о свободных умах

[avva]

Харви Фридман продолжает настойчиво нащупывать пути соединения "сложной" аксиоматической теории множеств (с дополнительными аксиомами "больших кардиналов", в частности) с интуитивным математическим мышлением. В недавнем письме на рассылку FOM он предлагает на рассмотрение очень интересную с философской точки зрения систему "независимо свободных разумов":

Independently Free Minds/Collectively Random Agents

Он вводит незасивимые наборы переменных по времени и по "разумам", упорядоченность времен, и некоторые интересные аксиомы; все это вместе (утверждает Фридман) оказывается достаточно мощным, чтобы взаимно интерпретироваться и взаимно-непротиворечиться с определенной версией теории множеств (с одной добавочной аксиомой о больших кардиналах).

Эх, времени бы побольше. Не могу, при беглом прочтении, понять, насколько тут есть что-то действительно нетривиальное, или это более похоже на формализм, который, возможно, математически и интересен, но философские/интуитивные одежды "времени/разумов" надеты на него недостаточно мотивированным, адхокным образом.

Comments

[(Anonymous)]

Встречал я этого Харви. Самовлюбленный карлик.

[sowa.livejournal.com]

Хочу воспользоваться случаем и поблагодарить вас. Ваш пост доказательстве Крипке теоремы о неполноте в конце концов привел к возобновлению моего интереса к математической логике.

[avva.livejournal.com]

Очень рад. Вы не встречали, кстати, с тех пор что-нибудь новое об этом доказательстве? (я не мог, к сожалению, следить за этим).

[sowa.livejournal.com]

Нет, не встречал. Я пока в текущую литературу не особенно заглядываю. Все-таки для меня это больше хобби, чем профессиональная деятельность (пока?).

Но я обнаружил нечто интересное старое - новое для меня. Хотя обычно теорему Кирби-Харрингтона-Париса выводят из теоремы Гёделя (например, в "Справочной книге"), ее исходное доказательство было полностью независимо от доказательства Гёделя. Я это подозревал, но только недавно в этом окончательно убедился. (Доказательство Крипке тоже независимо, но оно дает, в определенном смысле, более слабый результат: его независимое суждение логически сложнее, чем суждение Гёделя.)

Мне бы хотелось поподробнее познакомиться с результатами Фридмана, но не могу найти подходящего изложения. Оригинальные работы читать пока не пробовал.

[avva.livejournal.com]

Если я правильно помню (может, и неправильно), исходное доказательство Кирби-Харрингтона-Париса пользуется теорией начальных сегментов моделей арифметики Пеано. Полностью я его не разбирал.

Две старые записи про Чайтина:

http://avva.livejournal.com/522839.html
http://avva.livejournal.com/532742.html

Но дальше описанного в них (насколько я понимаю, довольно начального материала из прорабованного Чайтином) я не пошел.

[sowa.livejournal.com]

Спасиб! А вы не могли сказать, где найти наиболее техническое изложение этих вещей? Без псевдофилософского трепа про математические утверждения, которые якобы верны безо всякой на то причины и т.п. Хотя бы, у него самого есть просто технические работы? Теорема, доказательство - знаете, такое вот занудство.

[sowa.livejournal.com]

Я хотел написать просто "Спасибо!". А получился, вроде бы, какой-то сленг.

[avva.livejournal.com]

Увы, как раз этого я не знаю. Это было бы моим следующим шагом - найти технические работы и прочитать - который я собирался сделать, но так и не собрался. Я помню ощущение некоторой неловкости оттого, что практически все, что было под рукой (ссылки с домашней страницы самого Чайтина, с каких-то статей о нем в сети итд.) было именно популяризаторскими объяснениями, но очень может быть, что настоящие, строгие статьи самого Чайтина просто лежали на расстоянии двух шагов, а не одного, и ощущение некоторой "попсовости" всей темы, которое у меня возникло, было совершенно неоправданным. Не знаю.

[ygam.livejournal.com]

Про сложность по Колмогорову, результаты Чайтина и Соломоноффа есть книжка. По-моему, я в какой-то дискуссии про научный метод либо у вас, либо с вашим участием год назад выгреб индукцию по Соломоноффу.

[sowa.livejournal.com]

Я эту книжку когда-то смотрел, но невнимательно. Чайтина не заметил. На самом деле про вариант теоремы неполноты по Чайтину я только пару месяцев назад узнал. В популярном изложении, примерно как у avva. Захотелось взглянуть на технически полное изложение.

[lzh]

Например, достаточно технической (введение можно и пропустить) является статья Чейтина в Journal of the ACM, 1974, http://www.cs.auckland.ac.nz/CDMTCS/chaitin/acm74.pdf

Читали ли Вы недавнюю статью Левина http://arxiv.org/abs/cs.CC/0203029 про "аксиоматику с большой вероятностью"? Там в примечании 3 есть очень едкое умолчание по теме Вашего вопроса.

[avva.livejournal.com]

"Дырка в теореме Геделя".

Ммда.

Спасибо за ссылки.

[lzh]

Где написано про дырку в теореме?

[avva.livejournal.com]

"There appears to be a loophole in Goedel Incompleteness Theorem. It vaguely perceived for a long time but not clearly identified."

http://www.cs.bu.edu/fac/lnd/expo/gdl.htm

[lzh]

Надо же! Правда, любовью к выверке текста Левин, кажется, никогда не отличался. Но для арХива он несколько корректнее написал: "There appears to be a gap between usual interpretations of Godel Theorem and what is actually proven."

[avva.livejournal.com]

Тоже, на мой взгляд, не вполне корректно сказано, но явно лучше, чем loophole.

[sowa.livejournal.com]

Спасибо! Едкое умолчание - это неупоминание Чайтина, я правильно понял?

[lzh]

Да. В словах про straightforward implications очень уж прозрачный намёк.

[sowa.livejournal.com]

Кстати, вы знаете про теорему о неполноте Chaitin'а?