о непротиворечивости
May. 1st, 2004 05:30 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaБрайан Форд, докторант из MIT, опубликовал интересный препринт, в котором он строит частичные модели ZF (теории множеств Цермело-Франкеля) внутри ZF. Одним из его результатов является доказательство непротиворечивости ZF внутри ZF. Скорее всего, в этом есть ошибка, но как минимум не тривиальная — автор не шарлатан и не сумасшедший, статья написана хорошо и вдумчиво, и использует действительно необычный, и возможно интересный, метод конструирования моделей. Я только бегло просмотрел её; очень хочется распечатать и проштудировать как следует, но совершенно не могу на это сейчас выделить времени, очень жаль. Сейчас её обсуждают в рассылке FOM; пока что Robert Solovay нашёл несколько небольших погрешностей, которые кажутся исправимыми, но всё ещё впереди.
Можно помечтать о том, что будет, если результат окажется корректным (хоть это очень маловероятно). Согласно второй теореме о неполноте Гёделя, достаточно богатая формальная система (ZF такой является, несомненно) не может доказать своей непротиворечивости, если она непротиворечива (если формальная система противоречива, то она может доказать вообще всё что угодно, любое утверждение, включая, парадоксальным образом, утверждение, выражающее её непротиворечивость). Таким образом, если доказательство Форда верно, из этого будет следовать, что ZF противоречива. Это в свою очередь будет ужасным ударом по основаниям математики и логики, последствия которого трудно предсказать (хотя большинство математиков скорее всего не обратят на него особого внимания, т.к. не интересуются логикой или основаниями математики).
Можно помечтать о том, что будет, если результат окажется корректным (хоть это очень маловероятно). Согласно второй теореме о неполноте Гёделя, достаточно богатая формальная система (ZF такой является, несомненно) не может доказать своей непротиворечивости, если она непротиворечива (если формальная система противоречива, то она может доказать вообще всё что угодно, любое утверждение, включая, парадоксальным образом, утверждение, выражающее её непротиворечивость). Таким образом, если доказательство Форда верно, из этого будет следовать, что ZF противоречива. Это в свою очередь будет ужасным ударом по основаниям математики и логики, последствия которого трудно предсказать (хотя большинство математиков скорее всего не обратят на него особого внимания, т.к. не интересуются логикой или основаниями математики).
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2004-05-01 07:47 am (UTC)no subject
Date: 2004-05-01 08:14 am (UTC)no subject
Date: 2004-05-01 02:17 pm (UTC)Отсюда вопрос.
Date: 2004-05-01 07:51 am (UTC)древнеримская поговорка
Date: 2004-05-01 07:56 am (UTC)сердоказал, что прав - значит он неправ. :)no subject
Date: 2004-05-01 08:35 am (UTC)Скорее всего, никто просто не поверит этому результату -- и всё тут. То есть, даже если его "признают корректным" и опубликуют в каком-нибудь журнале, большинство математиков будет считать, что где-то там есть какая-то ошибка.
no subject
Date: 2004-05-01 09:01 am (UTC)no subject
Date: 2004-05-01 03:47 pm (UTC)no subject
Date: 2004-05-01 03:55 pm (UTC)Видите ли, дело тут в том, что именно в аксиоматической теории множеств есть очень хороший пример непрофессионала, никогда раньше не делавшего ничего в этой области, и доказавшего самый важный результат 20-го века (Коэн, независимость аксиомы выбора и континуум-гипотезы). Так что опыт показывает, что всякое бывает.
Не думаю, чтобы шансы на великое потрясение были велики.
Я считаю, что они почти исчезающе малы, и что Форд ошибся почти наверняка, но это не значит, что его статья не заслуживает внимания.
no subject
Date: 2004-05-01 04:22 pm (UTC)no subject
Date: 2004-05-04 12:32 am (UTC)no subject
Date: 2004-05-01 09:35 am (UTC)Если ведущие специалисты проверят доказательство и всё окажется правильно, то шум поднимется не меньше чем после обнаружения "парадоксов теории множеств".
no subject
Date: 2004-05-01 12:24 pm (UTC)Правильность математического док-ва -- действительно не вопрос веры. Однако доверие к нему неспециалиста -- совсем другое дело. То, что я считаю теорему Ферма доказанной, совершенно не значит, что я могу разобраться в существующем док-ве (более того, я заведомо не могу за разумное время это сделать).
