опять про квадратный корень
Feb. 19th, 2007 01:48 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaПредположим, у нас есть какое-то (целое) число, например 2 или 25 или 234769 или любое другое. Обозначим его буквой N.
Может быть, оно целый квадрат, т.е. квадрат другого натурального числа, например 9 это 3 в квадрате или 25 это 5 в квадрате. Тогда его квадратный корень - это целое число, как 3 или 5 в этих примерах.
Если наше число N - не целый квадрат, то его квадратный корень не может быть целым числом. Но, может быть, его квадратный корень - какая-нибудь дробь вида 3/5 или что-нибудь такое.
И третья возможность - это что квадратный корень из N - иррациональное число, которое нельзя записать как целую дробь.
Так что всего с логической точки зрения у нас есть три возможных ситуации:
1) квадратный корень из N - целое число.
2) квадратный корень из N - дробное число.
3) квадратный корень из N - иррациональное число.
Вот простое красивое доказательство того, что вторая ситуация - "дробное число" - не может случиться на самом деле. Поэтому из этого доказательства следует, что квадратный корень из 2, из 3, из 5, из 20, и вообще из любого числа, которое не целый квадрат - иррациональные числа. Ведь если мы исключили возможность номер два, то остаются только один и три; а все эти числа - 2, 3, 5, 20 и многие другие - не целые квадраты, то номер один тоже исключается, и их квадратные могут быть только иррациональными.
Я попытаюсь написать это доказательство так, чтобы его могли понять читатели, которые не имеют никакого отношения к математике, и не учили ее со времем средней школы. Если вы такой читатель, и вам в этом доказательстве все понятно или наоборот что-то непонятно, то расскажите мне, пожалуйста, о своих впечатлениях и трудностях в комментариях.
Итак, предположим, что есть такое N, которое не является целым квадратом, и что его квадратный корень можно записать как какую-то целую дробь
A
√N = ---
B
(запись √N означает "квадратный корень из N")
Из всех возможных таких A/B (а их может быть много: ведь, например, 1/2 это то же самое, что 2/4 или 5/10) мы выберем такое A/B, в котором А самое меньшее по размеру ("минимальное", говорят математики). Так что никакого другого A/B с тем же значением √N, в котором А еще меньше того, что мы выбрали, быть уже не может. Например, если бы нам надо было выбирать между возможными вариантами записать A/B как 2/5, 4/10 или 20/50, то мы выберем 2/5, потому что в этом варианте A меньше всех - равно 2 - и меньше варианта уже нету.
Теперь возведем обе части в квадрат. Левая часть - квадратный корень из N - в квадрате будет просто N, а правую часть умножим саму на себя, ведь это и значит "возвести в квадрат":
A A
N = --- * ---
B B
Перевернем одну из дробей и перенесем в левую часть. Или, говоря, другими словами, умножим обе части на B/A, и тогда в левой части прибавится B/A, а в правой части оно сократится с одной из двух копий A/B.
N * B A ----- = --- A B
Раз эти две дроби равны, то равны по отдельности их целые части и дробные части. Что такое дробная часть той дроби, что слева от знака равенства? Это какая-то дробь
x --- A
где x должно быть меньше A (иначе можно еще выделить целую часть). Соответственно дробная часть той дроби, что справа, это какое-то y/B, где y должно быть меньше B. Вместе получается
x y --- = --- A B
В этом равенстве мы можем перенести y влево, а A вправо, умножив сначала обе части на A, а потом поделив обе части на y:
x y
--- * A = --- * A
A B
Сокращаем A:
y*A
x = -----
B
Делим на y:
x y*A
--- = ---
y y*B
и сокращаем y:
x A
--- = ---
y B
(мы можем это сделать, только если мы точно знаем, что y не равно 0, потому что на ноль делить нельзя. Но мы это точно знаем: ведь если y равно 0, это значит, что дробная часть A/B равна 0, т.е. исходный квадратный корень A/B целое число, но мы изначально предположили, что оно не целое)
Сравнив это равенство с самым началом наших рассуждений, мы видим, что
x
√N = ---
y
причем, мы раньше видели, в этом равенстве x меньше нашего первоначального числительного A (потому что у нас была дробная часть x/A, в которой нельзя было выделить еще больше целой части). Но это противоречит тому, что мы написали о выборе A: А должно было быть самым меньшим из всех возможных способов представить √N в виде A/B. Исходя из этого допущения, мы тем не менее нашли какое-то еще меньшее число x, которое тоже подходит для этой цели, то есть пришли к противоречию. Раз мы неизбежно приходим к противоречию, исходя из предположения, что √N вообще можно представить как какое-то A/B, значит, это предположение неверно, и на самом деле такого не может быть. Что и требовалось доказать.
