", а естественно возникает при решении задачи.
no subject
Date: 2004-03-03 01:45 pm (UTC)no subject
Date: 2004-03-03 02:44 pm (UTC)Думаю, так и есть, ведь так постепенно проясняется единая картина мира, если угодно, всеобщая гармония. Представьте, один математик занимается вычислением площади круга - тогда он рано или поздно открывает число "пи", а относительно числа "е" остается в неведении. Другой тратит время на поиски функции, которая равна своей же производной - он открывает "е" и ничего не знает про "пи". И оба резко ограничены в дальнейшем выяснении общей картины мира (хотя именно этим пытаются заниматься), пока не найдется кто-то, кто проинтегрирует "е в степени минус икс квадрат". Тут и окажется, что между "е" и "пи" существует фундаментьальная связь, каковое знание, безусловно, сильно обогатит все участников процесса