![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaТема возникла в комментариях вот здесь. ![[livejournal.com profile]](https://www.dreamwidth.org/img/external/lj-userinfo.gif)
french_man подробно описал своё (положительное) отношение к использованию компьютерных программ в математических доказательствах здесь (два коммента), за что ему большое спасибо. Я опрометчиво пообещал сделать то же самое: пришлось основательно подумать, чтобы понять, какова же собственно моя позиция по этому поводу. Надумалось довольно много.
Итак, речь идёт о математических теоремах (или, более обще и неопределённо, результатах), в процессе доказательства (получения) которых нетривиальным образом используются компьютерные программы. Уточним: речь идёт о теоремах в "чистой" математике, не требующих априори длинных вычислений (в конце концов, "найдите первый миллион цифр в десятичном разложении пи" тоже ведь математическая задача). Более важно уточнить, что значит "нетривиальным образом": это значит, что заменить запуск программы ручной проверкой не представляется возможным (скажем, такая проверка заняла бы миллион лет).
Канонический пример - знаменитая теорема о раскраске карты в четыре цвета. Дана карта неких областей, скажем, государств, с произвольным размером областей и их количеством. Всегда ли можно раскрасить эту карту, закрашивая каждую область полностью одним цветом, так, чтобы две смежные области всегда были разного цвета, и используя всего 4 цвета?
Все известные доказательства этой теоремы используют компьютерные программы нетривиальным образом. Впервые её доказали Аппель и Хакен в 1976-м году, а недавно было опубликовано новое, более простое доказательство. В обоих случаях доказательство состоит из теоретической части, в которой доказываются некоторые свойства, которыми обязан обладать контрпример, опровергающий теорему (а именно: он должен содержать в себе конфигурацию специального вида, и всего таких возможных конфигураций конечное количество), и компьютерной части, в которой вполне нетривиальный алгоритм перебирает это конечное кол-во конфигураций и проверяет, что ни одна из них не "подходит" для включения в контрпример (я здесь немного упростил, но несущественно).
О доказательствах такого рода можно задать два вопроса:
1. Насколько стоит им доверять? Должны ли они иметь такой же статус, как "обычные" доказательства? Каковы аргументы за или против использования таких доказательств?
Это вопрос философский, относящийся к философии математики.
2. Как к ним в действительности относятся в математическом сообществе? Как к ним относятся математики и какие аргументы выдвигают в поддержку своих мнений?
Это вопрос социологический.
На самом деле, эти два вопроса, конечно же, тесно связаны, и вообще не очень получается думать о них по отдельности. Но я попытаюсь обосновать следующую гипотезу: предлагаемые математиками причины неприятия таких доказательств обычно неубедительны, но, возможно, за чувствами неудобства, неприятия, неуютности, испытываемыми математиками, скрываются другие объективные причины, которыми они сознательно не оперируют и потому не предлагают в качестве объяснений.
french_man предлагает следующий достаточно убедительный список выдвигаемых обычно причин "против" -
а) Формальные: Нет абсолютной точности, т.к. она недостижима в физическом мире (компьютеры ломаются, электроны управляются вероятностями).
б) Концептуальные: Такие доказательства "механичны", не добавляют ничего к нашему пониманию математики.
в) Психологические: неуютно.
- и отвергает их одну за другой. С его возражениями я в принципе согласен, и согласен с тем, что это причины обычно выдвигаемые (вопрос номер 2 выше), но не согласен с тем, что это все возможные причины "быть против" (вопрос номер 1 выше). К особо интересующему меня аргументу можно придти только путём пристального анализа этих, уже выдвинутых, причин.
"Концептуальный" аргумент меня не очень интересует, и принципиальным, на мой взгляд, не является. Не буду на нём останавливаться. "Психологический" аргумент сам по себе аргументом не является - это констатация факта. Математикам "не нравятся" такие доказательства, им неуютно с ними. Но почему не нравятся? - это нужно пытаться объяснить отдельно. Остаётся "формальный" аргумент, кстати, по моему опыту, как раз наиболее часто встречающийся.
