avva | немного о графах (математическое)

(эта запись может быть интересна математикам и сочувствующим)

Вчера узнал красивый и одновремнно очень простой пример использования вероятностного метода в комбинаторике - настолько простой, что можно стоя на одной ноге рассказать, пожалуй.

Пусть G - граф; доминирующим называется такое подмножество вершин G, что любая вершина либо в нем, либо соседствует с кем-то, кто в нем. Например, в полном графе - где любые две вершины соединены - подмножество из любой одной вершины является доминирующим.

Интуитивно ясно, что в графе с очень высокой минимальной степенью d - из каждой вершины выходит не менее d ребер - должны существовать небольшие по размеру доминирующие множества - связей очень много, поэтому даже из небольшого множества будет можно добраться до всех за один шаг. Теорема: в графе из n вершин с минимальной степенью d есть доминирующее множество размером не больше n*(1+ln(d+1))/(d+1). При большом d это всего лишь малая часть n - например, при минимальной степени около 100 теорема говорит, что можно составить доминирующее множество из всего 5% вершин графа.

Доказательство. Построим случайное подмножество вершин Y следующим образом: каждая вершина попадает в Y с фиксированной вероятностью p (ее значение пока оставим открытым); выбор для каждой вершины независим от всех остальных. Y необязательно доминирующее множество, но если мы обозначим R(Y) все вершины, которые Y не доминирует, т.е. не находящиеся в Y и не связанные ребром с членами Y, то ясно, что объединение Y и R(Y) вместе - доминирующее множество. Предположим, мы доказали, что матожидание размера этого доминирующего множества меньше или равно X. Тогда хотя бы для одного возможного выбора членов Y размер доминирующего множества будет меньше или равен X (если бы во всех случаях был больше X, то и матожидание было бы больше); значит, мы доказали, что есть доминирующее множество размером не больше X. В этом и состоит - в данном случае - применение вероятностного метода.

Можно легко оценить матожидание случайной переменной "размер множества Y": E(|Y|). Ее значение - всего лишь количество исходов "попала в Y", каждый из которых имеет вероятность p, из n независимых экспериментов; матожидание поэтому E(|Y|) = n*p. Что касается R(Y), то каждая конкретная вершина x имеет вероятность (1-p)^(d(x)+1) попасть в R(Y), где d(x) - степень x: потому что для этого нужно, чтобы ни x, ни ее соседи не были выбраны в Y, а вероятность каждого такого непопадания равна 1-p. Значит, матожидание случайной переменной R(x) "x=1 если x попала в R(Y) и x=0 если нет" равно (1-p)^(d(x)+1) <= (1-p)^(d+1), ведь 1-p < 1 и d - минимальная степень среди всех вершин. Тогда (используя линейную аддитивность матожидания) матожидание размера R(Y) равно сумме R(x) по всем x в R(Y), что меньше или равно n * (1-p)^(d+1).

Матожидание размера доминирующего множества, состоящего из Y и R(Y), поэтому меньше или равно n*p + n*(1-p)^(d+1) = n*(p + (1-p)^(d+1)). Мы вольны выбрать p так, чтобы сделать выражение в скобках как можно меньшим; для крайних значений p=0,1 оно равно 1. Чтобы получить удобную формулу, воспользуемся неравенством 1-p <= e^(-p), верным всегда, и получим n(p + e^(-p(d+1))). Подставив сюда вероятность p = ln(d+1)/(d+1), мы получим во втором слагаемом e^(-ln(d+1)), т.е. 1/(d+1), и вместе с первым слагаемым получим, что матожидание размера доминирующего множества меньше или равно n(1+ln(d+1))/(d+1). Как уже было сказано выше, из этого прямо следует, что такое доминирующее множество, хотя бы одно, должно существовать, что и требовалось доказать.