несколько парадоксов

[avva]

На этой довольно полезной странице (англ.) вкратце описаны самые знаменитые логические парадоксы, плюс несколько относительно малоизвестных. В частности, первые два парадокса оттуда мне раньше не встречались. Вот они в переводе на русский язык, и вместе с ними я опишу ещё один современный парадокс, парадок Ябло (Yablo), весьма интересный (на странице, пролинкованной выше, его нет).

• Парадокс предисловия. Часто бывает так, что автор книги извиняется перед читателями, в предисловии, за любые допущенные ошибки. Если, к примеру, это не первая книга автора, то он на своём опыте хорошо знает, что полностью избежать ошибок невозможно, и где-нибудь какое-нибудь утверждение в книге окажется неверным. Поэтому извиниться заранее — вполне рациональное поведение с его точки зрения. С другой стороны, каждое утверждение в книге было сформулировано автором потому, в частности, что он считал его истинным [мы предполагаем, что автор не врёт специально, и не утверждает того, в чём не уверен]. Но выходит тогда, что убеждения автора содержат противоречие: он считает все утверждения в тексте истинными, и одновременно уверен, что как минимум одно из них ложно.
  
  
• Парадокс токсина Кавки (по имени философа, который описал этот парадокс). Представьте себе, что некий эксцентричный богач обратился к вам со следующим предложением. Он даст вам ампулу с токсической жидкостью; если вы выпьете эту ампулу, то будете очень плохо себя чувстовать в течение одного дня, но потом всё пройдёт и никаких долгосрочных последствий не будет. Богач заплатит вам миллион долларов, если сегодня в полночь вы будете собираться выпить ампулу с токсином завтра после обеда. Деньги вы получаете именно за намерение; если вы потом передумаете и всё же не будете пить токсин завтра, то деньги у вас всё равно останутся. Богача не интересует, выпьете вы токсин или не выпьете, ему нужно только, чтобы сегодня в полночь вы намеревались выпить его завтра.
  
  Из этого следует, конечно, что после того, как вы получите миллион долларов за намерение выпить токсин, вы не будете на следующий день пить его — зачем? Но если вы это понимаете заранее, как вы можете сегодня в полночь намереваться выпить токсин, если вы знаете, что завтра этого не сделаете? Есть ли у вас вообще возможность получить деньги богача?
  
  
• Парадокс Ябло. Важность этого парадокса в том, что, хотя он похож на парадокс лжеца и разные его варианты, этот парадокс, по крайней мере на первый взгляд, избегает автореферентности (self-reference). Правда, многие считают, что это только на первый взгляд, и автореферентность хитро "спрятана" внутри парадокса. Философы продолжают спорить на эту тему.
  
  Возьмём бесконечное число утверждений (каких именно, сейчас скажем) и пронумеруем их: S₀, S₁, ..., S_k, ... и так до бесконечности. Здесь S_k обозначает утверждение номер k. Теперь о том, что они собственно утверждают: S_k утверждает "все S_n, для n>k, ложны". То есть, например, S₀ утверждает, что все утверждения начиная с S₁ и дальше ложны, а S₁₇ говорит, что ложны S₁₈, S₁₉ и так далее до бесконечности. В частности, обратите особое внимание на тот факт, что каждое утверждение ничего не говорит о своей собственной истинности или ложности, даже косвенным способом, т.к. оно утверждает что-то лишь об утверждениях с большими номерами, и для всех них это тоже верно.
  
  Возьмём любое утверждение S_k. Ложно оно или истинно? Предположим, что истинно. Тогда S_k+1, S_k+2 итд. все ложны. Но ложность S_k+2, S_k+3, итд. — как раз то, что утверждает S_k+1. Поэтому получаем противоречие: с одной стороны S_k+1 ложно (прямое следствие истинности S_k), с другой стороны истинно (прямо следствие ложности S_k+2, S_k+3, итд). Раз мы достигли противоречия, значит, наше предположение было неверным, и S_k на самом деле ложно. Причём это верно для любого k.
  
  В частности, ложны S₁, S₂, итд. до бесконечности. Но это как раз то, что утверждает S₀, поэтому S₀ истинно. Но мы уже доказали, что S₀ ложно, как и любое другое S_k. Получаем противоречие и парадокс.

