Ни о какой безапелляционности в моих высказываниях не может быть и речи!

"Теперь я понимаю, как он это делал!"

Интересно, как вам удалось прийти к такому выводу?

From:

У меня там сначала было написано "...теперь я, видимо, понимаю...", но потом мне показалось, что и так слишком много reservations в абзаце, и я стер.

А что, есть много разных (простых и фундаментальных) способов доказать, что у любого оператора есть собственное значение, спектральную теорему итд., не используя детерминанты?

From:

Я подозреваю, что все способы по-существу одинаковы, независимо от того, используются детерминанты или нет.

Что касается Артина, то, например, в его книжке по теории Галуа (это самый абстрактный и элегантный подход к ней, основанный на линейной алгебре) базисы и матрицы используются безо всяких resevations. В книжке не используются детерминанты, поскольку они там не нужны, но в ней есть параграф, посвященный построению детеминантов. Способ близок к упомянутому в комментах подходу через внешнюю алгебру, а не к подходу этой статьи. В "Геометрической алгебре" тоже используются и матрицы, и определители.

Поэтому предположение о соответствии подхода этой статьи идеям Артина и кажется мне необоснованным.

From:

Скорее всего я просто неправильно вспомнил и Рота, например, говорил о ком-то другом вообще.

From:

Может, это был и не Рота? Потому как Рота любил детерминанты.

From:

А что Вы вообще сами думаете об этом подходе, если не секрет?

From:

Хотя я давно знаю, что есть такая книжка, я только сейчас посмотрел сколько-нибудь внимательно на эту статью - и я не вижу, что в ней действительно нового. Существование собственных значений и собственных векторов доказывается практически так же, как в "Алгебре" Ленга. Понятие "обобщенного собственного вектора" совершенно стандартное, хотя обычно, кажется, имеет другое название.

То, что определитель равен произведению собственных значений - все знают. Но вот определять его так - плохо, поскольку обычная формула применима на любыми кольцами, а это определение - нет. Над полями определитель, на мой взгляд, лучше всего определять через внешнюю алгебру. Это более-менее эквивалентно подходу Артина, которому следует и Ленг. При этом подходе трудность и немотивированность определения (через знакопеременную сумму) переходит в трудность доказательства того, что определитель существует. Что, наверное, хорошо в педагогическом плане - доказательство можно опустить, до тех пор, пока не понадобится формула. Тут есть относительно недавний способ доказать это проще, чем через предъявление формулы, но для стандартного курса линейной алгебры это способ вряд ли годится.

From:

Спасибо!

From:

А что за недавний способ доказать существование определителя? Расскажите, если не трудно. Как я понимаю, под существованием определителя подразумевается утверждение, что n-я внешняя степень n-мерного пространства одномерна (а не нульмерна).

From:

Да, нужно именно доказать, что пространство не нульмерно. На самом деле доказывается, что стандартные мономы образуют базис внешней алгебры. Доказательство использует вариант так называемой diamond леммы о приведении чего угодно к нормальной форме. Допустим, что если есть два разных упрощения некоторого выражения, то у них есть общее упрощение (картинка: ромбик, или diamond). В такой ситуации неупрощаемые выражения являются "нормальными формами" - каждое выражение имеет единственную нормальную форму. Это и есть diamond лемма M. Newman'а; она более-менее очевидна. В нашей ситуации все чуть-чуть хитрее, поскольку нам нужен линейный вариант diamond леммы (когда речь идет о линейных комбинациях выражений). Он был доказан G.M. Bergman'ом в конце 70-х. Штука полезная и в других ситуациях, например, так получается очень прозрачное доказательство теоремы Пуанкаре-Биркгофа-Витта. Для внешней алгебры все совсем просто.

From:

Ах да, конечно. Я знаю, что такое Diamond Lemma! Я даже знаю более прозрачное доказательство теоремы Пуанкаре-Биркгофа-Витта, чем то, что получается с помощью этой леммы... Однако, при применении Diamond Lemm'ы к случаю внешней алгебры речь идет, по существу, только о доказательстве существования знака перестановки (гомоморфизма из группы перестановок в группу {1,-1}, переводящего все транспозиции в -1).

From:

По-существу, конечно.

А какое более прозрачное доказательство ПБВ?

