![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
не смешно, зато
Dec. 14th, 2008 12:41 pmЕсть время разбрасывать камни,
и время разбрасывать камни.
и время разбрасывать камни.
Dec. 14th, 2008
об аксиомах и определениях
Dec. 14th, 2008 05:41 pmЭта запись может быть интересна тем, кого интересует математика.
(по мотивам беседы вчера с гостями Г. и Ш.)
Жаль, что в учебниках математики нет объяснений следующих двух видов:
1. Мотивация аксиом. Для чего нужна та или иная аксиома математической структуры? Что "не работало бы" без нее? Иногда это совсем очевидно, тогда, понятно, не нужно. Иногда, когда нужно, это есть, но редко. Пример, который мне иногда приходит в голову - начала линейной алгебры. Для определения векторного пространства над полем не нужна аксиома деления (в поле). Для чего же она нужна в линейной алгебре? В каком месте стандартные построения "не проходят", если мы имеем дело с кольцом и модулем над ним (т.е. нет деления), а не с полем и пространством над ним? В принципе можно это уловить во время изучения доказательства, но мне кажется, что было бы лучше, если бы тексты учебников привлекали к таким вещам внимание.
2. Мотивация определений. Это можно считать частью предыдущего пункта, но мне он кажется отдельным. Когда в определении используется та или иная уже известная структура - учебные тексты почти никогда не объясняют, почему эта, а не другая. В алгебраической топологии, когда определяется в самом начале гомотопия между отображениями - почему параметром служит отрезок действительной оси [0,1]? Что бы случилось, если бы мы попробовали взять параметром отрезок в Q, или диск в C, или p-адические числа? Почему именно R вторгается в этот до сих пор абстрактно-топологический мир, какие его свойства здесь необходимы? Или можно задать тот же вопрос в теории меры. Или выйти за пределы математики: в квантовой физике, что именно не работает, если мы попытаемся амплитуды брать не комплексными, а действительными, что ломается? Мне кажется, что объяснения такого рода помогли бы лучше понять суть определений и теорий.
(по мотивам беседы вчера с гостями Г. и Ш.)
Жаль, что в учебниках математики нет объяснений следующих двух видов:
1. Мотивация аксиом. Для чего нужна та или иная аксиома математической структуры? Что "не работало бы" без нее? Иногда это совсем очевидно, тогда, понятно, не нужно. Иногда, когда нужно, это есть, но редко. Пример, который мне иногда приходит в голову - начала линейной алгебры. Для определения векторного пространства над полем не нужна аксиома деления (в поле). Для чего же она нужна в линейной алгебре? В каком месте стандартные построения "не проходят", если мы имеем дело с кольцом и модулем над ним (т.е. нет деления), а не с полем и пространством над ним? В принципе можно это уловить во время изучения доказательства, но мне кажется, что было бы лучше, если бы тексты учебников привлекали к таким вещам внимание.
2. Мотивация определений. Это можно считать частью предыдущего пункта, но мне он кажется отдельным. Когда в определении используется та или иная уже известная структура - учебные тексты почти никогда не объясняют, почему эта, а не другая. В алгебраической топологии, когда определяется в самом начале гомотопия между отображениями - почему параметром служит отрезок действительной оси [0,1]? Что бы случилось, если бы мы попробовали взять параметром отрезок в Q, или диск в C, или p-адические числа? Почему именно R вторгается в этот до сих пор абстрактно-топологический мир, какие его свойства здесь необходимы? Или можно задать тот же вопрос в теории меры. Или выйти за пределы математики: в квантовой физике, что именно не работает, если мы попытаемся амплитуды брать не комплексными, а действительными, что ломается? Мне кажется, что объяснения такого рода помогли бы лучше понять суть определений и теорий.