Это доказательство приводят Conway & Guy в своей "Книге чисел" (The Book of Numbers).
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2007-02-19 12:04 pm (UTC)Как выглядит график функции Y = A в степени X, если A отрицательное? То есть, скажем, -2 в квадрате это 4, а в кубе уже -8. Потом опять плюс, потом опять минус. А в дробных координатах где-то не существует (если внизу дроби чётное число), а где-то существует, если нечётное. Можно где-нибудь на такой график посмотреть?
no subject
Date: 2007-02-19 12:44 pm (UTC)no subject
Date: 2007-02-19 01:26 pm (UTC)готовая ссылка из коммента ниже:
похоже на продукт перемещения одной параболы по другой такой же (-:
no subject
Date: 2007-02-19 12:10 pm (UTC)no subject
Date: 2007-02-19 12:25 pm (UTC)1) во-первых, это доказательство не придумали в 2000-м году, а оно существовало давно, в том числе в элементарных учебниках (см. например Proof 7 на этой странице).
2) во-вторых, оно действительно является очевидной геометризацией известного - хоть и далеко не так широко известного, как "стандартное" - арифметического доказательства
3) в-третьих, неверно называть его чисто геометрическим, потому что по сути своей оно содержит арифметический аргумент, апеллирующий к понятию "целое число", без которого чистая геометрия в ее древнегреческой версии вполне может обойтись
4) в-четвертых, по-видимому, неверно, что древние греки только случайно открыли "стандартное" доказательство, а не это, а это гораздо больше в их духе, потому что Марк не замечает того факта, что это доказательство глубоким образом опирается на принцип бесконечного спуска, которым, по-видимому, в явном виде древние греки не владели. Конечно, и "стандартное" доказательство на него опирается, но там эта зависимость вплетена в понятие "сокращение дробей", и необязательно понимать сам метод бесконечного спуска, достаточно "всего лишь" понимать сокращение дробей.
Но, уже начав писать письмо Марку, я передумал, потому что вспомнил, что его отношение к критике, даже вполне дружелюбной, оставляет желать лучшего, по моему опыту, и что это вероятно будет бесполезным занятием. Раз уж я вспомнил эту тему, то решил попробовать записать как можно более понятным языком доказательство Конвея. Арифметическую версию доказательства про квадратный корень из двух я уже как-то приводил несколько месяцев назад, правда, она наверняка затерялась для почти всех читателей внутри длинного и утомительного логического рассуждения.
no subject
Date: 2007-02-19 01:51 pm (UTC)no subject
Date: 2007-02-19 05:18 pm (UTC)no subject
Date: 2007-02-19 06:06 pm (UTC)точно сказать нельзя
Date: 2007-02-20 12:19 pm (UTC)no subject
Date: 2007-02-19 02:37 pm (UTC)1) мне было не очевидно, что B*N > A, и что мы можем выделить целую часть.
2) Мне были неочевидны переносы дробей - возможно и другим чайникам было бы проще если бы ты предлагал поделить и умножить обе части уровнения.
no subject
Date: 2007-02-19 05:19 pm (UTC)1) нам не нужно отдельно доказывать, что B*N > A - если вдруг нет, то пусть x = B*N, и вся дробь и есть дробная часть.
2) сейчас попробую дописать это, правда твоя.
no subject
Date: 2007-02-19 06:07 pm (UTC)nitpicking
Date: 2007-02-19 02:44 pm (UTC)Поскольку речь везде идет о целых, а не натуральных, такого А нет.
Re: nitpicking
Date: 2007-02-19 05:20 pm (UTC)no subject
Date: 2007-02-19 05:41 pm (UTC)no subject
Date: 2007-02-19 07:15 pm (UTC)no subject
Date: 2007-02-19 06:40 pm (UTC)Может потом вернусь, если вспомню
no subject
Date: 2007-02-19 06:43 pm (UTC)no subject
Date: 2007-02-22 08:10 am (UTC)наверное, потому что на матфаке учился :)
no subject
Date: 2007-02-19 06:44 pm (UTC)no subject
Date: 2007-02-19 10:27 pm (UTC)I think the issue is that it is not clear where the argument is supposed to lead. You follow it blindly, not knowing what is important what is just a comment. And in this case, given that it is difficult (especially for untrained) to keep more than two statements in mind at the same time, all extra clarifications only distract.
You just left with impression of haven been tricked with a slew of hand.
I think one should start with the principle of the proof: Dokazhem medotom 'ot protiwnogo' ....