А: Я не доверяю компьютеру. Компьютеры ошибаются.
Б: В каком смысле ошибаются?
А: В прямом. Как может моя вера в правильность доказательства зависеть от того, что какая-то там проволока правильно соединилась с другой проволокой и не соскочила?
Б: Но ведь математики тоже ошибаются. Причём постоянно и, пожалуй, куда чаще компьютеров.
А: Ну это потому что они и задачи выполняют куда сложнее компьютерных! И вообще, это другое.
Б: Но почему другое?
А: Не знаю. Но чувствую. Может быть, вот почему: математик сам отвечает за свои ошибки. Это его проблемы, и в идеале, если он постарается, он их обнаружит.
Б: Посадим параллельно компьютер и математика перемножать много 200-значных чисел. Кто больше раз ошибётся? Ответ очевиден. В конце концов, просто с прагматической точки зрения стоит доверять компьютеру. А чувства-шмувства... это просто от привычки. Привыкнем доверять компьютерам - и интуиция изменится.
В этом диалоге А - некий общий образ математика, настроенного "против" компьютерных доказательств, а Б - математика, настроенного "за", и использующего примерно те же аргументы, что высказалfrench_man. Оба математика, однако, упускают одну важную деталь. Какую?
Мы доверяем не компьютеру, а алгоритму.
Эту мысль надо пояснить. Более строго скажем так: нашу веру (или неверие) в то, что компьютер выдаёт правильный результат после решения поставленной перед ним задачи, можно (и нужно, непременно нужно!) разбить на две части:
1. Мы доверяем алгоритму, составленному для решения задачи. Это значит, что мы верим в то, что алгоритм действительно правильно её решает. Алгоритм - математический объект.
2. Мы доверяем инженерам, сконструировавшим компьютер. Это значит, что мы верим в то, что компьютер безошибочно выполняет алгоритм. Компьютер - физическое устройство.
Первая составляющая нашего доверия - исключительно математическая, абстрактная. Вторая составляющая - исключительно физическая, прагматическая.
Давайте убедимся в том, что первая составляющая действительно существует и реальна. Вопрос: почему математик не боится умножать в столбик? Ведь умножение в столбик - это тоже алгоритм, во время выполнения которого думать не надо, а надо глупо следовать правилам. Ответ: потому что математик доверяет алгоритму. Он знает (и может строго доказать), что если взять число X и число Y, и провести с их десятичными представлениями некоторое количество странных сложений, сдвигов и переносов "в уме", то получится десятичное представление числа X*Y. Именно это знание даёт ему основания не задумываться над проблемой умножения в столбик. Если бы он не доверял алгоритму, неважно было бы, кто бы собственно выполнял алгоритм - он сам в уме, он сам на бумаге или компьютерная программа - результату он бы всё равно не поверил.
Теперь становится понятней, что упускают А и Б, и в чём упущение "формального аргумента". Все выдвигаемые возражения против компьютера относятся ко второй, физической фазе.
Все эти "вероятностные электроны" и "ошибки CPU" - детали физического воплощения. Стоит ли "доверять" им? Это всё ещё нетривиальный вопрос, но стандартный ответ на него теперь приобретает несколько большую силу. Стандартный ответ таков: мы можем повторить вычисление тысячи раз и проверить, что получаем один и тот же результат. "Железо" сбоит? Так мы запустим его на десятках разных компьютеров разных архитектур. Компилятор может содержать ошибку? Перепишем алгоритм на десятке других языков программирования и пропустим через десять других компиляторов.
Мы можем объективно оценить вероятность "сбоя" компьютера/компилятора/экрана/проводки и путём независимых повторов такого рода сделать её сколь угодно малой. Сколь угодно, но не нулём - возражает А! Что ж, он прав. Но когда эта вероятность становится ниже вероятности спонтанного превращение Солнца в суперновую звезду в ближайшие пять минут, например, это кажется не столь уж важным. Особенно учитывая первую, математическую фазу доверия, о которой А до сих пор не задумался.
