математическое, ассорти

[avva]

1. garvej отсканировал математическую статью из “Докладов Академии Наук Белорусской ССР” за 1977-й год. Статья представляет собой три страницы полного и очень смешного нонсенса; вроде бы кто-то с кем-то поспорил, что сможет даже самый отчаянный бред в научный журнал протолкнуть.
   
2. История открытия элементарного доказательства теоремы о распределении простых чисел (англ.). О математических амбициях и спорах о первенстве. За ссылку спасибо опять-таки garvej‘ю.
   
3. В рассылке FOM уже неделю обсуждают вопрос об аксиоматике теории множеств, заданный одним из подписчиков: “Given that we generally prefer finitely axiomatized theories to infinitely axiomatized theories, why do we tend to use ZF instead of NBG?” Здесь ZFC - теория Цермело-Франкеля с аксиомой выбора, а NBG - теория фон Неймана-Бернайса-Гёделя, в которой классы являются столь же полноправными объектами, как и множества.
   
   Вообще-то интересный вопрос. У NBG действительно есть конечный набор аксиом, и это удобно. NBG избегает парадокса Рассела и других подобных парадоксов за счёт того, что постулирует с помощью аксиом, что классы не могут быть членами других классов (только множества могут быть членами классов, равно как и множеств). Поэтому существует, например, класс всех множеств, не являющихся членами самих себя, и это не приводит к противоречию, потому что этот класс - не множество; а класса всех классов, не являющихся членами самих себя, не существует, т.к. класс обязан включать в себя только множества, а не классы.
   
   Казалось бы, со всех точек зрения NBG удобнее. В ZFC можно говорить о классах, но на самом деле они являются своеобразными синтаксическими сокращениями формул, их определяющих. Например, “класс всех множеств” это формула “x=x”. Это не математический объект, а синтаксическая фикция. В NBG классы - такие же объекты, как и множества, это удобно. Но всё упирается, по-моему, в два обстоятельства.
   
   Во-первых, ZFC “была раньше”, а математикам в целом на теорию множеств наплевать, им нужно что-то удобное, чтобы не возникало проблем с парадоксами, и всё. ZFC для этой цели подошла, поэтому математики решили, что они “работают” в ZFC. Областей, где нужно уделять пристальное внимание проблемам величины множеств, существованию классов итп., в математике почти нет. Поэтому NBG осталась невостребованной.
   
   Во-вторых, даже специалисты в логике и теории множеств, для которых “во-первых” роли не играет, предпочитают ZFC — потому, мне кажется, что её концептуальная вселенная проще выглядит. То есть, именно потому, что в ZFC есть только множества и больше ничего; это как-то красиво и стройно. Если есть ещё и классы, как в NBG, то это уже как-то более произвольным кажется. Два существенно разных типа объектов. А почему два, а не десять или бесконечное число?
   
   Простота и стройность "устройства вселенной" перевешивает удобства, связанные с конечным набором аксиом и естественными классами. Так мне кажется.

Comments

[meshulash.livejournal.com]

Очень расплывчатое ощущение, что ZFC интуитивно удобнее для описания, а NBG - для конструирования. Т.е. "пусть есть множество (семейство, класс) объектов, таких, что..." удобнее мыслить в ZFC, а "построим множество (семейство, класс) объектов, таких, что.." - в NBG.

[v-b.livejournal.com]

забавно. меня МехМате МГУ, со специализацией по мат логике ZFC даже не обучали. только NBG.

[avva.livejournal.com]

Очень странная практика, мягко говоря.

[v-b.livejournal.com]

собственно, по теории множеств я никогда не специализировался. т.е. это только в рамках каких-то общих курсов.

[avva.livejournal.com]

Это некрасивый поступок по отношению к студенту - научить его NBG, а про ZFC даже не рассказать. Почти вся литература в данной области будет ему недоступна. Конечно, он может ZFC и сам выучить, но ведь и NBG может, а для чего-то это преподают в конце концов.