Predpolozhim A minimal'no i pokazhem chto est' drugoe chisle men'she
no subject
Date: 2007-02-19 10:29 pm (UTC)no subject
Date: 2007-02-19 10:58 pm (UTC)1) Here are N,A,B - good, important stuff, I memorized it and ready to follow their transformations
2) I got a bit distracted thinking about whether there is a minimum A. Ok, let it be, and I take A to be this number
3) x,y are introduced. They look very technical, like temporary abbreviation, I may think I don't have
to learn them in detail. I have no idea that 'x' is the critical quantity on which properties the proof relies and which magnitude I must be aware of. It also looks similar to 'y' and I have to keep in my mind the track of both. So calcualtion follow,
I may still remember that x,y are 'drobnye chasti' (never explicitly written out, BTW)
4) I come to the end. Suddenly I see that critical statement is x < A.
However rather than feel the revelation, my the reaction is 'what the hell exactly was x?, let us go back to see how it was defined and whether there are some holes in the procedure to get sqrt(N)=x/y. So I have to start reading again.
no subject
Date: 2007-02-19 08:53 pm (UTC)no subject
Date: 2007-02-19 09:02 pm (UTC)Так. Во-первых - и это моя основная проблема с традиционным изложением математики вообще - происходят какие-то манипуляции с формулами - но совсем непонятно почему именно эти, а не какие-то другие. Как автор теоремы догадался, что нужно делать именно такие заклинания? Не перебирал он же все варианты - адавай умножим на А, а давай попробуем поделить обе части на х...
Во-вторых - а это дело вкуса - мне больше нравится другое доказательство. В нем виднее, в чем, собственно, дело.
Сначала докажем что sqrt(2) иррационально
пусть (x/y)^2=2
тогда (x^2)/(y^2)=2 (по правилу умножения дробей)
следовательно x^2=2*(y^2)
разложим обе части на простые множители.
пусть в разложении x число 2 встречается m раз, а в разложении y - она встрачается n раз. Важно то, что разложение на простые множители единственно. (это проходят в школе точно)
тогда в разложении левой части двойка будет встречаться 2m раз, а в разложении правой - 2n+1 раз
Четное != нечетному. Противоречие.
Теперь, если начать обобщать с двойки на произвольное целое число, то доказательство либо проходит - тогда корень остается иррациональным, либо нет - тогда (если чуть-чуть подумать) корень оказывается целым. Дробь ну никак выйти не может.
Отсюда - если уже знать высшую математику - следует в частности, что иррациональность корня в поле напрямую связана с единственностью разложения на множители. Но это уже на любителя.
Точно знаю, что школьнику это должно быть понятно, потому что в школе я это и придумал = )(разумеется, не первым)
no subject
Date: 2007-02-19 09:16 pm (UTC)no subject
Date: 2007-02-19 11:29 pm (UTC)For the non-mathematician the problem should be formulated sharply and interesting.
For example, the following problems will probably not look to interesting
1) :) In some area of mathematics we have cases a),b),c) let us prove that case b) is impossible.
This looks like some technicality statement, and mathematics is so vast anyway ....
2) let us prove that sqrt(N) is irrational (baring full square).
Most of non-mathimaticians don't know what irrational means. And in mathematics there is plenty of weird terms, so what that something is called something ? And those who do remember irrational numbers,
remember first of all sqrt(2), sqrt(3) (and pi). For them it is almost a tautology that square roots are irrational !
So I would have though that formulation of the problem like
3) Let us show that \sqrt{N} cannot be represented as (irreducable) ratio n/m *)
is more interesting. Some may even be astonished (those who do not remember that there are irrational numbers).
*) Caveat about ful squares have to be introduced somehow.
no subject
Date: 2007-02-20 03:35 am (UTC)no subject
Date: 2007-02-20 08:50 am (UTC)мне тоже иногда приходится объяснять какие-то вещи, кажущиеся мне очевидными, гораздо подробнее, чем, казалось бы, нужно. когда я это делаю в устной форме, реакция собеседника подсказывает, когда нужно повторить, а когда можно двигаться вперёд. а когда я пишу, этого фидбэка нет, и меня всегда мучает страх "зациклиться", начать повторять одно и то же без продвижения вперёд.
а зачем так сложно?
Date: 2007-02-20 10:22 am (UTC)(1) представим а и b в виде произведений простых чисел. Т.к. дробь несократима, то общих членов в этих разложениях нет. Поэтому в разложениях a^2 и b^2 тоже нет общих членов.
no subject
Date: 2007-02-20 06:23 pm (UTC)no subject
Date: 2007-02-20 06:25 pm (UTC)no subject
Date: 2007-02-20 11:10 am (UTC)Разве то, что возведение в квадрат несократимой дроби с неединичным знаменателем приведет к несократимой же дроби с неедиными знаментателем, не является достаточным рассуждением?
no subject
Date: 2007-02-20 06:22 pm (UTC)Интересно,
Date: 2007-02-20 12:05 pm (UTC)no subject
Date: 2007-02-20 06:38 pm (UTC)no subject
Date: 2007-02-27 02:59 am (UTC)