дважды два

[avva]

Кант о сложении на пальцах:

На первый взгляд может показаться, что положение 7+5=12 чисто аналитическое [суждение], вытекающее по закону противоречия из понятия суммы семи и пяти. Однако, присматриваясь ближе, мы находим, что понятие суммы 7 и 5 содержит в себе только соединение этих двух чисел в одно и от этого вовсе не мыслится, каково то число, которое охватывает оба слагаемых. Понятие двенадцати отнюдь еще не мыслится от того, что я мыслю соединение семи и пяти; и сколько бы я ни расчленял свое понятие такой возможной суммы, я не найду в нем числа 12. Для этого необходимо выйти за пределы этих понятий, прибегая к помощи созерцания, соответствующего одному из них, например своих пяти пальцев или (как это делает Зегнер в своей арифметике) пяти точек, и присоединять постепенно единицы числа 5, данного в созерцании, к понятию семи. В самом деле, я беру сначала число семь и затем, для получения понятия пяти, прибегая к помощи созерцания пальцев своей руки, присоединяю постепенно к числу 7 с помощью этого образа единицы, ранее взятые для составления числа 5, и таким образом вижу, как возникает число 12. То, что 5 должно было быть присоединено к 7, я, правда, мыслил в понятии суммы =7+5, но не мыслил того, что эта сумма равна двенадцати. Следовательно, приведенное арифметическое суждение всегда синтетическое.

Этот отрывок довольно скучен и неглубок, но вот зато есть небольшая статья (англ.) о синтетическом и аналитическом в применении к арифметике и геометрии у Канта. Довольно интересная.

(долго вспоминал, откуда мне знакомо имя автора, Питера Субера, потом вспомнил наконец, что три года назад читал его статью о логической грубости, очень хорошую)

Comments

[vvagr.livejournal.com]

Этот отрывок довольно скучен и неглубок для математика, но он содержит бездны для рассуждений генетика о числе пальцев у Канта, или для психоаналитика - по возможности рассуждать о его вытесненном отношении к пальцам на ногах.

[-orleans.livejournal.com]

Основание математики - интереснейшая штуковина, чуть ли не более интересная чем сама математика.

[cema.livejournal.com]

Основания математики тоже область математики.

[ivanov-petrov.livejournal.com]

очень интересный и важный для понимания Канта отрывок. Кант не мог - в соответствии со своей системой - мыслить сложение иначе. И очень интересно представить, как мыслится сложение не-кантианцами.

[avva.livejournal.com]

Вот две старые записи о сути счёта и сложения; не то чтобы программные, не то чтобы отвечающие однозначно и полно на вопрос о том, что такое сложение, но отмечающие некий важный, на мой взгляд, момент:
http://www.livejournal.com/users/avva/231528.html
http://www.livejournal.com/users/avva/231910.html

Возможно, Вас заинтересует.

[ivanov-petrov.livejournal.com]

Да, спасибо. Я бы добавил следующий шаг, который, как мне кажется. следует из ваших рассуждений. Вы говорили о сближении как метафоре счета. Но тогда при обучении сложению правильным будет такой метод: показывают пять яблок, разделяют их на группы три и два, спрашивают - сколько в сумме? Тогда человек имеет в самом обучении явную предпосылку - сближать (=складывать) объекты надо именно потому, что "сначала" была сумма, которую теперь представляют для меня в виде слагаемых, и потому их и надо сложить. Вы не говорите о том, почему операция суммирования должан восприниматься учеником как правильная. Конечно, можно "проверить результат", но это совсем другое. а то, как описано выше - там тождество, и сразу понятно, что яблок в сумме пять, потому что их сначала было пять. Действие переходит от условно-инструментального типа знаний (складывать надо ТАК, а то ничего не получится) в понятный образ.

[ipain.livejournal.com]

это рассуждение канта есть хорошая иллюстрация того что
"интуитивное представление о натуральном ряде" всегда синтетическое.