Comments

[nine_k]

Парадокс предисловия построен на ложной посылке, что автор принимает свои мысли за абсолютную истину. Дюбой разумный автор понимает, что он описывает в своём труде наилучшие *приближения* к истине, которые ему удалось раздобыть, и поэтому вполне вправе извиняться за то, что такие приближения могут оказаться неточны.

Парадокс токсина, imho, скорее о неверифицируемости намерения. Экспериментально проверяемы только действия (выпивание токсина), а о намерениях ничего подобного сказать нельзя. Можно только продемонстрировать корреляцию между высказыванием намерений заранее (одно действие) и выпиванием токсина (другое действие).

[gvadelupa.livejournal.com]

По поводу парадокса предисловия: другими словами, автор считает каждое из своих утверждений верным с высокой степенью вероятности. Но так как утверждений много, то вероятность ошибки хотя бы в одном из них (1 - количество_утверждений * вероятность_достоверности_утверждения) становится обозримой величиной.

[cammm.livejournal.com]

Анатолий, вам мое письмо долетало? В любом случае, можете "грохнуть" эту запись.

[sowa.livejournal.com]

Последний парадокс выглядит жульничеством. Ни одно из утверждений не сформулировано, они только пронумерованы. Утверждение S₁ приобретает смысл только после того, как уже придан смысл S₂, S₃ и т.д. S₂ приобретает смысл только после того, как уже придан смысл S₃, S₄ и т.д. Ну и так до бесконечности. Ни одно из утверждений не определено и, тем более, не имеет смысла говорить о его истинности или ложности.

[alexandrino.livejournal.com]

Согласен, там применено доказательство по индукции "назад", которая начинается с бесконечности, т.е. на самом деле ни с какого элемента. По-моему, такой метод заведомо ошибочен. Похожих "доказательств" можно добиться и обычной индукцией (вперед), где опущено доказательство для первого элемента.

[bowin.livejournal.com]

первый парадокс - если автор считает все свои утверждения истинными, он не будет извиняться за допущенные ошибки. Т.е. парадокс построен на ложном предположении
второй парадокс - также парадоксом не является. во-первых, в полночь можно иметь намерение, которое к обеду исчезнет. во-вторых, согласно условиям задачи, токсин не убивает, т.е. можно его выпить и, помучившись, получить деньги богача. Т.е. тогда намерение будет проявлено в явном виде - а споры будут только в том случае, если токсин не будет выпит

[inqua.livejournal.com]

Формула не совсем верна. Точнее - совсем не верна. :)
Вероятность_ошибки = 1 - произведение_вероятностей_достоверности_всех_утверждений_книги,
а если вероятности достоверности каждого из утверждений равны, то
1 - вероятность_достоверности_утврждения ^ количество_утверждений,
где ^ - возведение в степень.

[yorool-gui.livejournal.com]

А первый парадокс очень напоминает известное утверждение, что в любой крупной программе есть как минимум одна ошибка.

[fima.livejournal.com]

Это аксиома и в ней ничего не сказано о размере программы.

Парадокс Павича

[flaass.livejournal.com]

Это - мужская версия "Хазарского словаря"; она отличается от женской версии только в одной фразе.
Искать, в какой именно фразе эти версии различаются, уже не нужно: в только что процитированной.

Re: Парадокс Павича

[nadijka.livejournal.com]

разве? Мне смутно кажется, что я находила ДРУГУЮ фразу. И в ней было что-то важное для понимания.

[gvadelupa.livejournal.com]

Ну да, в степень, конечно :)

[bolk.livejournal.com]

В первом случае автор не знает, что там могут быть ошибки. Он полагает, что они могут и быть. За что и извиняется.

Получить деньги богача можно, например, если вы честный человек, выпив ампулу, понимая, что в ином случае вы его обманываете. И вариант два: соврать.

Off-topic

[rydel23.livejournal.com]

Хотел дать знакомому линк на жж-пост с американскими анти-ватиканскими комиксами, но вот что-то не могу найти...

