несколько парадоксов

[avva]

На этой довольно полезной странице (англ.) вкратце описаны самые знаменитые логические парадоксы, плюс несколько относительно малоизвестных. В частности, первые два парадокса оттуда мне раньше не встречались. Вот они в переводе на русский язык, и вместе с ними я опишу ещё один современный парадокс, парадок Ябло (Yablo), весьма интересный (на странице, пролинкованной выше, его нет).

• Парадокс предисловия. Часто бывает так, что автор книги извиняется перед читателями, в предисловии, за любые допущенные ошибки. Если, к примеру, это не первая книга автора, то он на своём опыте хорошо знает, что полностью избежать ошибок невозможно, и где-нибудь какое-нибудь утверждение в книге окажется неверным. Поэтому извиниться заранее — вполне рациональное поведение с его точки зрения. С другой стороны, каждое утверждение в книге было сформулировано автором потому, в частности, что он считал его истинным [мы предполагаем, что автор не врёт специально, и не утверждает того, в чём не уверен]. Но выходит тогда, что убеждения автора содержат противоречие: он считает все утверждения в тексте истинными, и одновременно уверен, что как минимум одно из них ложно.
  
  
• Парадокс токсина Кавки (по имени философа, который описал этот парадокс). Представьте себе, что некий эксцентричный богач обратился к вам со следующим предложением. Он даст вам ампулу с токсической жидкостью; если вы выпьете эту ампулу, то будете очень плохо себя чувстовать в течение одного дня, но потом всё пройдёт и никаких долгосрочных последствий не будет. Богач заплатит вам миллион долларов, если сегодня в полночь вы будете собираться выпить ампулу с токсином завтра после обеда. Деньги вы получаете именно за намерение; если вы потом передумаете и всё же не будете пить токсин завтра, то деньги у вас всё равно останутся. Богача не интересует, выпьете вы токсин или не выпьете, ему нужно только, чтобы сегодня в полночь вы намеревались выпить его завтра.
  
  Из этого следует, конечно, что после того, как вы получите миллион долларов за намерение выпить токсин, вы не будете на следующий день пить его — зачем? Но если вы это понимаете заранее, как вы можете сегодня в полночь намереваться выпить токсин, если вы знаете, что завтра этого не сделаете? Есть ли у вас вообще возможность получить деньги богача?
  
  
• Парадокс Ябло. Важность этого парадокса в том, что, хотя он похож на парадокс лжеца и разные его варианты, этот парадокс, по крайней мере на первый взгляд, избегает автореферентности (self-reference). Правда, многие считают, что это только на первый взгляд, и автореферентность хитро "спрятана" внутри парадокса. Философы продолжают спорить на эту тему.
  
  Возьмём бесконечное число утверждений (каких именно, сейчас скажем) и пронумеруем их: S₀, S₁, ..., S_k, ... и так до бесконечности. Здесь S_k обозначает утверждение номер k. Теперь о том, что они собственно утверждают: S_k утверждает "все S_n, для n>k, ложны". То есть, например, S₀ утверждает, что все утверждения начиная с S₁ и дальше ложны, а S₁₇ говорит, что ложны S₁₈, S₁₉ и так далее до бесконечности. В частности, обратите особое внимание на тот факт, что каждое утверждение ничего не говорит о своей собственной истинности или ложности, даже косвенным способом, т.к. оно утверждает что-то лишь об утверждениях с большими номерами, и для всех них это тоже верно.
  
  Возьмём любое утверждение S_k. Ложно оно или истинно? Предположим, что истинно. Тогда S_k+1, S_k+2 итд. все ложны. Но ложность S_k+2, S_k+3, итд. — как раз то, что утверждает S_k+1. Поэтому получаем противоречие: с одной стороны S_k+1 ложно (прямое следствие истинности S_k), с другой стороны истинно (прямо следствие ложности S_k+2, S_k+3, итд). Раз мы достигли противоречия, значит, наше предположение было неверным, и S_k на самом деле ложно. Причём это верно для любого k.
  
  В частности, ложны S₁, S₂, итд. до бесконечности. Но это как раз то, что утверждает S₀, поэтому S₀ истинно. Но мы уже доказали, что S₀ ложно, как и любое другое S_k. Получаем противоречие и парадокс.

Comments

[avva.livejournal.com]

Но Вы не обманываете, если не выпиваете ампулу, в том-то и проблема. Если предыдущей ночью Вы честно намеревались выпить, то это всё, чего от Вас хотели: богачу наплевать, выпьете ли Вы на самом деле. Поэтому сегодня не выпить - обманом не является.

Насчёт ошибок: автор, наученный горьким опытом, считает истинным, что как минимум одна ошибка есть. Если у него спросить: "каков статус утверждения 'есть хотя бы одна ошибка'", то он ответит "это утверждение истинно". Не "вероятно", а именно "истинно". Именно в таком случае налицо противоречие между разными утверждениями, в истинность которых верит автор.

[109.livejournal.com]

ну да где же здесь парадокс? автор просто ошибается. вы ещё скажите, что мой сын, посчитав пальцы на руках и насчитав 9, создал новый парадокс.

[avva.livejournal.com]

Парадокс в том, что автора не заботит очевидное противоречие. То, что он ошибается в одном из своих утверждений - это понятно.

[109.livejournal.com]

это не парадокс. моего сына тоже не заботит, что он себе 9 пальцев насчитал.

[bolk.livejournal.com]

Вторая ситуация мне кажется притянутой за уши. Автор не может знать наверняка, что там есть ошибка. Её там может и не быть.

С первой ситуацией мне непонятно следующее: почему ты считаешь, что обман недопустим в качестве решения. И почему я не могу для себя решить, что капсулу я выпью ОБЯЗАТЕЛЬНО и действительно так думать, если уж я такой честный?

[sowa.livejournal.com]

Между прочим, возможность обмана - это одно из решений и другого парадокса - неожиданной казни.