![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaТема возникла в комментариях вот здесь. ![[livejournal.com profile]](https://www.dreamwidth.org/img/external/lj-userinfo.gif)
french_man подробно описал своё (положительное) отношение к использованию компьютерных программ в математических доказательствах здесь (два коммента), за что ему большое спасибо. Я опрометчиво пообещал сделать то же самое: пришлось основательно подумать, чтобы понять, какова же собственно моя позиция по этому поводу. Надумалось довольно много.
Итак, речь идёт о математических теоремах (или, более обще и неопределённо, результатах), в процессе доказательства (получения) которых нетривиальным образом используются компьютерные программы. Уточним: речь идёт о теоремах в "чистой" математике, не требующих априори длинных вычислений (в конце концов, "найдите первый миллион цифр в десятичном разложении пи" тоже ведь математическая задача). Более важно уточнить, что значит "нетривиальным образом": это значит, что заменить запуск программы ручной проверкой не представляется возможным (скажем, такая проверка заняла бы миллион лет).
Канонический пример - знаменитая теорема о раскраске карты в четыре цвета. Дана карта неких областей, скажем, государств, с произвольным размером областей и их количеством. Всегда ли можно раскрасить эту карту, закрашивая каждую область полностью одним цветом, так, чтобы две смежные области всегда были разного цвета, и используя всего 4 цвета?
Все известные доказательства этой теоремы используют компьютерные программы нетривиальным образом. Впервые её доказали Аппель и Хакен в 1976-м году, а недавно было опубликовано новое, более простое доказательство. В обоих случаях доказательство состоит из теоретической части, в которой доказываются некоторые свойства, которыми обязан обладать контрпример, опровергающий теорему (а именно: он должен содержать в себе конфигурацию специального вида, и всего таких возможных конфигураций конечное количество), и компьютерной части, в которой вполне нетривиальный алгоритм перебирает это конечное кол-во конфигураций и проверяет, что ни одна из них не "подходит" для включения в контрпример (я здесь немного упростил, но несущественно).
О доказательствах такого рода можно задать два вопроса:
1. Насколько стоит им доверять? Должны ли они иметь такой же статус, как "обычные" доказательства? Каковы аргументы за или против использования таких доказательств?
Это вопрос философский, относящийся к философии математики.
2. Как к ним в действительности относятся в математическом сообществе? Как к ним относятся математики и какие аргументы выдвигают в поддержку своих мнений?
Это вопрос социологический.
На самом деле, эти два вопроса, конечно же, тесно связаны, и вообще не очень получается думать о них по отдельности. Но я попытаюсь обосновать следующую гипотезу: предлагаемые математиками причины неприятия таких доказательств обычно неубедительны, но, возможно, за чувствами неудобства, неприятия, неуютности, испытываемыми математиками, скрываются другие объективные причины, которыми они сознательно не оперируют и потому не предлагают в качестве объяснений.
french_man предлагает следующий достаточно убедительный список выдвигаемых обычно причин "против" -
а) Формальные: Нет абсолютной точности, т.к. она недостижима в физическом мире (компьютеры ломаются, электроны управляются вероятностями).
б) Концептуальные: Такие доказательства "механичны", не добавляют ничего к нашему пониманию математики.
в) Психологические: неуютно.
- и отвергает их одну за другой. С его возражениями я в принципе согласен, и согласен с тем, что это причины обычно выдвигаемые (вопрос номер 2 выше), но не согласен с тем, что это все возможные причины "быть против" (вопрос номер 1 выше). К особо интересующему меня аргументу можно придти только путём пристального анализа этих, уже выдвинутых, причин.
"Концептуальный" аргумент меня не очень интересует, и принципиальным, на мой взгляд, не является. Не буду на нём останавливаться. "Психологический" аргумент сам по себе аргументом не является - это констатация факта. Математикам "не нравятся" такие доказательства, им неуютно с ними. Но почему не нравятся? - это нужно пытаться объяснить отдельно. Остаётся "формальный" аргумент, кстати, по моему опыту, как раз наиболее часто встречающийся.
А: Я не доверяю компьютеру. Компьютеры ошибаются.
Б: В каком смысле ошибаются?
А: В прямом. Как может моя вера в правильность доказательства зависеть от того, что какая-то там проволока правильно соединилась с другой проволокой и не соскочила?
Б: Но ведь математики тоже ошибаются. Причём постоянно и, пожалуй, куда чаще компьютеров.
А: Ну это потому что они и задачи выполняют куда сложнее компьютерных! И вообще, это другое.
Б: Но почему другое?
А: Не знаю. Но чувствую. Может быть, вот почему: математик сам отвечает за свои ошибки. Это его проблемы, и в идеале, если он постарается, он их обнаружит.
Б: Посадим параллельно компьютер и математика перемножать много 200-значных чисел. Кто больше раз ошибётся? Ответ очевиден. В конце концов, просто с прагматической точки зрения стоит доверять компьютеру. А чувства-шмувства... это просто от привычки. Привыкнем доверять компьютерам - и интуиция изменится.
В этом диалоге А - некий общий образ математика, настроенного "против" компьютерных доказательств, а Б - математика, настроенного "за", и использующего примерно те же аргументы, что высказалfrench_man. Оба математика, однако, упускают одну важную деталь. Какую?