Закончить сегодня у меня шансов нет, поэтому подытожу. Итак, какова моя позиция? Психологические проблемы математика А проистекают от реальных философских проблем, но он неправильно идентифицирует эти проблемы: вместо того, чтобы заняться алгоритмом, он занимается его физическим воплощением. Вероятность физической ошибки может быть сделана сколь угодно малой, намного меньше, чем вероятность ошибки самого А при перемножении чисел в столбик; А понимает это "умом", но не "сердцем" именно потому, что сознание этого факта не успокаивает его интуицию, не отметает психологическую проблему. А заключает, что даже абсурдно малая вероятность мешает ему; на самом деле ему мешают проблемы с первой фазой доверия, математически-абстрактной, но он этого не осознаёт.
Каковы же эти проблемы? Доверяем же мы, действительно, алгоритму умножения в столбик! Почему бы не доверять алгоритму, который помогает нам доказать теорему четырёх цветов? Об этом - в следующей записи, уже утром.
french_man подробно описал своё (положительное) отношение к использованию компьютерных программ в математических доказательствах здесь (два коммента), за что ему большое спасибо. Я опрометчиво пообещал сделать то же самое: пришлось основательно подумать, чтобы понять, какова же собственно моя позиция по этому поводу. Надумалось довольно много. Итак, речь идёт о математических теоремах (или, более обще и неопределённо, результатах), в процессе доказательства (получения) которых нетривиальным образом используются компьютерные программы. Уточним: речь идёт о теоремах в "чистой" математике, не требующих априори длинных вычислений (в конце концов, "найдите первый миллион цифр в десятичном разложении пи" тоже ведь математическая задача). Более важно уточнить, что значит "нетривиальным образом": это значит, что заменить запуск программы ручной проверкой не представляется возможным (скажем, такая проверка заняла бы миллион лет).
Канонический пример - знаменитая теорема о раскраске карты в четыре цвета. Дана карта неких областей, скажем, государств, с произвольным размером областей и их количеством. Всегда ли можно раскрасить эту карту, закрашивая каждую область полностью одним цветом, так, чтобы две смежные области всегда были разного цвета, и используя всего 4 цвета?
Все известные доказательства этой теоремы используют компьютерные программы нетривиальным образом. Впервые её доказали Аппель и Хакен в 1976-м году, а недавно было опубликовано новое, более простое доказательство. В обоих случаях доказательство состоит из теоретической части, в которой доказываются некоторые свойства, которыми обязан обладать контрпример, опровергающий теорему (а именно: он должен содержать в себе конфигурацию специального вида, и всего таких возможных конфигураций конечное количество), и компьютерной части, в которой вполне нетривиальный алгоритм перебирает это конечное кол-во конфигураций и проверяет, что ни одна из них не "подходит" для включения в контрпример (я здесь немного упростил, но несущественно).
О доказательствах такого рода можно задать два вопроса:
1. Насколько стоит им доверять? Должны ли они иметь такой же статус, как "обычные" доказательства? Каковы аргументы за или против использования таких доказательств?
Это вопрос философский, относящийся к философии математики.
2. Как к ним в действительности относятся в математическом сообществе? Как к ним относятся математики и какие аргументы выдвигают в поддержку своих мнений?
Это вопрос социологический.
На самом деле, эти два вопроса, конечно же, тесно связаны, и вообще не очень получается думать о них по отдельности. Но я попытаюсь обосновать следующую гипотезу: предлагаемые математиками причины неприятия таких доказательств обычно неубедительны, но, возможно, за чувствами неудобства, неприятия, неуютности, испытываемыми математиками, скрываются другие объективные причины, которыми они сознательно не оперируют и потому не предлагают в качестве объяснений.
french_man предлагает следующий достаточно убедительный список выдвигаемых обычно причин "против" - а) Формальные: Нет абсолютной точности, т.к. она недостижима в физическом мире (компьютеры ломаются, электроны управляются вероятностями).