From:

Это мы с Сашей П. придумали. Вот есть алгебра Ли g; рассмотрим ее стандартный гомологический комплекс С_*(g), т.е. внешнюю алгебру векторного пространства g с дифференциалом, зависящим от скобки Ли. Это коассоциативная DG-коалгебра (двойственный комплекс -- C^*(g) -- ассоциативная DG-алгебра). Рассмотрим кобар-конструкцию DG-коалгебры C_*(g); это будет ассоциативная DG-алгебра A_*. Легко убедиться непосредственно, что когомологии A_* в градуировке 0 -- это в точности обертывающая алгебра Ug. Теперь рассмотрим возрастающую фильтрацию бикомплекса A_*, в n-й компоненте которой находятся все тензоры степени не больше n по g (F_1A_* -- это g, F_2A_* -- это прямая сумма g, внешнего квадрата g, и ее тензорного квадрата, и т.д.) В общем, это просто одна из двух стандартных фильтраций бикомплекса -- та, которая оказывается возрастающей. Присоединенный фактор A_* по F -- это кобар-комплекс внешней коалгебры пространства g, вычисляющий алгебру Ext из поля в поле над внешней коалгеброй. Последняя есть симметрическая алгебра пространства g, и живет она на диагонали градуированного комплекса gr_F(A_*) -- той самой диагонали, которая сворачивается в нулевую компоненту градуировки тотального комплекса A_*. Поскольку вне этой диагонали гомологии gr_F(A_*) равны нулю, спектральная последовательность вырождается в члене E_1 и присоединенный фактор обертывающей алгебры есть симметрическая алгебра.

Из этого доказательства видно, что теорема ПБВ есть проявление факта кошулевости симметрической и внешней алгебр, и она обобщается на произвольные кошулевы алгебры. (Последний факт доказали также Саша Б. и Денис Г. другим способом.)

From:

А это в вашей книжке или еще где-нибудь есть?

Это, конечно, очень здорово, но если я, скажем, читаю вводный курс по алгебрам Ли, то мне ни в коем случае нельзя говорить ни про коассоциативные DG-коалгебры, ни про спектральные последовательности.

А доказательство Бергмана рассказать можно. Кстати, оно работает и для квантовых групп (собственно, я узнал про этот подход, читая курс по квантовым группам - от ходившего на него коллеги).

From:

Это есть в нашей книжке (Chapter 5 Section 7), а также в моей статье в Функ. Анал. и Прил. за 93 год. Уж не знаю, которое изложение прозрачнее. Там рассматриваются CDG-(ко)алгебры, степень общности довольно высокая.

Если про спектральные последовательности нельзя, значит, не пойдет. Доказательство Бергмана хорошее. Но все же приятно, когда можно обойтись без базисов.

From:

Спасибо, я посмотрю и книжку, и статью. Есть еще геометрическое (?) доказательство Вайнстейна, в которое я все не соберусь вникнуть. Вы с ним не сталкивались?

Я сам базисы не люблю, но традиционная формулировка говорит о базисах, так что они мне не кажутся большим злом в доказательстве.

Так или иначе, но это факт - основы групп и алгебр Ли изучает многие люди, которые спектральные последовательности не знают, да и не хотят их знать.

From:

Ничего не слыхал про доказательство Вайнстейна. А где про него написано? Вообще, при слове "геометрическое доказательство ПБВ" приходит в голову мысль представить Ug как распределения на G, сосредоточенные в единице -- но для этого нужно, чтобы существовала группа G. Если же пытаться построить G как формальную группу исходя из g, то это будет просто порочный круг.

Есть еще доказательство из книжки "Семинар Софус Ли", использующее теорему о классификации алгебр Хопфа. Там нужно отдельно доказывать, что отображение g->Ug инъективно, для чего используется какой-то странный трюк.

From:

Да, вроде бы в таком духе. Если я не ошибаюсь, это здесь:

Ana Cannas da Silva and Alan Weinstein

Geometric Models for Noncommutative Algebras

From:

brshk.livejournal.com

спектральных последовательностей можно
избежать (по крайней мере при переходе
от абелевой алгебры Ли к произвольной) если
использовать Basic Perturbation Lemma. Она
примерно эквивалентна рассуждению с фильтрацией, но "ближе к народу".

From:

При случае надо все это продумать...