[v-b.livejournal.com]

ну, если он будет специализироваться именно на теории множеств, то ему скорее всего будет необходимо знать и то и другое. дв и в общем-то, аксиоматика это не самая сложная часть. реально приходится иметь дело с кучей разных теорий, вариантов выбора аксиом и т.п.
а если для общего развития, тогда на нет большой разницы какую именно аксиотатику предпочесть. я могу понять выбор NBG -- она более красива. с другой стороны, не исключено, что в другой год, другим преподавателем было отдано предпочтение ZFC.

[oblomov-jerusal.livejournal.com]

Я плохо знаю NBG, но по-моему она (ее вариант) имеет только один тип объектов: класс, множество определяется как класс, входящий в какой-нибудь другой класс. Мне кажется, NBG должна намного лучше подходить для теории категорий, нет?

[avva.livejournal.com]

Я плохо знаю NBG, но по-моему она (ее вариант) имеет только один тип объектов: класс, множество определяется как класс, входящий в какой-нибудь другой класс.

Да, но это не очень важно. Т.к. предикат множества Set(x) участвует в аксиомах и является очень важным для этой аксиоматики, всё равно ясно, что с концептуальной точки зрения есть два типа объектов. То, что можно формализовать это в обычной логике первого порядка с одним типом объектов - всего лишь синтаксическое обстоятельство. Можно (не сомневаюсь, что так и сделал кто-то) также формализовать в логике первого порядка с двумя типами объектов (two-sorted calculus), просто в ней совсем редко работают: неудобно на письме кванторы разных типов различать.

Мне кажется, NBG должна намного лучше подходить для теории категорий, нет?

Казалось бы, да, но на практике всё равно ухитряются (иногда даже, можно сказать, извращаются) через ZFC.

Впрочем, есть такой тип рассуждений, который подходит и для ZFC, и для NBG: свободно рассуждаем о классах, и следим только за тем, чтобы не делать их членами других классов. Тогда в любой момент можно притвориться, что мы всё это время были в ZFC и говорили про формулы. На практикет так обычно и поступают, когда имеют дело с категориями. Правда, возникают проблемы с квантификацией функторов, но на них обычно просто закрывают глаза, насколько я понимаю.

Есть ещё вариант теории множеств с универсальным множеством, он тоже хорошо подходит для теории категорий. Там вообще удобно, если я правильно помню: квантифицируй что хочешь.

математическую статью

[(Anonymous)]

О!!!
Ты дочитал до "хри-сто-три-сто"?..
Нуину.

AA

[avva.livejournal.com]

Да, страшное дело ;)

[talash.livejournal.com]

Kinda reminds me of the Sokal affair

[garvej.livejournal.com]

Вы немного неточно написали. Статья всё-таки не математическая и напечатана была в разделе "Гидромеханика".
Думаю, что в разделе математики или физики такое вряд ли бы прошло.

Интересно отметить, что статья грамотно построена.
Ксли внимательно не вчитываться, то на первой странице критическому глазу не за что зацепиться. Обычно выглядящие формулы. На второй примерно то же, только в конце уже слека бросается в глаза "теория пирамид". Основные открытия :) идут на третьей и четвертой страницах. А два последних абзаца немного маскируют предыдущий текст.
(типа такой расчёт: дальше второй страницы читать не будут, разве что в конец статьи заглянут...)

[avva.livejournal.com]

Да, Вы правы, спасибо за уточнение ;)

[ivan-gandhi.livejournal.com]

Интересные дела - а на матмехе GB вообще рассматривали как странную экзотику. Из соображений типа - а на хрена нам классы, ведь теория-то множеств.

Вокруг ZF полно всякой философии и содержательности; каждая аксиома - как глава романа, читаешь и ахаешь. А что с GB? Не сплошная экзотика разве?

Вообще, теории-то эквивалентные, или что?