Предположим, появляется некое очень сложное док-во непротиворечивости ZF внутри ZF. Его никто не понимает, кроме кучки специалистов, которые через пару лет говорят, что да, мол, похоже, всё правильно. Ничто в таком случае не будет мне мешать *верить* в то, что все они ошибаются и на самом деле в док-ве есть ошибка; потому что моя вера в НЕпротиворечивость ZF гораздо сильнее.
no subject
Date: 2004-05-01 03:53 pm (UTC)Для нарисованного сценария, когда кучка специалистов говорит невнятное "да, мол, похоже, всё правильно" -- можно и сомневаться. Только мне кажется, что вряд ли ведущие специалисты будут высказываться (через пару лет) в таком духе: "похоже, всё правильно". Тут вопрос чести :) То есть, либо да, либо нет.
На практике новое доказательство -- это не просто набор силлогизмов. Новое доказательство -- это новые идеи, методы. Эти идеи как правило сразу идут в оборот. Часто сразу появляются упрощения исходного доказательства, доказательства новых результатов в данном направлении и т.д. И тогда ни у кого сомнений не остаётся. Примеры -- доказательство Коэна независимости CH от ZFC, та же теорема Ферма.
Если в доказательстве никто не разберётся, то его статус останется неопределённым, и тогда будет простор для сомнений. Я не знаю случаев, когда доказательство важной теоремы долгое время находилось бы в таком подвешенном состоянии.
Может кто приведёт пример? Перельмана не предлагать :)
no subject
Date: 2004-05-01 06:48 pm (UTC)Там было двести страниц какой-то фигни, которыю никто не хотел читать, так как де Бранжес всем надоел неверными доказательствами важных теорем.
Потом он поехал в Ленинград, там долго обьяснял все это умным людям, пока они ему не поверили и не упростили доказательство до 30 страниц внятного текста.
По крайней мере, так говорят люди знакомые с этой историей.
no subject
Date: 2004-05-02 10:06 pm (UTC)Кстати, насколько я знаю, читается все же "де Бранж" без "-ес" - во-первых, я слышал как его так называли те кто с ним лично общался, во-вторых, во французском языке окончание "es" немое.
Думаю, по-русски следует писать так, как читается (пишем же "Айвенго").
no subject
Date: 2004-05-03 10:13 am (UTC)A climate of skepticism had been created by the erroneous proof of the Bieberbach conjecture which had been announced in a Soviet journal. In fact several false proofs of the Bieberbach conjecture litter the historical landscape; and it was the general expectation that some subtle error would be found in the present argument.
To their surprise, the participants of the Leningrad Seminar in Geometric Function Theory became convinced of the validity of the argument during five sessions which took place in April and May. Each session lasted late into the evening and was interrupted only by a break for tea. Two members of the seminar, E. V. Emel'ianov and I. M. Milin, submitted written reports confirming the proof and presenting variants which they considered advantageous. In June, Professor de Branges worked with the seminar leader, Professor G. V. Kuz'mina, to consolidate the findings of the seminar. The resulting argument was accepted for release by Academician L. D. Faddeev, the director of the Leningrad Branch of the V. A. Steklov Mathematical Institute. The 21 page preprint is available both in Russian and in English.
no subject
Date: 2004-05-03 01:13 pm (UTC)Есть такая проблема Кеплера о плотной упаковке шаров. Хейлс (Thomas C. Hales) вроде как доказал, но его доказательство в течение шести лет так и не смогли проверить математики под руководством Фейеша Тота. Сейчас Анналы опубликуют его статью "как есть" (беспрецедентный шаг на самом деле!), с припиской, что рецензенты не со всем смогли разобраться.
Хейлс инициировал "Flyspeck Project" по автоматической проверке своего доказательства в системе CAML, но оно настолько огромное и сложное, что для его завершения потребуется ещё 20 лет. Подробности тут:
http://www.math.pitt.edu/~thales/flyspeck/
no subject
Date: 2004-05-01 03:41 pm (UTC)no subject
Date: 2004-05-01 08:43 am (UTC)Сразу предупреждаю, что я про конкретно эти штуки ничего не знаю. Меня заинтересовало само соотношение.
no subject
Date: 2004-05-01 08:47 am (UTC)Теорема Геделя - доказанная теоремма, поэтому, если мы принимаем набор аксиом, из которых она выведена, мы должны принять и ее.
no subject
Date: 2004-05-01 09:06 am (UTC)Whoah.
Date: 2004-05-01 08:50 am (UTC)--PF (http://www.m14m.net/pf)
no subject
Date: 2004-05-01 01:06 pm (UTC)no subject
Date: 2004-05-01 03:57 pm (UTC)no subject
Date: 2004-05-02 11:52 pm (UTC)no subject
Date: 2004-05-03 12:43 pm (UTC)Взорвать Вселенную -- разве стоит к этому стремиться? То ли дело -- выращивать цветы.
no subject
Date: 2004-05-04 11:57 pm (UTC)