From:

piont.livejournal.com

Да, мне тоже очень нравится это ваше рассуждение. Думается, чаша его возможных обобщений до дна еще не испита.

Однако, чтобы провести его для какой-то конкретной алгебры, все равно приходится пользоваться чем-то вроде базисов Гребнера, т.е. той же diamond леммы.

From:

Потому, что непонятно, как доказывать кошулевость. В целом это большая проблема (например, если доказать кошулевость милноровской К-алгебры поля, из этого почти следовала бы гипотеза Милнора-Блоха-Като). Но все же есть методы и помимо базисов Гребнера -- например, редукция в простую характеристику иногда помогает.

From:

piont.livejournal.com

Да, конечно, главная трудность с козюлевостью. А как для этого пользоваться переходом в конечную характеристику? Хотелось бы мне эмоу научиться! Не знаете ли Вы какого-нибудь примера?

А еще, переход от фильтрованного объекта к градуированному -- это построение модуля старших членов (относительно фильтрации), что сводится к построению стандартного базиса. Тогда совпадение размерностей в младших (гомологических) степенях означает, что построение стандартного базиса завершено на первом же шаге.

From:

Пример -- доказательство Смита-Стаффорда регулярности алгебр Склянина. Вообще же, это проявление деформационного свойства кошулевых алгебр: если квадратичная алгебра A над кольцом целых чисел не имеет p-кручения в A_1, A_2 и A_3 и алгебра A/p кошулева, то и алгебра A_\Q над рациональными числами кошулева. См. нашу книжку, Chapter 6 Section 7.

Переход от фильтрованного объекта к градуированному совершенно не сводится к построению стандартного базиса. Например, если фильтрованный объект изначально был градуированным (имел однородные соотношения), то переход от него к градуированному тривиален, в то время как стандартный базис у него может быть очень сложным.

From:

avzel.livejournal.com

Возьмем два утверждения: (1) Основная теорема алгебры. (2) Каждое линейное отображение конечномерного комплексного пространства в себя имеет собственный вектор. Великим методическим усовершенствованием объявлено то, что (2) можно вывести из (1), не используя определителей. А вот мой соавтор (и, по моему, совершенно замечательный математик) Harm Derksen пошел дальше: он придумал (см. здесь) как доказать (2), не только не используя определителей, но пользуясь только тем, что у каждого вещественного многочлена нечетной степени имеется вещественный корень. Тем самым, он получает новое доказательство (1) методами линейной алгебры.

From:

Поворот действительно интересный, но для преподавания, на первый взгляд, совсем не годится. Тем более что линейную алгебру часто преподают тем, для кого доказательство "основной теоремы алгебры" (в кавычках, потому что это, конечно, не теорема алгебры) и слишком сложно, и ненужно.

From:

avzel.livejournal.com

К реальному преподаванию всё это обсуждение, по-моему, не имеет особого отношения. В серьезном курсе линейной алгебры для студентов-математиков я бы не стал утаивать определителей, но, если бы время позволило, рассказал бы и что существование собственных значений можно доказать и без них, а для практических вычислений - даже лучше без них. Особых поводов для восторга не вижу в любом случае (у Харма, по крайней мере, как всегда что-то остроумное и неожиданное).

From:

Целиком согласен. Замечу только, что заметка, на которую

avva дал ссылку, посвящена преподаванию не столько математикам, сколько "потребителям" оной.

From:

Какая красота! Спасибо огромное!

From:

Почитав эту заметку еще, в частности, послесловие, я понял, что я до некоторой степени missed the point, отчасти, видимо, под влиянием разговоров об Артине. Которые настраивают собственно на математику - откуда и упоминания о внешней алгебре. А речь в заметке идет про undergraduate education, причем, разумеется, в Америке. И все эти красоты, внешняя алгебра или определение Артина, приведенное в graduate учебнике Ленга - это все мимо, это все для стандартного или даже продвинутого undergraduate курса никуда не годится. И обычная формула со знакопеременной суммой - это нечто запредельное для среднего студента.

Если бы я хоть раз преподавал линейную алгебру, я бы, наверное, мог бы лучше оценить педагогическую эффективность этого изложения.

Кроме того, я имею слабость к красивой алгебре, а автор, я думаю, построил свое изложение в духе функционального анализа.

From: