![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaРисуем картинку
Начнем с поля действительных чисел R и построим над ним векторное пространство размерностью 1. В таком тривиальном векторном пространстве каждый вектор можно идентифицировать с числом. Поэтому 4, например - одновременно скаляр и вектор; будем выделять вектор жирным шрифтом: 4. Все пространство можно тоже обозначить R.
В пространстве R возьмем базис, состоящий из одного вектора e1 = 1. Как обычно, каждый вектор может быть представлен в виде линейной комбинации скаляров с векторами базиса; например, 4 = 4*e1.
Зафиксируем также какой-нибудь вектор v; например, пусть будет та же четверка - v = 4.
Теперь рассмотрим двойственное (сопряженное) пространство к R. Элементами этого пространства R* являются линейные функционалы над R, т.е. линейные функции, ставящие в соответствие каждому вектору действительное число. Если f - такой функционал, и f(1) = a, то например f(10) = f(10*1) = 10*f(1) = 10*a. Поэтому каждый такой функционал - просто умножение на какое-то действительное a, и мы его обозначим "a*", например 5* - это функция f(x) = 5*x.
Пространство R* тоже имеет размерность 1, и у него есть базис, сопряженный к выбранному нами базису e1: это такое e1, что применяя его к e1, мы получаем единицу. Ясно, что e1 = 1*, умножение на 1.
Зафиксируем также какой-нибудь вектор w* в сопряженном пространстве; например, возьмем w = 7*. Ясно, что он выражается через базис e1 следующим образом: w = 7*e1.
И наконец, между пространствами R и R* есть изоморфизм, который можно построить с помощью выбранных базисов: вектору a*e1 ставим в соответствие сопряженный вектор a*e1. Тогда, например, 10 переходит в 10*. Обозначим этот изоморфизм через Fe (потому что он, как мы увидим, зависит от выбора базиса e).
До сих пор мы отобрали пять объектов: базис R (состоит из e1 = 1), вектор в R (v = 4 ), сопряженный базис R* (состоит из e1 = 1*), сопряженный вектор в R* (w = 7*), и изоморфизм Fe (x -> x*). Еще у векторов v и w есть компоненты относительно базисов e1 и e1: это те скаляры, с помощью которых они записываются как линейная комбинация своего базиса. Это соответственно числа 4 и 7 (в трехмерном пространстве, скажем, это были бы тройки чисел, по одному на каждое измерение, но мы смотрим на очень простой одномерный пример).
Меняем точку зрения
Можно представить все это как некую статическую картинку. Теперь мы меняем точку зрения: меняем базис R на другой, и смотрим, что происходит с базисами, векторами и их компонентами.
Возьмем новый базис, состоящий из вектора f1 = 5. Любой вектор можно выразить через него: например, 10 = 2*f1, или 4 = 4/5 * f1.
Как меняются выбранные нами объекты: базис, сопряженный базис, вектор, сопряженный вектор, изоморфизм - когда мы переходим от базиса e1 к базису f1?
Ну, как меняется базис, ясно: мы сами обозначили, как: от 1 к 5. Новый базис можно выразить через старый с помощью матрицы перехода А, в которой записано строка за строкой, как выразить каждый из векторов нового базиса через векторы старого. Если бы наше пространство было например трехмерным, то A было бы матрицей 3x3; а в нашем тривиальном случае A - матрица 1x1, т.е. просто число, а именно число 5; но мы все равно напишем его так: A = {5}, чтобы подчеркнуть, что в общем случае это матрица. Итак, f1 = A * e1 - так выглядит переход от старого базиса к новому.
Как меняется при переходе к новому базису вектор v = 4? А никак не меняется! Вектор - некий определенный член векторного пространства; то, что мы сменили базис пространства, никак не влияет на вектор, он каким был, таким и остался (если представить себе вектор точкой в пространстве, то разве точка меняется от того, что мы сменим систему координат на другую? нет - она остается где была - ее координаты могут измениться, но сама точка где была, там и осталась). Правда, теперь у него другие компоненты - он по-другому выражается через векторы базиса. Раньше было v = 4*e1, а теперь v = 4/5 * f1. Раньше единственной компонентой вектора была 4, а теперь - 4/5. Вектор же как был 4, так и остался.
(предыдущий абзац иллюстрирует разницу между традиционным физическим и математическим подходом к векторам. Математик скажет так, как написано выше: вектор - неизменный абстрактный объект, компоненты которого по отношению к базису зависят от выбора базиса. Физики часто предпочитают думать по-другому: для них вектор и есть набор компонент, т.е. вектором они называют то 4, то 4/5, в зависимости от базиса (а в трехмерном пространстве это будут тройки координат, а не одно число). Физик скажет: вектор это такое число, например 4, что если я изменю базис на новый, например с 1 на 5, то оно изменится соответствующим образом с 4 на 4/5, и станет новым числом. Для математика это звучит странно: для него вектор - это отдельный объект, который не меняется, меняются только его компоненты. Это два разных способа посмотреть на одно и то же)
Смотрите: мы сменили базис с 1 на 5, т.е. умножили его на 5 (на матрицу A = {5}). А компонента вектора v от этого изменилась в обратном направлении, с 4 на 4/5, уменьшилась в пять раз. Это логично: ведь их произведение должно остаться неизменным вектором v! Это изменение в обратном направлении можно представить как умножение на обратную матрицу A-1 = {1/5}. Поэтому вектор v (как и любой другой вектор пространства R) называют контравариантным, т.е. обратным (контра) по направлению варьирования. Мы изменили (варьировали) базис в одном направлении - умножили на 5, а компоненты вектора пришлось от этого изменить в обратном направлении - умножить на 1/5.
Теперь перейдем к сопряженному пространтву и посмотрим, что изменилось там. У нового базиса f1 есть свой сопряженный базис f1 - такой, что применяя функцию f1 к вектору f1 = 5, мы должны получить единицу. Понятно, что для этого функция f1 должна быть умножением на 1/5, т.е. f1 = 1/5*. Заметьте, что базис мы изменили в одну сторону, а сопряженный базис, соответственно, меняется в обратную.
У нас был вектор в сопряженном пространстве: w = 7* = 7*e1. Сам сопряженный вектор от смены базиса, конечно, никак не изменился, но как он выражается через новый базис сопряженного пространства? Чтобы получить 7* из 1/5*, нужно умножить на 35, так что w = 35*f1. Новая компонента вектора w равна 35 - в пять раз больше старой. Разница между тем, что происходило с вектором v, очень важна! Там компонента менялась против направления варьирования базиса, а здесь - по, в ту же сторону, умножая на матрицу A. Поэтому вектор w (и вообще любой сопряженный вектор) называется ковариантным - по направлению (ко-) варьирования.
Наконец, новый базис дает нам новый изоморфизм между пространствами R и R*: любой вектор a*f1 переходит в вектор a*f1. Равен ли этот новый изоморфизм Ff предыдущему изоморфизму Fe или отличается от него? Возьмем например вектор 10; он в новом базисе выражается как 2*f1; поэтому переходит теперь в сопряженный вектор 2*f1, и получается 2/5*, умножение на 2/5. Мы видим, что изоморфизм Ff совсем не совпадает с изоморфизмом Fe, иными словами, изоморфизм, который мы можем построить с помощью выбора базиса (и соответствующего ему сопряженного базиса), весьма сильно зависит от этого базиса. Это иллюстрирует тот факт, что между пространством и сопряженным пространством, вообще говоря, нет канонического (или еще говорят: естественного) изоморфизма. Вместе с тем, есть ситуации, когда существует естественный изоморфизм, который "напрашивается" на то, чтобы его выбрать (например, в нашем примере ясно, что проще всего выбрать изоморфизм, который переводит x в x*; но это всего лишь оттого, что пример очень простой).
Итак
Подытожим: у нас было пять объектов - базис e1, вектор v, сопряженный базис e1, сопряженный вектор w, изоморфизм Fe. При переходе от базиса e1 к базису f1 умножением на матрицу A, они изменились следующим образом: базис пространства умножился на A, базис сопряженного пространства умножился в обратную сторону на A-1, вектор v не изменился, но его компоненты умножились в обратную сторону на A-1 (он контравариантный вектор); вектор w не изменился, но его компоненты умножились в "прямую" сторону на A (он ковариантный вектор). Изоморфизм изменился на совсем другой.
Выше я отметил, что физики часто предпочитают представлять векторы как наборы их компонент, а не отдельные объекты. Точно так же они любят относиться к сопряженным векторам. Вообще физики часто предпочитают не говорить о сопряженном пространстве, а просто рассматривать наборы компонент, например (в нашем одномерном случае) 4 или 7, не задумываясь о том, что 4*e1 - вектор пространства R, а 7*e1 - вектор сопряженного пространства R*. Но если мы сменим базис пространства, что физикам часто приходится делать, то компоненты-то изменятся по-разному! 4 "превратится" в 4/5, а 7 в 35, например, как в примере выше. Поэтому физик называет 4 "контравариантным вектором" а 7 "ковариантным вектором", и определяет, что это значит, следующим образом: если мы изменим базис, то 4 трансформируется в обратную сторону, а 7 - в "прямую". Это опять-таки, другой способ посмотреть на то же самое.
На первый взгляд это выглядит немножко странным волшебством: отчего бы это одно число (4) менялось в одну сторону, а другое (7) - в другую? У математика и у физика есть разные ответы на этот вопрос. Для математика это просто совершенно разные вещи: 4 - компонента вектора в одном пространстве, 7 - в другом (сопряженном); ничего удивительного нет, что когда мы меняем базисы этих пространств, числа меняются по-разному. Для физика его определение оправдано опытом. Мы замеряем какую-то физическую величину (например, приложенную силу) вдоль оси x и получаем какое-то число; вдоль оси y - другое число. А теперь мы возьмем и замерим то же самое вдоль других осей x' и y', например, повернутых на 30 градусов по часовой стрелке, или еще каких. Мы получим два других числа каких-то; как они зависят от предыдущего замера? Иногда оказывается, что зависят в "ту же сторону", в какую мы закрутили оси, а иногда - в "обратном направлении". Физик скажет, что в первом случае то, что мы измеряли, было "ковариантным вектором", а во втором - "контравариантным вектором". Математик на это все посмотрит, содрогнется в ужасе, и построит красивую модель, в которой будет ясно видно, что в первом случае мы измеряли компоненты вектора из сопряженного пространства, а во втором - из первоначального.
Предупреждение
Размышления на этим примером в пространстве из одного измерения помогли мне лучше понять казавшиеся до того запутанными термины "ковариантный" и "контравариантный". Я не знаю, почему ни один учебник линейной алгебры, из тех, что мне попадались, не рассматривает этот тривиальный пример; по-моему, это упущение. Вместе с тем, надо отметить, что некоторые аспекты этих понятий в нем оказываются чуть более упрощенными, чем хотелось бы. Для еще лучшего понимания я советую проследить за тем, что происходит при смене базиса, в двухмерном пространстве R2: взять какую-то простую, но не тривиальную, матрицу перехода A и тщательно вычислить, как выглядит контравариантный переход "в обратную сторону".
Начнем с поля действительных чисел R и построим над ним векторное пространство размерностью 1. В таком тривиальном векторном пространстве каждый вектор можно идентифицировать с числом. Поэтому 4, например - одновременно скаляр и вектор; будем выделять вектор жирным шрифтом: 4. Все пространство можно тоже обозначить R.
В пространстве R возьмем базис, состоящий из одного вектора e1 = 1. Как обычно, каждый вектор может быть представлен в виде линейной комбинации скаляров с векторами базиса; например, 4 = 4*e1.
Зафиксируем также какой-нибудь вектор v; например, пусть будет та же четверка - v = 4.
Теперь рассмотрим двойственное (сопряженное) пространство к R. Элементами этого пространства R* являются линейные функционалы над R, т.е. линейные функции, ставящие в соответствие каждому вектору действительное число. Если f - такой функционал, и f(1) = a, то например f(10) = f(10*1) = 10*f(1) = 10*a. Поэтому каждый такой функционал - просто умножение на какое-то действительное a, и мы его обозначим "a*", например 5* - это функция f(x) = 5*x.
Пространство R* тоже имеет размерность 1, и у него есть базис, сопряженный к выбранному нами базису e1: это такое e1, что применяя его к e1, мы получаем единицу. Ясно, что e1 = 1*, умножение на 1.
Зафиксируем также какой-нибудь вектор w* в сопряженном пространстве; например, возьмем w = 7*. Ясно, что он выражается через базис e1 следующим образом: w = 7*e1.
И наконец, между пространствами R и R* есть изоморфизм, который можно построить с помощью выбранных базисов: вектору a*e1 ставим в соответствие сопряженный вектор a*e1. Тогда, например, 10 переходит в 10*. Обозначим этот изоморфизм через Fe (потому что он, как мы увидим, зависит от выбора базиса e).
До сих пор мы отобрали пять объектов: базис R (состоит из e1 = 1), вектор в R (v = 4 ), сопряженный базис R* (состоит из e1 = 1*), сопряженный вектор в R* (w = 7*), и изоморфизм Fe (x -> x*). Еще у векторов v и w есть компоненты относительно базисов e1 и e1: это те скаляры, с помощью которых они записываются как линейная комбинация своего базиса. Это соответственно числа 4 и 7 (в трехмерном пространстве, скажем, это были бы тройки чисел, по одному на каждое измерение, но мы смотрим на очень простой одномерный пример).
Меняем точку зрения
Можно представить все это как некую статическую картинку. Теперь мы меняем точку зрения: меняем базис R на другой, и смотрим, что происходит с базисами, векторами и их компонентами.
Возьмем новый базис, состоящий из вектора f1 = 5. Любой вектор можно выразить через него: например, 10 = 2*f1, или 4 = 4/5 * f1.
Как меняются выбранные нами объекты: базис, сопряженный базис, вектор, сопряженный вектор, изоморфизм - когда мы переходим от базиса e1 к базису f1?
Ну, как меняется базис, ясно: мы сами обозначили, как: от 1 к 5. Новый базис можно выразить через старый с помощью матрицы перехода А, в которой записано строка за строкой, как выразить каждый из векторов нового базиса через векторы старого. Если бы наше пространство было например трехмерным, то A было бы матрицей 3x3; а в нашем тривиальном случае A - матрица 1x1, т.е. просто число, а именно число 5; но мы все равно напишем его так: A = {5}, чтобы подчеркнуть, что в общем случае это матрица. Итак, f1 = A * e1 - так выглядит переход от старого базиса к новому.
Как меняется при переходе к новому базису вектор v = 4? А никак не меняется! Вектор - некий определенный член векторного пространства; то, что мы сменили базис пространства, никак не влияет на вектор, он каким был, таким и остался (если представить себе вектор точкой в пространстве, то разве точка меняется от того, что мы сменим систему координат на другую? нет - она остается где была - ее координаты могут измениться, но сама точка где была, там и осталась). Правда, теперь у него другие компоненты - он по-другому выражается через векторы базиса. Раньше было v = 4*e1, а теперь v = 4/5 * f1. Раньше единственной компонентой вектора была 4, а теперь - 4/5. Вектор же как был 4, так и остался.
(предыдущий абзац иллюстрирует разницу между традиционным физическим и математическим подходом к векторам. Математик скажет так, как написано выше: вектор - неизменный абстрактный объект, компоненты которого по отношению к базису зависят от выбора базиса. Физики часто предпочитают думать по-другому: для них вектор и есть набор компонент, т.е. вектором они называют то 4, то 4/5, в зависимости от базиса (а в трехмерном пространстве это будут тройки координат, а не одно число). Физик скажет: вектор это такое число, например 4, что если я изменю базис на новый, например с 1 на 5, то оно изменится соответствующим образом с 4 на 4/5, и станет новым числом. Для математика это звучит странно: для него вектор - это отдельный объект, который не меняется, меняются только его компоненты. Это два разных способа посмотреть на одно и то же)
Смотрите: мы сменили базис с 1 на 5, т.е. умножили его на 5 (на матрицу A = {5}). А компонента вектора v от этого изменилась в обратном направлении, с 4 на 4/5, уменьшилась в пять раз. Это логично: ведь их произведение должно остаться неизменным вектором v! Это изменение в обратном направлении можно представить как умножение на обратную матрицу A-1 = {1/5}. Поэтому вектор v (как и любой другой вектор пространства R) называют контравариантным, т.е. обратным (контра) по направлению варьирования. Мы изменили (варьировали) базис в одном направлении - умножили на 5, а компоненты вектора пришлось от этого изменить в обратном направлении - умножить на 1/5.
Теперь перейдем к сопряженному пространтву и посмотрим, что изменилось там. У нового базиса f1 есть свой сопряженный базис f1 - такой, что применяя функцию f1 к вектору f1 = 5, мы должны получить единицу. Понятно, что для этого функция f1 должна быть умножением на 1/5, т.е. f1 = 1/5*. Заметьте, что базис мы изменили в одну сторону, а сопряженный базис, соответственно, меняется в обратную.
У нас был вектор в сопряженном пространстве: w = 7* = 7*e1. Сам сопряженный вектор от смены базиса, конечно, никак не изменился, но как он выражается через новый базис сопряженного пространства? Чтобы получить 7* из 1/5*, нужно умножить на 35, так что w = 35*f1. Новая компонента вектора w равна 35 - в пять раз больше старой. Разница между тем, что происходило с вектором v, очень важна! Там компонента менялась против направления варьирования базиса, а здесь - по, в ту же сторону, умножая на матрицу A. Поэтому вектор w (и вообще любой сопряженный вектор) называется ковариантным - по направлению (ко-) варьирования.
Наконец, новый базис дает нам новый изоморфизм между пространствами R и R*: любой вектор a*f1 переходит в вектор a*f1. Равен ли этот новый изоморфизм Ff предыдущему изоморфизму Fe или отличается от него? Возьмем например вектор 10; он в новом базисе выражается как 2*f1; поэтому переходит теперь в сопряженный вектор 2*f1, и получается 2/5*, умножение на 2/5. Мы видим, что изоморфизм Ff совсем не совпадает с изоморфизмом Fe, иными словами, изоморфизм, который мы можем построить с помощью выбора базиса (и соответствующего ему сопряженного базиса), весьма сильно зависит от этого базиса. Это иллюстрирует тот факт, что между пространством и сопряженным пространством, вообще говоря, нет канонического (или еще говорят: естественного) изоморфизма. Вместе с тем, есть ситуации, когда существует естественный изоморфизм, который "напрашивается" на то, чтобы его выбрать (например, в нашем примере ясно, что проще всего выбрать изоморфизм, который переводит x в x*; но это всего лишь оттого, что пример очень простой).
Итак
Подытожим: у нас было пять объектов - базис e1, вектор v, сопряженный базис e1, сопряженный вектор w, изоморфизм Fe. При переходе от базиса e1 к базису f1 умножением на матрицу A, они изменились следующим образом: базис пространства умножился на A, базис сопряженного пространства умножился в обратную сторону на A-1, вектор v не изменился, но его компоненты умножились в обратную сторону на A-1 (он контравариантный вектор); вектор w не изменился, но его компоненты умножились в "прямую" сторону на A (он ковариантный вектор). Изоморфизм изменился на совсем другой.
Выше я отметил, что физики часто предпочитают представлять векторы как наборы их компонент, а не отдельные объекты. Точно так же они любят относиться к сопряженным векторам. Вообще физики часто предпочитают не говорить о сопряженном пространстве, а просто рассматривать наборы компонент, например (в нашем одномерном случае) 4 или 7, не задумываясь о том, что 4*e1 - вектор пространства R, а 7*e1 - вектор сопряженного пространства R*. Но если мы сменим базис пространства, что физикам часто приходится делать, то компоненты-то изменятся по-разному! 4 "превратится" в 4/5, а 7 в 35, например, как в примере выше. Поэтому физик называет 4 "контравариантным вектором" а 7 "ковариантным вектором", и определяет, что это значит, следующим образом: если мы изменим базис, то 4 трансформируется в обратную сторону, а 7 - в "прямую". Это опять-таки, другой способ посмотреть на то же самое.
На первый взгляд это выглядит немножко странным волшебством: отчего бы это одно число (4) менялось в одну сторону, а другое (7) - в другую? У математика и у физика есть разные ответы на этот вопрос. Для математика это просто совершенно разные вещи: 4 - компонента вектора в одном пространстве, 7 - в другом (сопряженном); ничего удивительного нет, что когда мы меняем базисы этих пространств, числа меняются по-разному. Для физика его определение оправдано опытом. Мы замеряем какую-то физическую величину (например, приложенную силу) вдоль оси x и получаем какое-то число; вдоль оси y - другое число. А теперь мы возьмем и замерим то же самое вдоль других осей x' и y', например, повернутых на 30 градусов по часовой стрелке, или еще каких. Мы получим два других числа каких-то; как они зависят от предыдущего замера? Иногда оказывается, что зависят в "ту же сторону", в какую мы закрутили оси, а иногда - в "обратном направлении". Физик скажет, что в первом случае то, что мы измеряли, было "ковариантным вектором", а во втором - "контравариантным вектором". Математик на это все посмотрит, содрогнется в ужасе, и построит красивую модель, в которой будет ясно видно, что в первом случае мы измеряли компоненты вектора из сопряженного пространства, а во втором - из первоначального.
Предупреждение
Размышления на этим примером в пространстве из одного измерения помогли мне лучше понять казавшиеся до того запутанными термины "ковариантный" и "контравариантный". Я не знаю, почему ни один учебник линейной алгебры, из тех, что мне попадались, не рассматривает этот тривиальный пример; по-моему, это упущение. Вместе с тем, надо отметить, что некоторые аспекты этих понятий в нем оказываются чуть более упрощенными, чем хотелось бы. Для еще лучшего понимания я советую проследить за тем, что происходит при смене базиса, в двухмерном пространстве R2: взять какую-то простую, но не тривиальную, матрицу перехода A и тщательно вычислить, как выглядит контравариантный переход "в обратную сторону".
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2008-08-20 02:40 pm (UTC)"Теперь перейдем к сопряженному пространтву и посмотрим, что изменилось там. У нового базиса f1 есть свой сопряженный базис f1 - такой, что применяя функцию f1 к вектору f1 = 5, мы должны получить единицу. Понятно, что для этого функция f1 должна быть умножением на 1/5, т.е. f1 = 1/5*. Заметьте, что базис мы изменили в одну сторону, а сопряженный базис, соответственно, меняется в обратную.
У нас был вектор в сопряженном пространстве: w = 7* = 7*e1. Сам сопряженный вектор от смены базиса, конечно, никак не изменился, но как он выражается через новый базис сопряженного пространства? Чтобы получить 7* из 1/5*, нужно умножить на 35, так что w = 35*f1. "
Если Вы ввели новый базис(f1 = 5e1) и новый(!) функционал ("f1 к вектору f1 = 5, мы должны получить единицу") - то получается новое(!) сопряженное пространство.
Если честно - я немного запутался в обозначениях - но если нарисовать все на бумажке - то фокусa с w = 35*f1 не получается.
no subject
Date: 2008-08-20 02:56 pm (UTC)Теперь давайте разбираться с базисами. Ключевое слово - "сопряженный базис". Вообще говоря, пространство R и сопряженное пространство R* - два разных векторных пространства, и мы могли бы выбирать в них базисы независимо друг от друга. Например, взять в одном базис 7, а в другом "умножение на 19". Никто не мешает это сделать.
Но оказывается, что заданному базису в R всегда можно сопоставить, и единственным образом, особенно удобный базис в R*, который называется сопряженным. Каждый член этого сопряженного базиса, будучи функционалом над R, обнуляет все вектора базиса в R, кроме одного, а его переводит ровно в 1. Это записывают обычно с помощью так называемой "дельты Кронекера" δi,j, которая равна 0, когда i не равно j, и 1, когда равно. Мы можем написать fi(fj) = δi,j, где с верхним индексом пишутся векторы сопряженного базиса, а с нижним - исходного. В случае с размерностью 1 есть только один вектор в каждом базисе, поэтому условие остается только одно - f1(f1) = 1.
Зачем так делают? Есть несколько причин, но самая важная - что так оказывается особенно легко описывать компоненты векторов и сопряженных векторов. Например, если вектор v = X*f1, то чему равна компонента X? Она равна в точности результату применения сопряженного вектора базиса f1 (как функционала) к v: потому что когда мы применяем f1 к X*f1, то вектора схлопываются в 1 по вышезаданному условию, и остается один коэффициент X. То же самое работает и во многих измерениях: если есть n измерений и n векторов базиса и n векторов сопряженного базиса, то каждый вектор v описывается набором из n координат по базису (x1*f1 + x2*f2+...), и каждую из этих координат, скажем x3, можно получить применением вектора сопряженного базиса f3 ко всему вектору v.
Если f1 - это вектор 5, то функционал, переводящий число 5 в единицу, это функционал "умножение на 1/5", и это и будет f1. А чтобы выразить функционал "умножение на 7" через функционал "умножение на 1/5", нужно умножить аж на 35 раз.
Так понятнее?