Мы доверяем не компьютеру, а алгоритму.
Эту мысль надо пояснить. Более строго скажем так: нашу веру (или неверие) в то, что компьютер выдаёт правильный результат после решения поставленной перед ним задачи, можно (и нужно, непременно нужно!) разбить на две части:
1. Мы доверяем алгоритму, составленному для решения задачи. Это значит, что мы верим в то, что алгоритм действительно правильно её решает. Алгоритм - математический объект.
2. Мы доверяем инженерам, сконструировавшим компьютер. Это значит, что мы верим в то, что компьютер безошибочно выполняет алгоритм. Компьютер - физическое устройство.
Первая составляющая нашего доверия - исключительно математическая, абстрактная. Вторая составляющая - исключительно физическая, прагматическая.
Давайте убедимся в том, что первая составляющая действительно существует и реальна. Вопрос: почему математик не боится умножать в столбик? Ведь умножение в столбик - это тоже алгоритм, во время выполнения которого думать не надо, а надо глупо следовать правилам. Ответ: потому что математик доверяет алгоритму. Он знает (и может строго доказать), что если взять число X и число Y, и провести с их десятичными представлениями некоторое количество странных сложений, сдвигов и переносов "в уме", то получится десятичное представление числа X*Y. Именно это знание даёт ему основания не задумываться над проблемой умножения в столбик. Если бы он не доверял алгоритму, неважно было бы, кто бы собственно выполнял алгоритм - он сам в уме, он сам на бумаге или компьютерная программа - результату он бы всё равно не поверил.
Теперь становится понятней, что упускают А и Б, и в чём упущение "формального аргумента". Все выдвигаемые возражения против компьютера относятся ко второй, физической фазе.
Все эти "вероятностные электроны" и "ошибки CPU" - детали физического воплощения. Стоит ли "доверять" им? Это всё ещё нетривиальный вопрос, но стандартный ответ на него теперь приобретает несколько большую силу. Стандартный ответ таков: мы можем повторить вычисление тысячи раз и проверить, что получаем один и тот же результат. "Железо" сбоит? Так мы запустим его на десятках разных компьютеров разных архитектур. Компилятор может содержать ошибку? Перепишем алгоритм на десятке других языков программирования и пропустим через десять других компиляторов.
Мы можем объективно оценить вероятность "сбоя" компьютера/компилятора/экрана/проводки и путём независимых повторов такого рода сделать её сколь угодно малой. Сколь угодно, но не нулём - возражает А! Что ж, он прав. Но когда эта вероятность становится ниже вероятности спонтанного превращение Солнца в суперновую звезду в ближайшие пять минут, например, это кажется не столь уж важным. Особенно учитывая первую, математическую фазу доверия, о которой А до сих пор не задумался.
Закончить сегодня у меня шансов нет, поэтому подытожу. Итак, какова моя позиция? Психологические проблемы математика А проистекают от реальных философских проблем, но он неправильно идентифицирует эти проблемы: вместо того, чтобы заняться алгоритмом, он занимается его физическим воплощением. Вероятность физической ошибки может быть сделана сколь угодно малой, намного меньше, чем вероятность ошибки самого А при перемножении чисел в столбик; А понимает это "умом", но не "сердцем" именно потому, что сознание этого факта не успокаивает его интуицию, не отметает психологическую проблему. А заключает, что даже абсурдно малая вероятность мешает ему; на самом деле ему мешают проблемы с первой фазой доверия, математически-абстрактной, но он этого не осознаёт.
Каковы же эти проблемы? Доверяем же мы, действительно, алгоритму умножения в столбик! Почему бы не доверять алгоритму, который помогает нам доказать теорему четырёх цветов? Об этом - в следующей записи, уже утром.
french_man подробно описал своё (положительное) отношение к использованию компьютерных программ в математических доказательствах здесь (два коммента), за что ему большое спасибо. Я опрометчиво пообещал сделать то же самое: пришлось основательно подумать, чтобы понять, какова же собственно моя позиция по этому поводу. Надумалось довольно много. Итак, речь идёт о математических теоремах (или, более обще и неопределённо, результатах), в процессе доказательства (получения) которых нетривиальным образом используются компьютерные программы. Уточним: речь идёт о теоремах в "чистой" математике, не требующих априори длинных вычислений (в конце концов, "найдите первый миллион цифр в десятичном разложении пи" тоже ведь математическая задача). Более важно уточнить, что значит "нетривиальным образом": это значит, что заменить запуск программы ручной проверкой не представляется возможным (скажем, такая проверка заняла бы миллион лет).
Канонический пример - знаменитая теорема о раскраске карты в четыре цвета. Дана карта неких областей, скажем, государств, с произвольным размером областей и их количеством. Всегда ли можно раскрасить эту карту, закрашивая каждую область полностью одним цветом, так, чтобы две смежные области всегда были разного цвета, и используя всего 4 цвета?
Все известные доказательства этой теоремы используют компьютерные программы нетривиальным образом. Впервые её доказали Аппель и Хакен в 1976-м году, а недавно было опубликовано новое, более простое доказательство. В обоих случаях доказательство состоит из теоретической части, в которой доказываются некоторые свойства, которыми обязан обладать контрпример, опровергающий теорему (а именно: он должен содержать в себе конфигурацию специального вида, и всего таких возможных конфигураций конечное количество), и компьютерной части, в которой вполне нетривиальный алгоритм перебирает это конечное кол-во конфигураций и проверяет, что ни одна из них не "подходит" для включения в контрпример (я здесь немного упростил, но несущественно).