б) Концептуальные: Такие доказательства "механичны", не добавляют ничего к нашему пониманию математики.
в) Психологические: неуютно.
- и отвергает их одну за другой. С его возражениями я в принципе согласен, и согласен с тем, что это причины обычно выдвигаемые (вопрос номер 2 выше), но не согласен с тем, что это все возможные причины "быть против" (вопрос номер 1 выше). К особо интересующему меня аргументу можно придти только путём пристального анализа этих, уже выдвинутых, причин.
"Концептуальный" аргумент меня не очень интересует, и принципиальным, на мой взгляд, не является. Не буду на нём останавливаться. "Психологический" аргумент сам по себе аргументом не является - это констатация факта. Математикам "не нравятся" такие доказательства, им неуютно с ними. Но почему не нравятся? - это нужно пытаться объяснить отдельно. Остаётся "формальный" аргумент, кстати, по моему опыту, как раз наиболее часто встречающийся.
А: Я не доверяю компьютеру. Компьютеры ошибаются.
Б: В каком смысле ошибаются?
А: В прямом. Как может моя вера в правильность доказательства зависеть от того, что какая-то там проволока правильно соединилась с другой проволокой и не соскочила?
Б: Но ведь математики тоже ошибаются. Причём постоянно и, пожалуй, куда чаще компьютеров.
А: Ну это потому что они и задачи выполняют куда сложнее компьютерных! И вообще, это другое.
Б: Но почему другое?
А: Не знаю. Но чувствую. Может быть, вот почему: математик сам отвечает за свои ошибки. Это его проблемы, и в идеале, если он постарается, он их обнаружит.
Б: Посадим параллельно компьютер и математика перемножать много 200-значных чисел. Кто больше раз ошибётся? Ответ очевиден. В конце концов, просто с прагматической точки зрения стоит доверять компьютеру. А чувства-шмувства... это просто от привычки. Привыкнем доверять компьютерам - и интуиция изменится.
В этом диалоге А - некий общий образ математика, настроенного "против" компьютерных доказательств, а Б - математика, настроенного "за", и использующего примерно те же аргументы, что высказал
french_man. Оба математика, однако, упускают одну важную деталь. Какую?Мы доверяем не компьютеру, а алгоритму.
Эту мысль надо пояснить. Более строго скажем так: нашу веру (или неверие) в то, что компьютер выдаёт правильный результат после решения поставленной перед ним задачи, можно (и нужно, непременно нужно!) разбить на две части:
1. Мы доверяем алгоритму, составленному для решения задачи. Это значит, что мы верим в то, что алгоритм действительно правильно её решает. Алгоритм - математический объект.
2. Мы доверяем инженерам, сконструировавшим компьютер. Это значит, что мы верим в то, что компьютер безошибочно выполняет алгоритм. Компьютер - физическое устройство.
Первая составляющая нашего доверия - исключительно математическая, абстрактная. Вторая составляющая - исключительно физическая, прагматическая.
Давайте убедимся в том, что первая составляющая действительно существует и реальна. Вопрос: почему математик не боится умножать в столбик? Ведь умножение в столбик - это тоже алгоритм, во время выполнения которого думать не надо, а надо глупо следовать правилам. Ответ: потому что математик доверяет алгоритму. Он знает (и может строго доказать), что если взять число X и число Y, и провести с их десятичными представлениями некоторое количество странных сложений, сдвигов и переносов "в уме", то получится десятичное представление числа X*Y. Именно это знание даёт ему основания не задумываться над проблемой умножения в столбик. Если бы он не доверял алгоритму, неважно было бы, кто бы собственно выполнял алгоритм - он сам в уме, он сам на бумаге или компьютерная программа - результату он бы всё равно не поверил.
