![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaРисуем картинку
Начнем с поля действительных чисел R и построим над ним векторное пространство размерностью 1. В таком тривиальном векторном пространстве каждый вектор можно идентифицировать с числом. Поэтому 4, например - одновременно скаляр и вектор; будем выделять вектор жирным шрифтом: 4. Все пространство можно тоже обозначить R.
В пространстве R возьмем базис, состоящий из одного вектора e1 = 1. Как обычно, каждый вектор может быть представлен в виде линейной комбинации скаляров с векторами базиса; например, 4 = 4*e1.
Зафиксируем также какой-нибудь вектор v; например, пусть будет та же четверка - v = 4.
Теперь рассмотрим двойственное (сопряженное) пространство к R. Элементами этого пространства R* являются линейные функционалы над R, т.е. линейные функции, ставящие в соответствие каждому вектору действительное число. Если f - такой функционал, и f(1) = a, то например f(10) = f(10*1) = 10*f(1) = 10*a. Поэтому каждый такой функционал - просто умножение на какое-то действительное a, и мы его обозначим "a*", например 5* - это функция f(x) = 5*x.
Пространство R* тоже имеет размерность 1, и у него есть базис, сопряженный к выбранному нами базису e1: это такое e1, что применяя его к e1, мы получаем единицу. Ясно, что e1 = 1*, умножение на 1.
Зафиксируем также какой-нибудь вектор w* в сопряженном пространстве; например, возьмем w = 7*. Ясно, что он выражается через базис e1 следующим образом: w = 7*e1.
И наконец, между пространствами R и R* есть изоморфизм, который можно построить с помощью выбранных базисов: вектору a*e1 ставим в соответствие сопряженный вектор a*e1. Тогда, например, 10 переходит в 10*. Обозначим этот изоморфизм через Fe (потому что он, как мы увидим, зависит от выбора базиса e).
До сих пор мы отобрали пять объектов: базис R (состоит из e1 = 1), вектор в R (v = 4 ), сопряженный базис R* (состоит из e1 = 1*), сопряженный вектор в R* (w = 7*), и изоморфизм Fe (x -> x*). Еще у векторов v и w есть компоненты относительно базисов e1 и e1: это те скаляры, с помощью которых они записываются как линейная комбинация своего базиса. Это соответственно числа 4 и 7 (в трехмерном пространстве, скажем, это были бы тройки чисел, по одному на каждое измерение, но мы смотрим на очень простой одномерный пример).
Меняем точку зрения
Можно представить все это как некую статическую картинку. Теперь мы меняем точку зрения: меняем базис R на другой, и смотрим, что происходит с базисами, векторами и их компонентами.
Возьмем новый базис, состоящий из вектора f1 = 5. Любой вектор можно выразить через него: например, 10 = 2*f1, или 4 = 4/5 * f1.
Как меняются выбранные нами объекты: базис, сопряженный базис, вектор, сопряженный вектор, изоморфизм - когда мы переходим от базиса e1 к базису f1?
Ну, как меняется базис, ясно: мы сами обозначили, как: от 1 к 5. Новый базис можно выразить через старый с помощью матрицы перехода А, в которой записано строка за строкой, как выразить каждый из векторов нового базиса через векторы старого. Если бы наше пространство было например трехмерным, то A было бы матрицей 3x3; а в нашем тривиальном случае A - матрица 1x1, т.е. просто число, а именно число 5; но мы все равно напишем его так: A = {5}, чтобы подчеркнуть, что в общем случае это матрица. Итак, f1 = A * e1 - так выглядит переход от старого базиса к новому.
Как меняется при переходе к новому базису вектор v = 4? А никак не меняется! Вектор - некий определенный член векторного пространства; то, что мы сменили базис пространства, никак не влияет на вектор, он каким был, таким и остался (если представить себе вектор точкой в пространстве, то разве точка меняется от того, что мы сменим систему координат на другую? нет - она остается где была - ее координаты могут измениться, но сама точка где была, там и осталась). Правда, теперь у него другие компоненты - он по-другому выражается через векторы базиса. Раньше было v = 4*e1, а теперь v = 4/5 * f1. Раньше единственной компонентой вектора была 4, а теперь - 4/5. Вектор же как был 4, так и остался.