О доказательствах такого рода можно задать два вопроса:
1. Насколько стоит им доверять? Должны ли они иметь такой же статус, как "обычные" доказательства? Каковы аргументы за или против использования таких доказательств?
Это вопрос философский, относящийся к философии математики.
2. Как к ним в действительности относятся в математическом сообществе? Как к ним относятся математики и какие аргументы выдвигают в поддержку своих мнений?
Это вопрос социологический.
На самом деле, эти два вопроса, конечно же, тесно связаны, и вообще не очень получается думать о них по отдельности. Но я попытаюсь обосновать следующую гипотезу: предлагаемые математиками причины неприятия таких доказательств обычно неубедительны, но, возможно, за чувствами неудобства, неприятия, неуютности, испытываемыми математиками, скрываются другие объективные причины, которыми они сознательно не оперируют и потому не предлагают в качестве объяснений.
french_man предлагает следующий достаточно убедительный список выдвигаемых обычно причин "против" - а) Формальные: Нет абсолютной точности, т.к. она недостижима в физическом мире (компьютеры ломаются, электроны управляются вероятностями).
б) Концептуальные: Такие доказательства "механичны", не добавляют ничего к нашему пониманию математики.
в) Психологические: неуютно.
- и отвергает их одну за другой. С его возражениями я в принципе согласен, и согласен с тем, что это причины обычно выдвигаемые (вопрос номер 2 выше), но не согласен с тем, что это все возможные причины "быть против" (вопрос номер 1 выше). К особо интересующему меня аргументу можно придти только путём пристального анализа этих, уже выдвинутых, причин.
"Концептуальный" аргумент меня не очень интересует, и принципиальным, на мой взгляд, не является. Не буду на нём останавливаться. "Психологический" аргумент сам по себе аргументом не является - это констатация факта. Математикам "не нравятся" такие доказательства, им неуютно с ними. Но почему не нравятся? - это нужно пытаться объяснить отдельно. Остаётся "формальный" аргумент, кстати, по моему опыту, как раз наиболее часто встречающийся.
А: Я не доверяю компьютеру. Компьютеры ошибаются.
Б: В каком смысле ошибаются?
А: В прямом. Как может моя вера в правильность доказательства зависеть от того, что какая-то там проволока правильно соединилась с другой проволокой и не соскочила?
Б: Но ведь математики тоже ошибаются. Причём постоянно и, пожалуй, куда чаще компьютеров.
А: Ну это потому что они и задачи выполняют куда сложнее компьютерных! И вообще, это другое.
Б: Но почему другое?
А: Не знаю. Но чувствую. Может быть, вот почему: математик сам отвечает за свои ошибки. Это его проблемы, и в идеале, если он постарается, он их обнаружит.
Б: Посадим параллельно компьютер и математика перемножать много 200-значных чисел. Кто больше раз ошибётся? Ответ очевиден. В конце концов, просто с прагматической точки зрения стоит доверять компьютеру. А чувства-шмувства... это просто от привычки. Привыкнем доверять компьютерам - и интуиция изменится.
В этом диалоге А - некий общий образ математика, настроенного "против" компьютерных доказательств, а Б - математика, настроенного "за", и использующего примерно те же аргументы, что высказал
french_man. Оба математика, однако, упускают одну важную деталь. Какую?Мы доверяем не компьютеру, а алгоритму.
Эту мысль надо пояснить. Более строго скажем так: нашу веру (или неверие) в то, что компьютер выдаёт правильный результат после решения поставленной перед ним задачи, можно (и нужно, непременно нужно!) разбить на две части:
1. Мы доверяем алгоритму, составленному для решения задачи. Это значит, что мы верим в то, что алгоритм действительно правильно её решает. Алгоритм - математический объект.
2. Мы доверяем инженерам, сконструировавшим компьютер. Это значит, что мы верим в то, что компьютер безошибочно выполняет алгоритм. Компьютер - физическое устройство.
Первая составляющая нашего доверия - исключительно математическая, абстрактная. Вторая составляющая - исключительно физическая, прагматическая.
Давайте убедимся в том, что первая составляющая действительно существует и реальна. Вопрос: почему математик не боится умножать в столбик? Ведь умножение в столбик - это тоже алгоритм, во время выполнения которого думать не надо, а надо глупо следовать правилам. Ответ: потому что математик доверяет алгоритму. Он знает (и может строго доказать), что если взять число X и число Y, и провести с их десятичными представлениями некоторое количество странных сложений, сдвигов и переносов "в уме", то получится десятичное представление числа X*Y. Именно это знание даёт ему основания не задумываться над проблемой умножения в столбик. Если бы он не доверял алгоритму, неважно было бы, кто бы собственно выполнял алгоритм - он сам в уме, он сам на бумаге или компьютерная программа - результату он бы всё равно не поверил.
Теперь становится понятней, что упускают А и Б, и в чём упущение "формального аргумента". Все выдвигаемые возражения против компьютера относятся ко второй, физической фазе.