Теперь становится понятней, что упускают А и Б, и в чём упущение "формального аргумента". Все выдвигаемые возражения против компьютера относятся ко второй, физической фазе.
Все эти "вероятностные электроны" и "ошибки CPU" - детали физического воплощения. Стоит ли "доверять" им? Это всё ещё нетривиальный вопрос, но стандартный ответ на него теперь приобретает несколько большую силу. Стандартный ответ таков: мы можем повторить вычисление тысячи раз и проверить, что получаем один и тот же результат. "Железо" сбоит? Так мы запустим его на десятках разных компьютеров разных архитектур. Компилятор может содержать ошибку? Перепишем алгоритм на десятке других языков программирования и пропустим через десять других компиляторов.
Мы можем объективно оценить вероятность "сбоя" компьютера/компилятора/экрана/проводки и путём независимых повторов такого рода сделать её сколь угодно малой. Сколь угодно, но не нулём - возражает А! Что ж, он прав. Но когда эта вероятность становится ниже вероятности спонтанного превращение Солнца в суперновую звезду в ближайшие пять минут, например, это кажется не столь уж важным. Особенно учитывая первую, математическую фазу доверия, о которой А до сих пор не задумался.
Закончить сегодня у меня шансов нет, поэтому подытожу. Итак, какова моя позиция? Психологические проблемы математика А проистекают от реальных философских проблем, но он неправильно идентифицирует эти проблемы: вместо того, чтобы заняться алгоритмом, он занимается его физическим воплощением. Вероятность физической ошибки может быть сделана сколь угодно малой, намного меньше, чем вероятность ошибки самого А при перемножении чисел в столбик; А понимает это "умом", но не "сердцем" именно потому, что сознание этого факта не успокаивает его интуицию, не отметает психологическую проблему. А заключает, что даже абсурдно малая вероятность мешает ему; на самом деле ему мешают проблемы с первой фазой доверия, математически-абстрактной, но он этого не осознаёт.
Каковы же эти проблемы? Доверяем же мы, действительно, алгоритму умножения в столбик! Почему бы не доверять алгоритму, который помогает нам доказать теорему четырёх цветов? Об этом - в следующей записи, уже утром.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
Âû ñîâåðøåííî çðÿ îáèäåëèñü.
À âîò íàñ÷åò "òîïèòü àññèãíàöèÿìè", Âû, ïîìîåìó, íå ïðàâû. Òÿæåëóþ ìåõàíè÷åñêóþ âåðèôèêàöèþ è íàäî ïðåïîðó÷àòü êîìïüþòåðàì. Äëÿ ýòîãî îíè, â ÷àñòíîñòè, è ñóùåñòâóþò. Êàê ðàç îñòàâëÿòü ýòî ðàáîòó ëþäÿì è åñòü "òîïèòü àññèãíàöèÿìè". ×åëîâå÷åñêèé ìîçã, âñå æå, áîëåå öåííûé àïïàðàò, ÷åì êîìïüþòåð.
Ñ óâàæåíèåì,
Ôðàíöóçèê.
âñå - ÎÊ ;)
à íàñ÷åò òîïèòü è âñå òàêîå... ïî-ìîåìó âñå òàêè Âû íåïðàâû... èáî ïîäñîçíàòåëüíî íå õîòèòå äàâàòü ìàøèíå ñäåëàòü ÷óòü áîëüøå, ÷åì ìîæåòå ñàìè... à ëþäÿì, èì íè÷åãî íå íàäî îñòàâëÿòü ;) (òàêîé öèíè÷íûé ïîèíò - äëÿ äàëüíåéøåé çàòðàâêè :)...
Re: âñå - ÎÊ ;)
òîãäà...
ÿ ñòîðîííèê âòîðîãî ïóòè, Âû - ïåðâîãî... íà ÷åì ñîéäåìñÿ? :)))
Ñýð,
Date: 2001-09-11 07:07 am (UTC)