о непротиворечивости
May. 1st, 2004 05:30 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaБрайан Форд, докторант из MIT, опубликовал интересный препринт, в котором он строит частичные модели ZF (теории множеств Цермело-Франкеля) внутри ZF. Одним из его результатов является доказательство непротиворечивости ZF внутри ZF. Скорее всего, в этом есть ошибка, но как минимум не тривиальная — автор не шарлатан и не сумасшедший, статья написана хорошо и вдумчиво, и использует действительно необычный, и возможно интересный, метод конструирования моделей. Я только бегло просмотрел её; очень хочется распечатать и проштудировать как следует, но совершенно не могу на это сейчас выделить времени, очень жаль. Сейчас её обсуждают в рассылке FOM; пока что Robert Solovay нашёл несколько небольших погрешностей, которые кажутся исправимыми, но всё ещё впереди.
Можно помечтать о том, что будет, если результат окажется корректным (хоть это очень маловероятно). Согласно второй теореме о неполноте Гёделя, достаточно богатая формальная система (ZF такой является, несомненно) не может доказать своей непротиворечивости, если она непротиворечива (если формальная система противоречива, то она может доказать вообще всё что угодно, любое утверждение, включая, парадоксальным образом, утверждение, выражающее её непротиворечивость). Таким образом, если доказательство Форда верно, из этого будет следовать, что ZF противоречива. Это в свою очередь будет ужасным ударом по основаниям математики и логики, последствия которого трудно предсказать (хотя большинство математиков скорее всего не обратят на него особого внимания, т.к. не интересуются логикой или основаниями математики).
Можно помечтать о том, что будет, если результат окажется корректным (хоть это очень маловероятно). Согласно второй теореме о неполноте Гёделя, достаточно богатая формальная система (ZF такой является, несомненно) не может доказать своей непротиворечивости, если она непротиворечива (если формальная система противоречива, то она может доказать вообще всё что угодно, любое утверждение, включая, парадоксальным образом, утверждение, выражающее её непротиворечивость). Таким образом, если доказательство Форда верно, из этого будет следовать, что ZF противоречива. Это в свою очередь будет ужасным ударом по основаниям математики и логики, последствия которого трудно предсказать (хотя большинство математиков скорее всего не обратят на него особого внимания, т.к. не интересуются логикой или основаниями математики).