Все эти "вероятностные электроны" и "ошибки CPU" - детали физического воплощения. Стоит ли "доверять" им? Это всё ещё нетривиальный вопрос, но стандартный ответ на него теперь приобретает несколько большую силу. Стандартный ответ таков: мы можем повторить вычисление тысячи раз и проверить, что получаем один и тот же результат. "Железо" сбоит? Так мы запустим его на десятках разных компьютеров разных архитектур. Компилятор может содержать ошибку? Перепишем алгоритм на десятке других языков программирования и пропустим через десять других компиляторов.
Мы можем объективно оценить вероятность "сбоя" компьютера/компилятора/экрана/проводки и путём независимых повторов такого рода сделать её сколь угодно малой. Сколь угодно, но не нулём - возражает А! Что ж, он прав. Но когда эта вероятность становится ниже вероятности спонтанного превращение Солнца в суперновую звезду в ближайшие пять минут, например, это кажется не столь уж важным. Особенно учитывая первую, математическую фазу доверия, о которой А до сих пор не задумался.
Закончить сегодня у меня шансов нет, поэтому подытожу. Итак, какова моя позиция? Психологические проблемы математика А проистекают от реальных философских проблем, но он неправильно идентифицирует эти проблемы: вместо того, чтобы заняться алгоритмом, он занимается его физическим воплощением. Вероятность физической ошибки может быть сделана сколь угодно малой, намного меньше, чем вероятность ошибки самого А при перемножении чисел в столбик; А понимает это "умом", но не "сердцем" именно потому, что сознание этого факта не успокаивает его интуицию, не отметает психологическую проблему. А заключает, что даже абсурдно малая вероятность мешает ему; на самом деле ему мешают проблемы с первой фазой доверия, математически-абстрактной, но он этого не осознаёт.
Каковы же эти проблемы? Доверяем же мы, действительно, алгоритму умножения в столбик! Почему бы не доверять алгоритму, который помогает нам доказать теорему четырёх цветов? Об этом - в следующей записи, уже утром.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2001-09-09 07:37 pm (UTC)Ñïàñèáî,
Date: 2001-09-09 07:59 pm (UTC)Ïðèâåò,
Ôðàíöóçèê.
no subject
Date: 2001-09-09 09:01 pm (UTC)Âåðíî, ìàòåìàòè÷åñêè íåòðèâèàëüíàÿ ÷àñòü êàê ðàç ñâåäåíèå çàäà÷è ê ôîðìå. ïîääàþùåéñÿ ñ÷åòó. Íî ÿ ñîâåðøåííî íå ñîãëàñåí ñ òåì, ÷òî ðåçóëüòàò ñ÷åòà èíòåðåñà íå ïðåäñòàâëÿåò.
Âîïåðâûõ, äàæå åñëè ñ÷åò ìåõàíè÷åñêèé, ðåçóëüòàò ìîæåò áûòü êîíöåïòóàëüíûì. Âîçüìåì, íàïðèìåð, òó æå ïðîáëåìó 4õ êðàñîê. Èìååòñÿ ïðîñòàÿ ôîðìóëà äëÿ ìèíèìàëüíîãî õðîìàòè÷åñêîãî ÷èñëà ãðàôà ðîäà g. ß íå ïîìíþ åå íàèçóñòü, íî îíà åñòü â êíèãå Õàðàðè. Äëÿ g>0 îíà ñðàâíèòåëüíî ëåãêî äîêàçûâàåòñÿ, à äëÿ g=0 (ïëàíàðíûå ãðàôû) îíà êàê ðàç äàåò 4, ò.å. ãèïîòåçó 4õ êðàñîê. Ðàçâå íå êîíöåïòóàëüíî çíàòü, ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ëè ôîðìóëà íà ñëó÷àé g=0?
Âî âòîðûõ, ðåçóëüòàò âû÷èñëåíèé ìîæåò ïðåäñòàâëÿòü èíòåðåñ äëÿ äðóãèõ çàäà÷. Çàìå÷àòåëüíûé ïðèìåð êëàññèôèêàöèÿ êîíå÷íûõ ïðîñòûõ ãðóïï. Âïðî÷åì, åå ïîòèõîíüêó äåêîìïüþòåðèçèðóþò, ïîýòîìó ïðèâåäó ïðèìåð èç ìîåé ñîáñòâåííîé ïðàêòèêè. Íå òàê äàâíî ìû ñ íåñêîëüêèìè ñîàâòîðàìè ðåøèëè ñòàðèííóþ ïðîáëåìó, ñòîÿâøóþ ñ íà÷àëà ÕÕ âåêà. Ðåøåíèå ñîñòîÿëî, êàê âîäèòñÿ, èç ñâåäåíèÿ ê âû÷èñëÿåìîìó âèäó, è, çàòåì, äîâîëüíî äîëãîãî ñ÷åòà (îêîëî ãîäà íà íåñêîëüêèõ êîìïüþòåðàõ). Ñ÷åò ïîäòâåðäèë ñóùåñòâîâàâøóþ ãèïîòåçó.
×åñòíî ãîâîðÿ, ÿ äóìàë, ÷òî ýòî òèïè÷íàÿ èäèîòñêàÿ çàäà÷à, âðîäå Ôåðìà èëè Ãîëüäáàõà. Òèïà, ïîâåñèòü íà ñòåíêó è ëþáîâàòüñÿ. Âçÿëñÿ æå çà íåå ëèøü çàòåì, ÷òîáû ïðîèëëþñòðèðîâàòü ïëîäîòâîðíîñòü íåêîòîðûõ ñâîèõ èäåé. Îêàçàëàñü, íåò: ðåçóëüòàò èìååò ìíîãî÷èñëåííûå ïðèëîæåíèÿ. Íàøà ñòàòüÿ åùå íå âûøëà, íî óæå îïóáëèêîâàíî íåñêîëüêî ñëåäñòâèé, âïîëíå êîíöåïòóàëüíûõ.
 òðåòüèõ, ñàì ñ÷åò ìîæåò ïîðîæäàòü ìàòåìàòè÷åñêèå ïðîáëåìû. Íàïðèìåð, ïðè ðåøåíèè âûøåóïîìÿíóòîé çàäà÷è, â êàêîéòî ìîìåíò ìû îáíàðóæèëè, ÷òî ïåðåîöåíèëè ñêîðîñòü ñ÷åòà, è îí áû íå çàâåðøèëñÿ äî êîíöà íàøèõ äíåé. Ïðèøëîñü âíîñèòü äîâîëüíî ñóùåñòâåííûå óñîâåðøåíñâîâàíèÿ â ìàòåìàòè÷åñêóþ ÷àñòü, è äàæå ïðèâëå÷ü åùå îäíîãî ñîàâòîðà.
Íó, è â ÷åòâåðòûõ, ïñèõîëîãè÷åñêè ïðèÿòíî èìåòü ÷èñòûé, êîìïàêòíûé ðåçóëüòàò. Ãîðàçäî ëó÷øå ñêàçàòü, ÷òî 4õ êðàñîê âñåãäà äîñòàòî÷íî, ÷åì ãîâîðèòü, ÷òî èõ äîñòàòî÷íî âñåãäà, êðîìå êîíå÷íîãî ÷èñëà èñêëþ÷åíèé.
 çàêëþ÷åíèå, ïîçâîëüòå íàïîìíèòü Âàì èñòîðèþ (èëè ïðèò÷ó) î ìàòåìàòèêå, êîòîðûé âû÷èñëèë ðàäèóñ âñåëåííîé. Îí ïîëó÷èë äëèííóþ ôîðìóëû, âêëþ÷àâøóþ îñíîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå è ôèçè÷åñêèå ïîñòîÿííûå (e, pi, c, h), è ñäåëàë ñåáå èìÿ. Ðåçóëüòàò æå åãî íå èíòåðåñîâàë êàêàÿ ðàçíèöà.
Íàêîíåö, êîìóòî ïðèøëî â ãîëîâó ïîñ÷èòàòü, ÷åìó æå ðàâåí ðàäèóñ âñåëåííîé. Îêàçàëîñü, 10 ñàíòèìåòðîâ.
Ñ óâàæåíèåì,
Ôðàíöóçèê.
Ñîîáðàæåíèÿ ðåëèãèîçíîãî õàðàêòåðà
Date: 2001-09-10 02:05 am (UTC)íî ìîãó ñâèäåòåëüñòâîâàòü, ÷òî À. Ãðîòåíäèê èìåë
ñîîáðàæåíèÿ ðåëèãèîçíîãî õàðàêòåðà. Âèäèìî, èõ
ñëåäóåò ïåðåäàâàòü ïðèìåðíî òàê
1) Âñå, ÷òî åñòü ðåàëüíîãî â ìèðå ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ,
ïðè íàäëåæàùåì êîíòàêòå ñàìî ñîîáùàåò íàèëó÷øèé ñïîñîá ñâîåãî
îïèñàíèÿ. Äî òåõ ïîð, ïîêà òîò èëè èíîé ôàêò íå ñîçðåë,
åãî áåññìûñëåííî òÿíóòü êëåùàìè. Ìîæíî âûòÿíóòü, íî
ýòî íå ïðèíåñåò ÿñíîñòè.
2) Íå òîëüêî êîìïüþòåðíûå (êàê óæå ãîâîðèëîñü), íî è
îáûêíîâåííûå ìàòåìàòè÷åñêèå äîêàçàòåëüñòâà, êîãäà îíè
çàíèìàþò ñîðîê ñòðàíèö çàôîðìóëåííîãî òåêñòà, íå÷èòàáåëüíû.
Ïðîâåðèòü, åñòü ëè â íèõ îøèáêà, íà ñàìîì äåëå íåâîçìîæíî.
(Ãðîòåíäèê ïðèâîäèò ïðèìåðû, êîãäà ýòî íè ó êîãî íå
ïîëó÷àëîñü, ñðåäè íèõ êîìïüþòåðíîå -- âïðî÷åì, åùå â åãî
âðåìåíà îêàçàâøååñÿ îøèáî÷íûì -- "äîêàçàòåëüñòâî" ïðîáëåìû
÷åòûðåõ êðàñîê.) Ãîâîðÿ î äîêàçàòåëüñòâàõ, ñëåäóåò èìåòü
â âèäó íå òîëüêî ôîðìàëüíóþ âîçìîæíîñòü ïðîâåðèòü
àêêóðàòíîñòü ïîñòðîåíèé -- îíà óæå äàåò ñáîè -- íî
"åñòåñòâåííîñòü" äîêàçàòåëüñòâà: êîãäà ïðîáëåìà ïîíÿòà
âïîëíå è âçÿòà îòòóäà, ãäå îíà äåéñòâèòåëüíî ëåæèò,
äîêàçàòåëüñòâî òèïà ñàìî ïîä íîãè ïàäàåò.
Òàêèå ñîîáðàæåíèÿ À. Ãðîòåíäèêà è âîîáùå äåëà.
Þëÿ.
Re: Ñïàñèáî,
Date: 2001-09-10 02:13 am (UTC)ãõì...
îñòàëüíîå ìîæíî íàéòè â
Lenat, D.B., (1976), AM: An artificial intelligence approach to discovery in mathematics as heuristic search, Ph.D. Thesis, AIM-286, STAN-CS-76-570, and Heuristic Programming Project Report HPP-76-8, Stanford University, AI Lab., Stanford, CA.
íàäåþñü, êòî òàêîé Äóãëàñ Ëåíàò (http://www.cs.nyu.edu/cs/faculty/shasha/outofmind/lenat.html), íå íàäî îáüÿñíÿòü?
Re: ãõì...
Òåçó åãî ÿ íå ÷èòàë, ïðàâäà. Íî íå ñîâñåì ïîíèìàþ, êàê ýâðèñòè÷åñêèé ïîèñê îïðîâåðãàåò ÷òî-òî â ðàññóæäåíèÿõ À. Ìîæåò áûòü, îáúÿñíèòå ïîäðîáíåå?
Re: ãõì...
Date: 2001-09-10 08:24 am (UTC)Íî â äàííîé äèñêóññè ýòî îôôòîïèê. Çäåñü ðå÷ü èäåò èìåííî î êîìïüþòåðå êàê íóäíîì âû÷èñëèòåëå.
Ïðèâåò,
Ôðàíöóçèê.
æàëü...
Âû ñîâåðøåííî çðÿ îáèäåëèñü.
À âîò íàñ÷åò "òîïèòü àññèãíàöèÿìè", Âû, ïîìîåìó, íå ïðàâû. Òÿæåëóþ ìåõàíè÷åñêóþ âåðèôèêàöèþ è íàäî ïðåïîðó÷àòü êîìïüþòåðàì. Äëÿ ýòîãî îíè, â ÷àñòíîñòè, è ñóùåñòâóþò. Êàê ðàç îñòàâëÿòü ýòî ðàáîòó ëþäÿì è åñòü "òîïèòü àññèãíàöèÿìè". ×åëîâå÷åñêèé ìîçã, âñå æå, áîëåå öåííûé àïïàðàò, ÷åì êîìïüþòåð.
Ñ óâàæåíèåì,
Ôðàíöóçèê.
???????????? ??????????????, ?????? ???????? ?????? ?????????????? ???? ?????? ?????????????????????
åãî ëþáÿò íàçûâàòü âñÿ÷åñêèìè ñëîâàìè, ò.ê. åãî ðàçðàáîòêè (ê ñ÷àñòüþ èëè ñîæàëåíèþ, íå çíàþ) íèêîìó åùå íå óäàëîñü ïîâòîðèòü / êëîíèðîâàòü / íàçîâèòå-ñàìè, è ýòî ïðè âñåé î÷åâèäíîñòè âñåãî òîãî, ÷òî îí äåëàåò... åìó, êñòàòè, õâàòèëî óìà ñêàçàòü ÑÒÎÏ â ýòîé òî÷êå è çàíÿòüñÿ ñîçäàíèåì áîëåå ñåðüåçíîé âåùè, çà ÷òî åãî òîæå èçðÿäíî íå ëþáÿò â AI êðóãàõ... òàê, ñëèøêîì ìíîãî...
ïî ýòîìó ïîâîäó (ãîëûé âû÷èñëèòåëü vs smart computers) åñòü ïåðåâåäåííàÿ íà ðóññêèé êíèãà (÷àñ âñïîìèíàë àâòîðà è íàçâàíèå, íî âñïîìíèë òîëüêî ÷òî îí íàïèñàë Ýëèçó)... Î! âñïîìíèë, Âåéöåíáàóì! íàäî æå... è êíèãà (http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/0716704633/qid=1000138061/sr=1-1/ref=sc_b_1/002-7173999-2183240) ñðàçó íàøëàñü (ïðàâäà èí èíãëèø)... ýòà êíèãà êîãäà-òî ïåðåâåðíóëà ìîþ æèçíü, êàê áàíàëüíî è øòàìïîâàíî ýòî íè çâó÷àëî áû... î÷ü ðåêîìåíäóþ...
îñòàëüíîå ïðè ñëó÷àå, èáî "ôðàíöóçñêèå òîâàðèùè" î÷åíü ñèëüíî ïðîòèâ (http://www.livejournal.com/talkread.bml?itemid=10348471&thread=12635534#t12635534) ;)))
Ïî ïîâîäó ïîñòîâ aculeata è sova
(à) À ÷òî òàêîå êîíöåïòóàëüíîå äîêàçàòåëüñòâî?
(á) Êàê äîñòèãàòü êîíöåïòóàëüíîñòè?
