об аксиомах и определениях

[avva]

Эта запись может быть интересна тем, кого интересует математика.

(по мотивам беседы вчера с гостями Г. и Ш.)

Жаль, что в учебниках математики нет объяснений следующих двух видов:

1. Мотивация аксиом. Для чего нужна та или иная аксиома математической структуры? Что "не работало бы" без нее? Иногда это совсем очевидно, тогда, понятно, не нужно. Иногда, когда нужно, это есть, но редко. Пример, который мне иногда приходит в голову - начала линейной алгебры. Для определения векторного пространства над полем не нужна аксиома деления (в поле). Для чего же она нужна в линейной алгебре? В каком месте стандартные построения "не проходят", если мы имеем дело с кольцом и модулем над ним (т.е. нет деления), а не с полем и пространством над ним? В принципе можно это уловить во время изучения доказательства, но мне кажется, что было бы лучше, если бы тексты учебников привлекали к таким вещам внимание.

2. Мотивация определений. Это можно считать частью предыдущего пункта, но мне он кажется отдельным. Когда в определении используется та или иная уже известная структура - учебные тексты почти никогда не объясняют, почему эта, а не другая. В алгебраической топологии, когда определяется в самом начале гомотопия между отображениями - почему параметром служит отрезок действительной оси [0,1]? Что бы случилось, если бы мы попробовали взять параметром отрезок в Q, или диск в C, или p-адические числа? Почему именно R вторгается в этот до сих пор абстрактно-топологический мир, какие его свойства здесь необходимы? Или можно задать тот же вопрос в теории меры. Или выйти за пределы математики: в квантовой физике, что именно не работает, если мы попытаемся амплитуды брать не комплексными, а действительными, что ломается? Мне кажется, что объяснения такого рода помогли бы лучше понять суть определений и теорий.

Comments

[teamachine.livejournal.com]

Думаю, этих обоснований не пишут с расчетом, что ученик сам неизбежно станет об этом размышлять, если он способен к науке. Я думаю, авторы учебников выделяют конструкционные соображения в более "высокий" слой понимания науки, который не всегда нужен студентам. Но те, кто способен к науке, все равно выйдут на него и будут задавать себе вопросы и искать на них ответы.

[deni-ok.livejournal.com]

Это, по-моему, очень правильное мнение. Идеальный учебник не должен все разжевывать, даже самое важное; он лишь должен максимально побуждать читающего к размышлениям.

В этом смысле, кстати, довольно хороша "Конкретная математика" Кнута et al. При всём её сумбуре это очень мотивирующая книжка.

[nine_k]

1. Разве способный к науке на станет размышлять дальше, если ему покажут, что полезно / увлекательно думать над последствиями отсутствия аксиом?
2. Разве учебники пишутся только для тех, кто увлечён математикой как центральным предметом изучения, а не инструментом для других целей?

[http://users.livejournal.com/_winnie/]

Я не согласный. Когда читал учебники, я часто "видел" логику того, как выбирается ход доказательства, почему epsilon берётся именно delta/(4N) и тп. Но не всегда, тогда это превращалось в тупую зубрёжку импликаций. Ну и зачем оно такое?

[crimean-lion.livejournal.com]

Мой опыт говорит, что большинство тех же студентов математического факультета вообще не понимают важности аксиом. Что уж о школьниках говорить.

[oblomov-jerusal.livejournal.com]

Гомотопию обычно неформально объясняют как плавное изменение функкции, в этом объяснении [0,1] появляется, как интервал времени.

[pussbigeyes.livejournal.com]

Гомотопия - непрерывная деформация. Едва ли параметр стоит интерпретировать как время: 0 и 1 - соответствуют начальному и конечному состояниям. Отрезок - непрерывный путь из начального состояния в конечное.

[ionial.livejournal.com]

Не должны учебники этого разъяснять.
В лучшем случае, это может быть в серии наводящих вопросов.
Учебник, это разъясняющий не нужен - те кому такое знание важно, додумаются и сами, а те кому нет - просто за...тся читать и возьмут учебник покороче.
С другой стороны, возможен вариант, как в пятитомнике Смирнова, где дополнительные штрихи, углубляющие понимание, идут мелким шрифтом и в конце параграфа.

[avva.livejournal.com]

Можно в конце параграфа, можно мелким шрифтом, можно как угодно. Главное, чтобы студенту, которые такие сведения помогут, они были доступны.

[ygam.livejournal.com]

Если в квантовой механике амплитуды будут действительными, то они выродятся в (квадратные корни) вероятностей. Про кватернионы что-то упоминалось в блоге Скотта Ааронсона.