(предыдущий абзац иллюстрирует разницу между традиционным физическим и математическим подходом к векторам. Математик скажет так, как написано выше: вектор - неизменный абстрактный объект, компоненты которого по отношению к базису зависят от выбора базиса. Физики часто предпочитают думать по-другому: для них вектор и есть набор компонент, т.е. вектором они называют то 4, то 4/5, в зависимости от базиса (а в трехмерном пространстве это будут тройки координат, а не одно число). Физик скажет: вектор это такое число, например 4, что если я изменю базис на новый, например с 1 на 5, то оно изменится соответствующим образом с 4 на 4/5, и станет новым числом. Для математика это звучит странно: для него вектор - это отдельный объект, который не меняется, меняются только его компоненты. Это два разных способа посмотреть на одно и то же)
Смотрите: мы сменили базис с 1 на 5, т.е. умножили его на 5 (на матрицу A = {5}). А компонента вектора v от этого изменилась в обратном направлении, с 4 на 4/5, уменьшилась в пять раз. Это логично: ведь их произведение должно остаться неизменным вектором v! Это изменение в обратном направлении можно представить как умножение на обратную матрицу A-1 = {1/5}. Поэтому вектор v (как и любой другой вектор пространства R) называют контравариантным, т.е. обратным (контра) по направлению варьирования. Мы изменили (варьировали) базис в одном направлении - умножили на 5, а компоненты вектора пришлось от этого изменить в обратном направлении - умножить на 1/5.
Теперь перейдем к сопряженному пространтву и посмотрим, что изменилось там. У нового базиса f1 есть свой сопряженный базис f1 - такой, что применяя функцию f1 к вектору f1 = 5, мы должны получить единицу. Понятно, что для этого функция f1 должна быть умножением на 1/5, т.е. f1 = 1/5*. Заметьте, что базис мы изменили в одну сторону, а сопряженный базис, соответственно, меняется в обратную.
У нас был вектор в сопряженном пространстве: w = 7* = 7*e1. Сам сопряженный вектор от смены базиса, конечно, никак не изменился, но как он выражается через новый базис сопряженного пространства? Чтобы получить 7* из 1/5*, нужно умножить на 35, так что w = 35*f1. Новая компонента вектора w равна 35 - в пять раз больше старой. Разница между тем, что происходило с вектором v, очень важна! Там компонента менялась против направления варьирования базиса, а здесь - по, в ту же сторону, умножая на матрицу A. Поэтому вектор w (и вообще любой сопряженный вектор) называется ковариантным - по направлению (ко-) варьирования.
Наконец, новый базис дает нам новый изоморфизм между пространствами R и R*: любой вектор a*f1 переходит в вектор a*f1. Равен ли этот новый изоморфизм Ff предыдущему изоморфизму Fe или отличается от него? Возьмем например вектор 10; он в новом базисе выражается как 2*f1; поэтому переходит теперь в сопряженный вектор 2*f1, и получается 2/5*, умножение на 2/5. Мы видим, что изоморфизм Ff совсем не совпадает с изоморфизмом Fe, иными словами, изоморфизм, который мы можем построить с помощью выбора базиса (и соответствующего ему сопряженного базиса), весьма сильно зависит от этого базиса. Это иллюстрирует тот факт, что между пространством и сопряженным пространством, вообще говоря, нет канонического (или еще говорят: естественного) изоморфизма. Вместе с тем, есть ситуации, когда существует естественный изоморфизм, который "напрашивается" на то, чтобы его выбрать (например, в нашем примере ясно, что проще всего выбрать изоморфизм, который переводит x в x*; но это всего лишь оттого, что пример очень простой).
Итак
Подытожим: у нас было пять объектов - базис e1, вектор v, сопряженный базис e1, сопряженный вектор w, изоморфизм Fe. При переходе от базиса e1 к базису f1 умножением на матрицу A, они изменились следующим образом: базис пространства умножился на A, базис сопряженного пространства умножился в обратную сторону на A-1, вектор v не изменился, но его компоненты умножились в обратную сторону на A-1 (он контравариантный вектор); вектор w не изменился, но его компоненты умножились в "прямую" сторону на A (он ковариантный вектор). Изоморфизм изменился на совсем другой.
Выше я отметил, что физики часто предпочитают представлять векторы как наборы их компонент, а не отдельные объекты. Точно так же они любят относиться к сопряженным векторам. Вообще физики часто предпочитают не говорить о сопряженном пространстве, а просто рассматривать наборы компонент, например (в нашем одномерном случае) 4 или 7, не задумываясь о том, что 4*e1 - вектор пространства R, а 7*e1 - вектор сопряженного пространства R*. Но если мы сменим базис пространства, что физикам часто приходится делать, то компоненты-то изменятся по-разному! 4 "превратится" в 4/5, а 7 в 35, например, как в примере выше. Поэтому физик называет 4 "контравариантным вектором" а 7 "ковариантным вектором", и определяет, что это значит, следующим образом: если мы изменим базис, то 4 трансформируется в обратную сторону, а 7 - в "прямую". Это опять-таки, другой способ посмотреть на то же самое.
На первый взгляд это выглядит немножко странным волшебством: отчего бы это одно число (4) менялось в одну сторону, а другое (7) - в другую? У математика и у физика есть разные ответы на этот вопрос. Для математика это просто совершенно разные вещи: 4 - компонента вектора в одном пространстве, 7 - в другом (сопряженном); ничего удивительного нет, что когда мы меняем базисы этих пространств, числа меняются по-разному. Для физика его определение оправдано опытом. Мы замеряем какую-то физическую величину (например, приложенную силу) вдоль оси x и получаем какое-то число; вдоль оси y - другое число. А теперь мы возьмем и замерим то же самое вдоль других осей x' и y', например, повернутых на 30 градусов по часовой стрелке, или еще каких. Мы получим два других числа каких-то; как они зависят от предыдущего замера? Иногда оказывается, что зависят в "ту же сторону", в какую мы закрутили оси, а иногда - в "обратном направлении". Физик скажет, что в первом случае то, что мы измеряли, было "ковариантным вектором", а во втором - "контравариантным вектором". Математик на это все посмотрит, содрогнется в ужасе, и построит красивую модель, в которой будет ясно видно, что в первом случае мы измеряли компоненты вектора из сопряженного пространства, а во втором - из первоначального.
Предупреждение
Размышления на этим примером в пространстве из одного измерения помогли мне лучше понять казавшиеся до того запутанными термины "ковариантный" и "контравариантный". Я не знаю, почему ни один учебник линейной алгебры, из тех, что мне попадались, не рассматривает этот тривиальный пример; по-моему, это упущение. Вместе с тем, надо отметить, что некоторые аспекты этих понятий в нем оказываются чуть более упрощенными, чем хотелось бы. Для еще лучшего понимания я советую проследить за тем, что происходит при смене базиса, в двухмерном пространстве R2: взять какую-то простую, но не тривиальную, матрицу перехода A и тщательно вычислить, как выглядит контравариантный переход "в обратную сторону".
Начнем с поля действительных чисел R и построим над ним векторное пространство размерностью 1. В таком тривиальном векторном пространстве каждый вектор можно идентифицировать с числом. Поэтому 4, например - одновременно скаляр и вектор; будем выделять вектор жирным шрифтом: 4. Все пространство можно тоже обозначить R.
В пространстве R возьмем базис, состоящий из одного вектора e1 = 1. Как обычно, каждый вектор может быть представлен в виде линейной комбинации скаляров с векторами базиса; например, 4 = 4*e1.
Зафиксируем также какой-нибудь вектор v; например, пусть будет та же четверка - v = 4.
Теперь рассмотрим двойственное (сопряженное) пространство к R. Элементами этого пространства R* являются линейные функционалы над R, т.е. линейные функции, ставящие в соответствие каждому вектору действительное число. Если f - такой функционал, и f(1) = a, то например f(10) = f(10*1) = 10*f(1) = 10*a. Поэтому каждый такой функционал - просто умножение на какое-то действительное a, и мы его обозначим "a*", например 5* - это функция f(x) = 5*x.
Пространство R* тоже имеет размерность 1, и у него есть базис, сопряженный к выбранному нами базису e1: это такое e1, что применяя его к e1, мы получаем единицу. Ясно, что e1 = 1*, умножение на 1.
Зафиксируем также какой-нибудь вектор w* в сопряженном пространстве; например, возьмем w = 7*. Ясно, что он выражается через базис e1 следующим образом: w = 7*e1.
И наконец, между пространствами R и R* есть изоморфизм, который можно построить с помощью выбранных базисов: вектору a*e1 ставим в соответствие сопряженный вектор a*e1. Тогда, например, 10 переходит в 10*. Обозначим этот изоморфизм через Fe (потому что он, как мы увидим, зависит от выбора базиса e).
До сих пор мы отобрали пять объектов: базис R (состоит из e1 = 1), вектор в R (v = 4 ), сопряженный базис R* (состоит из e1 = 1*), сопряженный вектор в R* (w = 7*), и изоморфизм Fe (x -> x*). Еще у векторов v и w есть компоненты относительно базисов e1 и e1: это те скаляры, с помощью которых они записываются как линейная комбинация своего базиса. Это соответственно числа 4 и 7 (в трехмерном пространстве, скажем, это были бы тройки чисел, по одному на каждое измерение, но мы смотрим на очень простой одномерный пример).
Меняем точку зрения
Можно представить все это как некую статическую картинку. Теперь мы меняем точку зрения: меняем базис R на другой, и смотрим, что происходит с базисами, векторами и их компонентами.
Возьмем новый базис, состоящий из вектора f1 = 5. Любой вектор можно выразить через него: например, 10 = 2*f1, или 4 = 4/5 * f1.
Как меняются выбранные нами объекты: базис, сопряженный базис, вектор, сопряженный вектор, изоморфизм - когда мы переходим от базиса e1 к базису f1?
Ну, как меняется базис, ясно: мы сами обозначили, как: от 1 к 5. Новый базис можно выразить через старый с помощью матрицы перехода А, в которой записано строка за строкой, как выразить каждый из векторов нового базиса через векторы старого. Если бы наше пространство было например трехмерным, то A было бы матрицей 3x3; а в нашем тривиальном случае A - матрица 1x1, т.е. просто число, а именно число 5; но мы все равно напишем его так: A = {5}, чтобы подчеркнуть, что в общем случае это матрица. Итак, f1 = A * e1 - так выглядит переход от старого базиса к новому.
Как меняется при переходе к новому базису вектор v = 4? А никак не меняется! Вектор - некий определенный член векторного пространства; то, что мы сменили базис пространства, никак не влияет на вектор, он каким был, таким и остался (если представить себе вектор точкой в пространстве, то разве точка меняется от того, что мы сменим систему координат на другую? нет - она остается где была - ее координаты могут измениться, но сама точка где была, там и осталась). Правда, теперь у него другие компоненты - он по-другому выражается через векторы базиса. Раньше было v = 4*e1, а теперь v = 4/5 * f1. Раньше единственной компонентой вектора была 4, а теперь - 4/5. Вектор же как был 4, так и остался.
(предыдущий абзац иллюстрирует разницу между традиционным физическим и математическим подходом к векторам. Математик скажет так, как написано выше: вектор - неизменный абстрактный объект, компоненты которого по отношению к базису зависят от выбора базиса. Физики часто предпочитают думать по-другому: для них вектор и есть набор компонент, т.е. вектором они называют то 4, то 4/5, в зависимости от базиса (а в трехмерном пространстве это будут тройки координат, а не одно число). Физик скажет: вектор это такое число, например 4, что если я изменю базис на новый, например с 1 на 5, то оно изменится соответствующим образом с 4 на 4/5, и станет новым числом. Для математика это звучит странно: для него вектор - это отдельный объект, который не меняется, меняются только его компоненты. Это два разных способа посмотреть на одно и то же)
Смотрите: мы сменили базис с 1 на 5, т.е. умножили его на 5 (на матрицу A = {5}). А компонента вектора v от этого изменилась в обратном направлении, с 4 на 4/5, уменьшилась в пять раз. Это логично: ведь их произведение должно остаться неизменным вектором v! Это изменение в обратном направлении можно представить как умножение на обратную матрицу A-1 = {1/5}. Поэтому вектор v (как и любой другой вектор пространства R) называют контравариантным, т.е. обратным (контра) по направлению варьирования. Мы изменили (варьировали) базис в одном направлении - умножили на 5, а компоненты вектора пришлось от этого изменить в обратном направлении - умножить на 1/5.
Теперь перейдем к сопряженному пространтву и посмотрим, что изменилось там. У нового базиса f1 есть свой сопряженный базис f1 - такой, что применяя функцию f1 к вектору f1 = 5, мы должны получить единицу. Понятно, что для этого функция f1 должна быть умножением на 1/5, т.е. f1 = 1/5*. Заметьте, что базис мы изменили в одну сторону, а сопряженный базис, соответственно, меняется в обратную.
У нас был вектор в сопряженном пространстве: w = 7* = 7*e1. Сам сопряженный вектор от смены базиса, конечно, никак не изменился, но как он выражается через новый базис сопряженного пространства? Чтобы получить 7* из 1/5*, нужно умножить на 35, так что w = 35*f1. Новая компонента вектора w равна 35 - в пять раз больше старой. Разница между тем, что происходило с вектором v, очень важна! Там компонента менялась против направления варьирования базиса, а здесь - по, в ту же сторону, умножая на матрицу A. Поэтому вектор w (и вообще любой сопряженный вектор) называется ковариантным - по направлению (ко-) варьирования.
Наконец, новый базис дает нам новый изоморфизм между пространствами R и R*: любой вектор a*f1 переходит в вектор a*f1. Равен ли этот новый изоморфизм Ff предыдущему изоморфизму Fe или отличается от него? Возьмем например вектор 10; он в новом базисе выражается как 2*f1; поэтому переходит теперь в сопряженный вектор 2*f1, и получается 2/5*, умножение на 2/5. Мы видим, что изоморфизм Ff совсем не совпадает с изоморфизмом Fe, иными словами, изоморфизм, который мы можем построить с помощью выбора базиса (и соответствующего ему сопряженного базиса), весьма сильно зависит от этого базиса. Это иллюстрирует тот факт, что между пространством и сопряженным пространством, вообще говоря, нет канонического (или еще говорят: естественного) изоморфизма. Вместе с тем, есть ситуации, когда существует естественный изоморфизм, который "напрашивается" на то, чтобы его выбрать (например, в нашем примере ясно, что проще всего выбрать изоморфизм, который переводит x в x*; но это всего лишь оттого, что пример очень простой).
Итак
Подытожим: у нас было пять объектов - базис e1, вектор v, сопряженный базис e1, сопряженный вектор w, изоморфизм Fe. При переходе от базиса e1 к базису f1 умножением на матрицу A, они изменились следующим образом: базис пространства умножился на A, базис сопряженного пространства умножился в обратную сторону на A-1, вектор v не изменился, но его компоненты умножились в обратную сторону на A-1 (он контравариантный вектор); вектор w не изменился, но его компоненты умножились в "прямую" сторону на A (он ковариантный вектор). Изоморфизм изменился на совсем другой.
Выше я отметил, что физики часто предпочитают представлять векторы как наборы их компонент, а не отдельные объекты. Точно так же они любят относиться к сопряженным векторам. Вообще физики часто предпочитают не говорить о сопряженном пространстве, а просто рассматривать наборы компонент, например (в нашем одномерном случае) 4 или 7, не задумываясь о том, что 4*e1 - вектор пространства R, а 7*e1 - вектор сопряженного пространства R*. Но если мы сменим базис пространства, что физикам часто приходится делать, то компоненты-то изменятся по-разному! 4 "превратится" в 4/5, а 7 в 35, например, как в примере выше. Поэтому физик называет 4 "контравариантным вектором" а 7 "ковариантным вектором", и определяет, что это значит, следующим образом: если мы изменим базис, то 4 трансформируется в обратную сторону, а 7 - в "прямую". Это опять-таки, другой способ посмотреть на то же самое.
На первый взгляд это выглядит немножко странным волшебством: отчего бы это одно число (4) менялось в одну сторону, а другое (7) - в другую? У математика и у физика есть разные ответы на этот вопрос. Для математика это просто совершенно разные вещи: 4 - компонента вектора в одном пространстве, 7 - в другом (сопряженном); ничего удивительного нет, что когда мы меняем базисы этих пространств, числа меняются по-разному. Для физика его определение оправдано опытом. Мы замеряем какую-то физическую величину (например, приложенную силу) вдоль оси x и получаем какое-то число; вдоль оси y - другое число. А теперь мы возьмем и замерим то же самое вдоль других осей x' и y', например, повернутых на 30 градусов по часовой стрелке, или еще каких. Мы получим два других числа каких-то; как они зависят от предыдущего замера? Иногда оказывается, что зависят в "ту же сторону", в какую мы закрутили оси, а иногда - в "обратном направлении". Физик скажет, что в первом случае то, что мы измеряли, было "ковариантным вектором", а во втором - "контравариантным вектором". Математик на это все посмотрит, содрогнется в ужасе, и построит красивую модель, в которой будет ясно видно, что в первом случае мы измеряли компоненты вектора из сопряженного пространства, а во втором - из первоначального.
Предупреждение
Размышления на этим примером в пространстве из одного измерения помогли мне лучше понять казавшиеся до того запутанными термины "ковариантный" и "контравариантный". Я не знаю, почему ни один учебник линейной алгебры, из тех, что мне попадались, не рассматривает этот тривиальный пример; по-моему, это упущение. Вместе с тем, надо отметить, что некоторые аспекты этих понятий в нем оказываются чуть более упрощенными, чем хотелось бы. Для еще лучшего понимания я советую проследить за тем, что происходит при смене базиса, в двухмерном пространстве R2: взять какую-то простую, но не тривиальную, матрицу перехода A и тщательно вычислить, как выглядит контравариантный переход "в обратную сторону".
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2008-08-20 01:48 pm (UTC)no subject
Date: 2008-08-20 01:53 pm (UTC)no subject
Date: 2008-08-20 01:57 pm (UTC)no subject
Date: 2008-08-20 02:24 pm (UTC)A -> B
A -> B <: C -> D
iff
A :> C и B <: D
(A -> B - функция из типа А в тип B, A <: B - А есть подтип B - для простоты можно представлять просто как множества значений, соотвествущих типов, а <: как включение множеств)
К тому же он естественный - проверяется он просто (достаточно порисовать соответствующие типам множества значений), и никакой простой интерпретиции, позволяющей тут уйти от разнонаправленности стрелочек вроде бы нет. Оно по жизни такое.
no subject
Date: 2008-08-20 02:26 pm (UTC)no subject
Date: 2008-08-20 02:40 pm (UTC)"Теперь перейдем к сопряженному пространтву и посмотрим, что изменилось там. У нового базиса f1 есть свой сопряженный базис f1 - такой, что применяя функцию f1 к вектору f1 = 5, мы должны получить единицу. Понятно, что для этого функция f1 должна быть умножением на 1/5, т.е. f1 = 1/5*. Заметьте, что базис мы изменили в одну сторону, а сопряженный базис, соответственно, меняется в обратную.
У нас был вектор в сопряженном пространстве: w = 7* = 7*e1. Сам сопряженный вектор от смены базиса, конечно, никак не изменился, но как он выражается через новый базис сопряженного пространства? Чтобы получить 7* из 1/5*, нужно умножить на 35, так что w = 35*f1. "
Если Вы ввели новый базис(f1 = 5e1) и новый(!) функционал ("f1 к вектору f1 = 5, мы должны получить единицу") - то получается новое(!) сопряженное пространство.
Если честно - я немного запутался в обозначениях - но если нарисовать все на бумажке - то фокусa с w = 35*f1 не получается.
no subject
Date: 2008-08-20 02:56 pm (UTC)Теперь давайте разбираться с базисами. Ключевое слово - "сопряженный базис". Вообще говоря, пространство R и сопряженное пространство R* - два разных векторных пространства, и мы могли бы выбирать в них базисы независимо друг от друга. Например, взять в одном базис 7, а в другом "умножение на 19". Никто не мешает это сделать.
Но оказывается, что заданному базису в R всегда можно сопоставить, и единственным образом, особенно удобный базис в R*, который называется сопряженным. Каждый член этого сопряженного базиса, будучи функционалом над R, обнуляет все вектора базиса в R, кроме одного, а его переводит ровно в 1. Это записывают обычно с помощью так называемой "дельты Кронекера" δi,j, которая равна 0, когда i не равно j, и 1, когда равно. Мы можем написать fi(fj) = δi,j, где с верхним индексом пишутся векторы сопряженного базиса, а с нижним - исходного. В случае с размерностью 1 есть только один вектор в каждом базисе, поэтому условие остается только одно - f1(f1) = 1.
Зачем так делают? Есть несколько причин, но самая важная - что так оказывается особенно легко описывать компоненты векторов и сопряженных векторов. Например, если вектор v = X*f1, то чему равна компонента X? Она равна в точности результату применения сопряженного вектора базиса f1 (как функционала) к v: потому что когда мы применяем f1 к X*f1, то вектора схлопываются в 1 по вышезаданному условию, и остается один коэффициент X. То же самое работает и во многих измерениях: если есть n измерений и n векторов базиса и n векторов сопряженного базиса, то каждый вектор v описывается набором из n координат по базису (x1*f1 + x2*f2+...), и каждую из этих координат, скажем x3, можно получить применением вектора сопряженного базиса f3 ко всему вектору v.
Если f1 - это вектор 5, то функционал, переводящий число 5 в единицу, это функционал "умножение на 1/5", и это и будет f1. А чтобы выразить функционал "умножение на 7" через функционал "умножение на 1/5", нужно умножить аж на 35 раз.
Так понятнее?
no subject
Date: 2008-08-20 03:11 pm (UTC)Или я чего не понял (возможно обозначений) или это не линейно (2^*(1)=1/2 \neq 2=2 1^*(1), т.е. 2^* \neq 2 1^*).
Вообще же выбор изоморфизма В с В^* это выбор (вырожденной) билинейной формы на В (то есть элемента В* tensor В*, это объяснять нужно наоборот: отображение В в В^* это элемент В* tensor В*, что по определению есть билинейная форма на В). Например Евклидова произведения (положительно определенной симметричной формы) или симплектической формы (анти-симметричной формы). В случае В=R, такая форма задается одним параметром - длиной какого-нибудь вектора (положительной или отрицательной), и вектор единичной (по модулю) длины дает выбор базиса (с точностью до +-1). Так что изоморфизма R->R* без выбора базиса (с точностью до +-1) не построишь.
no subject
Date: 2008-08-20 03:12 pm (UTC)no subject
Date: 2008-08-20 03:12 pm (UTC)кстати, я могу ошибаться, но необходимость различать ковариантные и контравариантные тензоры имеется только в космологии и физике высоких энергий, достаточно математизированных областей, так что некоторые их относят собственно к математике :). в обычных ситуациях "все вектора - контравариантные", такую классификацию просто не вводят: обычно, те самые индексы пишут всегда внизу, и градиент (наиболее часто возникающий ковариантный вектор) никак не выделяют.
вообще говоря, соответствие с прямыи и обратным пространством красивое, и я, кажется, действительно, его не встречал. хотя это может быть связано с физическим уклоном моего образования.
no subject
Date: 2008-08-20 03:28 pm (UTC)> только в космологии и физике высоких энергий
Скорее, в любой области физики, где возможна абстрактно-тензорная формулировка. Например, в тензорной записи уравнений Максвелла, или преобразований Лоренца в СТО, или теории упругости. Хотя все это можно, конечно, записывать и "по-простому", без тензоров.
no subject
Date: 2008-08-20 03:30 pm (UTC)но я согласна, что пример с одномерным пространством чуть слишком упрощенный. т.е. меня это даже путало.
no subject
Date: 2008-08-20 03:47 pm (UTC)___________________
> Математик скажет так, как написано выше: вектор -
> неизменный абстрактный объект, компоненты которого по
> отношению к базису зависят от выбора базиса. Физики
> часто предпочитают думать по-другому: для них вектор и
> есть набор компонент, т.е. вектором они называют то 4,
> то 4/5, в зависимости от базиса
Как занятно. Для меня вектор это, безусловно, набор компонент, но я так и не понял до сих пор, зачем нужны слова «при замене базиса он меняется таким-то образом» — ведь достаточно объяснить, как наборы компонент складывать и умножать их на склаяры, и получится естественное, с моей точки зрения, определение вектора. Получается, что я представляю векторы «как физик», но мне сложно завявить, что я физик, потому что я в физике ничего не понимаю.
Впрочем, ещё меньше я понимаю, зачем вообще нужны понятия ковариантности и контравариантности.
no subject
Date: 2008-08-20 03:51 pm (UTC)no subject
Date: 2008-08-20 03:56 pm (UTC)no subject
Date: 2008-08-20 04:19 pm (UTC)no subject
Date: 2008-08-20 07:49 pm (UTC)Кажется, вы залатали хорошую брешь в моем "образовании". Спасибо!
"левая, правая где сторона" (c)
Date: 2008-08-20 11:52 pm (UTC)Я, кстати, никогда даже не задумывался над происхождением "ко-" и "контра-" в данном контексте -- это было усвоено как-то "догматически".
Небольшая техническая поправка: если образ координатного вектора v (столбца) есть Av, то и матрица перехода пишется по принципу "столбец за столбцом".
В этом хотя и видится некая "противоестественность", но она вызвана отходом от более естественного стандарта уже в самой записи вида f(x) вместо (x)f, что особенно ярко проявляется при рассмотрении композиции отображений.
Лучше всего было бы, конечно, писать A по строкам, но действовать на вектор-строку справа, а не на вектор-столбец слева.
no subject
Date: 2008-08-21 05:49 am (UTC)Еще одно мелкое замечание по стилю:
может быть представлен в виде линейной комбинации скаляров с векторами базиса
Все же когда говорят о линейной комбинации, имеют в виду именно линейную комбинацию векторов (с некоторыми скалярными коэффициентами), но не линейную комбинацию скаляров с векторами.
По сути разобранного примера. Когда мне как-то раз пришлось читать курс линейной алгебры, я почти дословно разбирал такой (одномерный) пример со студентами и с удивлением убедился, что даже лучшие из них легко запутываются и понимание не достигается. Потом я понял в чем дело. Вот в Вашем рассуждении самое сложное для понимания место:
если представить себе вектор точкой в пространстве, то разве точка меняется от того, что мы сменим систему координат на другую? нет - она остается где была - ее координаты могут измениться, но сама точка где была, там и осталась
Вещественная же прямая обычно реализуется в сознании как жесткая линейка с делениями, на которой нет никаких «точек», инвариантных по отношению к замене базиса (мерного отрезка, единицы измерения). Кажется именно поэтому одномерный случай оказался плохим инструментом для объяснения сути ко/контрвариантности. Потом я то же самое объяснял на примере геометрического вектора-стрелки с длиной, измеряемой то в сантиметрах, то в метрах и понимание было достигнуто.
no subject
Date: 2008-08-21 07:34 am (UTC)порекомендуйте книжку, пожалуйста
Date: 2008-08-21 09:35 am (UTC)Про ОТО у Ландау, на мой взгляд, понятнее чем у Уолда, а про теорию упругости чего-то не интересно...
no subject
Date: 2008-08-21 09:37 am (UTC)Необходимость рассмотрения именно сопряженного базиса, а не просто любого базиса в сопряженном пространстве, не раскрыта. Т.е. нераскрыто, почему умножая базисную функцию на базисный вектор (в одномерных сопряженных пространствах) мы должны получить единицу.
no subject
Date: 2008-08-21 02:38 pm (UTC)Обратите внимание, что если не поддерживать связь "базис - сопряженный базис" между пространствами, то вообще нет возможности говорить о ковариантности сопряженных векторов, потому что - ну изменили мы базис исходного пространства, а в сопряженном вообще ничего не изменили, так там ничего и не изменится.
no subject
Date: 2008-08-21 05:51 pm (UTC)no subject
Date: 2008-08-29 07:14 pm (UTC)no subject
Date: 2008-12-09 10:57 am (UTC)апплодирую стоя!
гениальнейшее объяснение!
как возможный педагог, запомню этот метод преподнесения материала!
спасибо за пост!
no subject
Date: 2008-12-09 11:06 am (UTC)no subject
Date: 2008-12-09 12:29 pm (UTC)no subject
Date: 2008-12-09 12:51 pm (UTC)Самый простой способ получить такой скаляр - это просто применить w* к v - ведь сопряженные векторы именно это и делают, переводят векторы в скаляры. Так что самый простой тензор типа (1,1) выглядит так: T(w*, v) = w*(v). Очевидно, что здесь все линейно зависит как требуется.
Но он слишком прост. Например, если мы напишем w*(2*v), то тоже, очевидно, получим линейность от w* и v, так что это будет другой тензор типа (1,1). В общем случае мы всегда сможем сохранить линейность, вставив "что-нибудь линейное" в цепочку вычислений 'взяли v - применили w*': например только что мы вставили в нее линейную операцию "умножили на 2" посредине.
Обобщая, скажем, что мы вставляем посредине любую линейную трансформацию A:V->V, так что тензор теперь выглядит так:
T(w*, v) = w*(A(v)). Легко проверить, что все условия выполняются. Это и дает соответствие А -> Т_А между линейными трансформациями над V и тензорами типа (1,1). Надо еще проверить, что это соответствие 1-1 и сурьективно, но это легко. Например, если A!=A', то есть вектор v, на котором они расходятся, т.е. A(v) != A'(v), и тогда есть сопряженный вектор w*, который дает разные результаты, будучи примененным к разным векторам A(v) и A'(v), и тогда T_А(w*, v) != T_А'(w*, v), так что T_A != T_A'.
Наконец, сурьективность следует, например, из соображений размерности (у обоих пространств размерность n^2), подобно тому, как из тех же соображений доказывается V**=V для конечномерных пространств.
P.S. Вместо того, чтобы вставлять 'линейность' в цепочку со стороны v, т.е. линейную трансформацию A(v), можно вставить ее со стороны w: T(w*, v) = A*(w*) (v), где A* - линейная трансформация над пространством сопряженных векторов. Проверить, что это не дает ничего нового (равно как и возможность добавить 'и там и там') - легкое и полезное упражнение :)
no subject
Date: 2008-12-09 05:25 pm (UTC)писали про физиков и математиков. Ну вот у меня задание по мат.физике)
итак.. Задание в поиске тензора инерции. матрицу оператора я нашёл, чудным образом она совпала с тем что в книжках по физике называют ТЕНЗОРОМ ИНЕРЦИИ {a(i,j)}=q(i)*q(j)-sigma(i,j)*sum(q(j)^2,j=1..3),
где sigma(i,j) - символ кронекера, sum(q(j)^2,j=1..3) - суммирование по пробегающему индексу j.
и вот попытка найти "тензор" по получившейся матрице меня вгоняет в ступор, ибо судя по физ.книжкам это УЖЕ искомый тензор. Если воспользоваться отображением, которое Вы порекомендовали, то непонятно, что за вектор w* для этого брать, но ещё более непонятно, физический смысл полученного при умножении скаляра.
хотя если рассудить то A(w)=Jw=L.
где А - матрица тензора инерции,L - кинетический момент.
теперь если T(w*,A(w)), то как я понимаю получим Jw^2, т.е. кинетическую энергию. Тогда получается вообще бред - тензор инерции ровняется кинетической энергии.
P.S. получается, что под страшной записью T(w*,v) скрывается всего лишь скалярное произведение 2 векторов?
P.P.S. Простите, что пристаю к Вам, но сложившиеся жизненные ситуации принуждают.
no subject
Date: 2011-07-09 11:02 pm (UTC)Давайте будем интерпретировать выбор базиса в R как выбор единицы измерения какой-то физической величины — например, длины. Скажем, например, что вектор e — эталон метра. Тогда выражение 4 = 4e интерпретируется как «вектор 4 имеет длину 4 метра». Векторы из R получают размерность длины, а функционалы из R^* тогда естественно получают размерность обратной длины. Выбор двойственного базиса — это выбор индуцированной эталоном метра единицы обратной длины «обратный метр». А при замене базиса происходит не что иное, как изменение единицы измерения длины — скажем, теперь будем мерить длину в ярдах, а обратную длину, соответственно, — в обратных ярдах :-)
При таком подходе сразу становится понятно, что скорость должна быть вектором, поскольку при смене единицы измерения длины она ведёт себя подобно величине, имеющей размерность длины. А вот производная температуры по координате (градиент, как его понимают физики) имеет размерность, пропорциональную обратной длине, и поэтому будет ковектором.
(Извините за комментарий «в прошлое» — просто некоторое время назад я осознал, что мне нравится читать архив Вашего журнала, потому что многие написанные Вами вещи не теряют актуальности в принципе :-))
no subject
Date: 2011-07-09 11:08 pm (UTC)оффтоп
Date: 2011-07-09 11:26 pm (UTC)Re: оффтоп
Date: 2011-07-10 05:51 am (UTC)