(â) Âñåãäà ëè êîíöåïòóàëüíîñòü äîñòèæèìà?
Ýòî òàêæå îôôòîïèê, íî âñå æ ïîïûòàþñü âûñêàçàòüñÿ.
(à) Êîãäà ãîâîðÿò, ÷òî íåêîå ðàññóæäåíèå êîíöåïòóàëüíî, à äðóãîå íåò, âñåãäà ñëåäóåò ñïðîñèòü: äëÿ êîãî êîíöåïòóàëüíî? Ðåøåíèå òðóäíîé çàäà÷è âñåãäà êîíöåïòóàëüíî äëÿ åãî ñîçäàòåëÿ. Íåâîçìîæíî ñäåëàòü ÷òîëèáî íåòðèâèàëüíîå, íå èìåÿ êîíöåïöèè. Áåñêîíöåïòóàëüíû ëèøü ïóñòûå îáîáùåíèÿ è ïðî÷èå äèññåðòàáåëüíîñòè. Äðóãîå äåëî, ÷òî òðóäíîñòü çàäà÷è è/èëè ýêñïîçèòîðñêàÿ áåçäàðíîñòü àâòîðà ìîãóò ïðèâåñòè ê èñ÷åçíîâåíèþ ëåñà êîíöåïòóàëüíîñòè çà äåðåâüÿìè ïðîìåæóòî÷íûõ òåõíè÷åñêèõ ðåçóëüòàòîâ.
Ýòî çàìå÷àíèå, ïðàâäà, îòíîñèòñÿ èìåííî ê áåñêîìïüþòåðíûì äîêàçàòåëüñòâàì. Êîìïüþòåðíûé ñ÷åò, äåéñòâèòåëüíî, îáû÷íî óäðó÷àþùå áåñêîíöåïòóàëåí. Òàê æå áåñêîíöåïòóàëüíîé ìîæåò îêàçàòüñÿ ðó÷íàÿ ïðîâåðêà êàêèõíèáóäü ñëó÷àåâ, íå ïîäïàäàþùèõ ïîä îáùåå ðàññóæäåíèå. Îá ýòîì ñì. (â).
(á) Êîíå÷íî, Ãðîòåíäèê óñòàìè
êîãäà ïðîáëåìà ïîíÿòà âïîëíå è âçÿòà îòòóäà, ãäå îíà äåéñòâèòåëüíî ëåæèò, äîêàçàòåëüñòâî òèïà ñàìî ïîä íîãè ïàäàåò. Ñäîõíó è ò.ä.
Âîïðîñ â òîì, êàê åå ïîíÿòü? Ìîæíî, êàê Ãðîòåíäèê, ðàçâèâàòü îáùóþ òåîðèþ âñåãî. Ýòîò ïîäõîä, â óìåëûõ ðóêàõ, ìîæåò áûòü ÷ðåçâû÷àéíî ïëîäîòâîðíûì.  íàøóìåâøåì â 70å ãîäû ñïîðå ÌîðäåëëàÇèãåëÿ è Ëåíãà ÿ ïîëíîñòüþ íà ñòîðîíå ïîñëåäíåãî.
ß æå, â ñèëó íåäîñòàòêà îáðàçîâàíèÿ, è íåêîòîðûõ ëè÷íûõ êà÷åñòâ, ïðåäïî÷èòàþ ïðèìèòèâíîàãðåññèâíûé ïîäõîä. Ðåøàòü, òèïà, çàäà÷êó, íå çàáîòÿñü î ãëîáàëüíûõ êîíöåïöèÿõ. Ïîñëåäíèå ïðèäóò. Ïîäõîä "ìûøèíîé íîðû" ïî Ãóìèëåâó. Ðàçóìååòñÿ, íîðà ìîæåò îáâàëèòüñÿ è çàäàâèòü òåõ, êòî ïîñëåäîâàë çà ïðîðûâøèì åå. À ìîæåò è ñòàòü íà÷àëîì øèðîêîãî òîííåëÿ ñî ñâåòîì â êîíöå. Ïðîñòèòå áàíàëüíîñòü îáðàçîâ.
(â) À ïî÷åìó, ñîáñòâåííî, êîíöåïòóàëüíîñòü âñåãäà äîñòèæèìà? Ñîãëàñíî "êîëè÷åñòâåííîé" òåîðåìå Ãåäåëÿ, âûâîä âûâîäèìîé ôîðìóëû ìîæåò áûòü ñêîëü óãîäíî äëèííåå åå ñàìîé. Ò.å., äàæå åñëè òåîðåìà äîêàçóåìà, åå äîêàçàòåëüñòâî ìîæåò áûòü ñêîëü óãîäíî ñëîæíåå ôîðìóëèðîâêè.
Âîçìîæíîñòè ÷åëîâå÷åñêîãî ìîçãà îãðàíè÷åíû, òàê æå êàê è åãî ôèçè÷åñêèå âîçìîæíîñòè. Äîïóñêàþ, ÷òî êîãäàíèáóäü ÷åëîâåê ïðûãíåò íà 3 ìåòðà â âûñîòó. Íî íà 30 íèêîãäà. ×òîáû ïîäíÿòüñÿ íà 30 ìåòðîâ, íóæíà âåðåâêà èëè âåðòîëåò.
Òàê æå è çäåñü. Íå èñêëþ÷àþ, ÷òî ÷åëîâå÷åñêèé ìîçã íå â ñîñòîÿíèè óâèäåòü êîíöåïöèþ, ñïðÿòàííóþ çà êàêîéíèáóäü âåðèôèêàöèåé, íå ïîòîìó, ÷òî òàì ýòîé êîíöåïöèè íåò, à ïîòîìó, ÷òî îíà ñëèøêîì ñëîæíà è íàøåìó ìîçãó íåäîñòóïíà. Òàê ÷òî ðàññóæäàòü, ïðèíàäëåæèò ëè íåêîå äâî the Book, íà ìîé âçãëÿä, íåïðàâîìåðíî. Ýòî ðåøàåì íå ìû, à Òoò, êòî ïèøåò the Book.
À ðàç òàê, òî óæ ëó÷øå èìåòü êîìïüþòåðíîå äâî, ÷åì íèêàêîãî. Ïðèíöèï áåçðûáüÿ, òèïà.
Ñ óâàæåíèåì,
Ôðàíöóçèê.
Re: Ïî ïîâîäó ïîñòîâ aculeata è sova
Date: 2001-09-10 10:08 am (UTC)Êñòàòè, ñàì Ýðäîø íåîäíîêðàòíî ïîïðàâëÿë â òîì äóõå, ÷òî the Book, êîíå÷íî, åñòü, à âîò íàñ÷¸ò Òîãî îí íèêîãäà íè÷åãî íå ãîâîðèë è âîîáùå íå óâåðåí :-).
Re: Ïî ïîâîäó ïîñòîâ aculeata è sova
Date: 2001-09-10 10:51 am (UTC)Åùå êàê ãîâîðèë. Êîãäà ÿ ïîìðó, òèïà, ÿ ó íåãî ñïðîøó, è ò.ä.
 îáùåìòî, ÿ ñ Âàìè ñîãëàñåí. ß òîæå ïðåäïî÷èòàþ êðàñèâîå è êîíöåïòóàëüíîå. È ñòàðàþñü âñå äåëàòü êðàñèâî è êîíöåïòóàëüíî. Íî íå ñ÷èòàþ ýòî ñàìîöåëüþ. Ò.å. åñëè êîíöåïòóàëüíî íå ïîëó÷àåòñÿ, äåëàþ, êàê ïîëó÷àåòñÿ.
Ñ óâàæåíèåì,
Ôðàíöóçèê.
Ï.Ñ. Ïðàâèëüíåå "Ýðä¸ø".
âñå - ÎÊ ;)
à íàñ÷åò òîïèòü è âñå òàêîå... ïî-ìîåìó âñå òàêè Âû íåïðàâû... èáî ïîäñîçíàòåëüíî íå õîòèòå äàâàòü ìàøèíå ñäåëàòü ÷óòü áîëüøå, ÷åì ìîæåòå ñàìè... à ëþäÿì, èì íè÷åãî íå íàäî îñòàâëÿòü ;) (òàêîé öèíè÷íûé ïîèíò - äëÿ äàëüíåéøåé çàòðàâêè :)...
Re: âñå - ÎÊ ;)
Re: Ïî ïîâîäó ïîñòîâ aculeata è sova
Date: 2001-09-11 04:24 am (UTC)In my introduction to his [Pál Erdős] lecture I discussed The Book but I made the mistake of discribing it as being held by God. Paul began his lecture with a gentle correction that I shall never forget. You don't have to believe in God, he said, but you should believe in The Book.
Re: Ïî ïîâîäó ïîñòîâ aculeata è sova
Date: 2001-09-11 04:57 am (UTC)Íî ýòà ôðàçà â äàííîì êîíòåêñòå íè÷åãî íå çíà÷èò. Òî÷íåå ãîâîðÿ, îíà çíà÷èò ëèøü òî, ÷òî îíà çíà÷èò: äëÿ âåðû â Book íå íàäî âåðèòü â Áãà. Íî îíà íèêàê íå ìîæåò ñëóæèòü àðãóìåíòîì â ïîëüçó íåâåðèÿ ñàìîãî UP.
Äà Áã ñ íèì. ß âîâñå íå ñ÷èòàþ åãî îáðàçöîì äëÿ ïîäðàæàíèÿ è ãëóáîêèì ìûñëèòåëåì. Õîòÿ óâàæàþ.
Èíòåðåñíî, ÷òî îí ó÷àñòâîâàë â òðåõ èç ÷åòûðåõ ìîèõ ïåðâûõ êîíôåðåíöèé. Ïðè÷åì íà ïåðâûõ äâóõ îí âñòàâàë â íà÷àëå ìîåãî äîêëàäà, óõîäèë, è âîçâðàùàëñÿ ê êîíöó. À âîò íà òðåòüåé ñëóøàë, è äàæå çàäàâàë âîïðîñû. Ýòî áûëî çà ïîëãîäà äî åãî êîí÷èíû.
Ïðèâåò,
Ôðàíöóçèê.
òîãäà...
ÿ ñòîðîííèê âòîðîãî ïóòè, Âû - ïåðâîãî... íà ÷åì ñîéäåìñÿ? :)))
Ñýð,
Date: 2001-09-11 07:07 am (UTC)