[rydel23.livejournal.com]

A T_EX? ;)

[barabek.livejournal.com]

Касательно богача - если некто действительно согласен выпить эту гадость за миллион, он может дать себе честное-пречестное слово,
что выпьет ее завтра, и действительно выпить - чтобы слово не нарушить.
Если же он не уверен в своем моральном облике, а деньги получить хочет,
то может нанять пару братков с утюгом, чтобы те проследили за своевременным приемом лекарства.

Чудак-человек

[(Anonymous)]

Учитывая, что большинство утверждений в книге логически между собой связаны, выражение истины в каждом отдельном утверждении не является независимым событием. Поэтому в произведение должны входить соответствующие условные вероятности...
Великие писатели умело решали эту математическую проблему, предпочитая утверждению риторический вопрос. "А был ли мальчик?"

[nadijka.livejournal.com]

.

[avva.livejournal.com]

Но ведь так можно и про парадокс лжеца сказать: "Это предложение ложно". Ложность утверждается, когда само предложение ещё не сформулировано до конца. Или вариант с двумя утверждениями (A: "Утверждение B ложно", B: "Утверждение A истинно") -- тоже выходит, что "ни одно из утверждений не сформулировано, они только пронумерованы".

То есть: верно, что этот парадокс невозможно записать в обычном формализе математической логики, но то же верно и в случае других известных парадоксов, что само по себе не означает, что они неинтересны или "жульничество". Вдобавок к этому, в данном парадоксе к тому же нет (по крайней мере очевидной) автореферентности.

[avva.livejournal.com]

Получил, но не успел ещё ответить, извините.

[avva.livejournal.com]

От парадокса предисловия не так легко отделаться, как Вам кажется, по-моему (хотя вообще говоря я согласен, что действительно глубокого парадокса здесь нет). Поставьте себя на место автора, и пройдитесь по всем утверждениям, которые Вы сделали в книге. Пусть их 100 штук, для простоты. Про каждое из них Вы можете сказать: "Я считаю утверждение номер 1 истинным", "я считаю утверждение номер 2 истинным", итп. Тот факт, что Вы "не принимаете это за абсолютную истину", роли не играет. Ну не принимаете, т.е. допускаете возможность ошибки, да. Но тем не менее, каждое из них в отдельности считаете истинным.

Но извиняетесь при этом не за возможные ошибки, а за реально присутствующие! Т.е. пишете что-то вроде "в этом тексте точно где-нибудь да вкралась ошибка, и я заранее извиняюсь" итп. Не все авторы так пишут в предисловиях, но многие, потому что их опыт говорит им, что невозможно избежать ошибок полностью -- не маловероятно, а невозможно вообще. Сколько ни перечитывай и ни перепроверяй, что-нибудь да упустишь. Вот у таких авторов, согласно парадоксу, налицо противоречие.

[avva.livejournal.com]

Вот у Вас было намерение выпить токсин. Отлично, получили деньги и отправились спать.
На следующий день - отчего бы Вам пить его на самом деле? Что может Вас побудить к этому? Деньги уже у Вас. Богачу на это наплевать. Вы никого не обманываете, т.к. честно намеревались выпить и честно именно за это получили деньги. Поэтому, естественно, Вы на самом деле его точно не выпьете. Далее см. текст парадокса.

[avva.livejournal.com]

Но Вы не обманываете, если не выпиваете ампулу, в том-то и проблема. Если предыдущей ночью Вы честно намеревались выпить, то это всё, чего от Вас хотели: богачу наплевать, выпьете ли Вы на самом деле. Поэтому сегодня не выпить - обманом не является.

Насчёт ошибок: автор, наученный горьким опытом, считает истинным, что как минимум одна ошибка есть. Если у него спросить: "каков статус утверждения 'есть хотя бы одна ошибка'", то он ответит "это утверждение истинно". Не "вероятно", а именно "истинно". Именно в таком случае налицо противоречие между разными утверждениями, в истинность которых верит автор.

Re: Off-topic

[avva.livejournal.com]

Поищите в записях за 5-е марта у меня.

Re: Off-topic

[rydel23.livejournal.com]

Спасибо. Нашёл. http://www.livejournal.com/users/avva/1124958.html

Кстати, я просмотрел "view subjects" за последние три месяца, но этот "сабджэкт" по невнимательности пропустил.