[(Anonymous)]

Оба пункта кажутся следствием общей схемы преподавания (не только математики), под которую подстраивают учебники. В школе, а часто и в институте, всё подаётся как единственно возможный вариант, некий цельный и твёрдый монолит, "кусок знаний". У всех теорем даётся одно доказательство. В геометрии есть один набор аксиом. В общественных науках у всех вещей одно определение (хотя на самом деле там не редкость и 20 разных определений одной вещи). Вопрос "что будет, если эту аксиому убрать" и не может встать в рамках такого обучения. Им бы один набор аксиом "запихать" в учеников, и побольше, побольше теорем-результатов.

В итоге потом оказывается шоком, что даже в математике есть совершенно разные подходы к одним и тем же вещам (я уж не говорю о естественных или общественных науках). Что этот монолит - это на самом деле как детский конструктор. Наверно, для понимания такого и считают геометрию Лобачевского такой полезной для школьных факультативов по математике.

Наверно, такие жертвы приносятся из-за нехватки времени для нескольких подходов. Так весь курс втиснем в 450 стр. (или 1 семестр), а иначе пришлось бы 2 тома делать (3 семестра). Быстрое получение результатов теории считают куда важнее игры с её основаниями-деталями конструктора. 2 вещи теряются в этой спешке - 1) игра "что будет если я выйму эту деталь" - как вы описали в посте и 2) игра "как это построить из других деталей".

Очень близкая к этой проблема - предпочтение лекций (=показа монолита) практическим занятиям (=игре с конструктором). В книгах - это когда в книге с 800 стр. теорем нет ни одной задачи для читателя.

Ну и ещё, линейная алгебра часто читается на первом курсе, и это может плохо влиять на учебники - их делают попроще.

ключевые идеи

[falcao.livejournal.com]

Да, мне тоже кажется, что имеет место "гигантомания": авторы стараются "пропихнуть" как можно больше материала. Здесь вот в комментариях прозвучала часто повторяемая идея, что надо оставлять что-то для самостоятельного размышления. Мне кажется, это не совсем точно. Прежде всего, надо давать "базовые вещи" -- те, без которых никак не обойтись. Очень часто бывает, что если ключевые идеи усвоены, то доказательства сложных теорем оказываются "саморазворачивающимися". То есть их просто легко придумать самому, если идти по какому-то вполне "очевидному" пути. Ну, можно где-то сделать пару наводящих подсказок.

По поводу определений, я сейчас такой пример приведу. Я на лекциях всегда делаю такое разъяснение, прежде чем вводить формальные определения. Вот, скажем, понятия кольца и поля. Я начинаю с "дебильного" определения (явно оговаривая, что оно именно такое). Что "кольцо" -- это там, где можно складывать, вычитать и умножать, а поле -- где можно ещё и делить. Просто сами слова -- "незнакомые", и они могут вызывать любые ассоциации. Но если кто-то не знает вот таких "примитивных" толкований, то понятия явно не усвоены. А если знает, то дальше все определения развернуть очень легко. Для контроля, можно помнить количество "пунктов". Скажем, то, что у векторного пространства аксиом именно восемь.

Да, а вот по поводу того, где используется тот факт, что скаляры берутся именно из поля -- я на это сам обращал внимание. Ведь это только в одном месте, по сути дела, используется.

В том, что такие разъяснения желательно делать -- эта идея мне кажется разумной. Если есть ограничения на объём, то лучше пожертвовать какой-нибудь "именной" теоремой. А то ведь у нас как подходят? Выбросить "полиномы Лагерра"? Да что вы, никак не можно! Они же используются в изучении дифракции на жидких кристаллах! Студенты останутся невеждами. А "свойства бесселевых функций III рода"? Это же нужнейшая вещь, без неё просто никуда. Там у них ведь 13 свойств, все они исключительно важны, и их надо заучить наизусть, и потом отрапортовать на экзамене в точности в таком же порядке, как у великого Фихтенгольца! :)

[roma.livejournal.com]

тема интересная, но мне кажется сам твой текст иллюстрирует почему такого рода объяснения встречаются редко. Для человека с алгебраическим багажом вопрос что будет, если убрать деление,
представляется естественным и ответ на него -- проясняющим. А студента, впервые видящего линейную алгебру, волнуют совсем другие вопросы. Это такая типичная ошибка начинающего преподавателя (во всяком случае я ее точно неоднократно совершал) -- хочется поделиться видением того "о чем тут речь на самом деле", например через пояснения навроде тех, о которых ты пишешь. А это видение естественно для преподавателя с его совсем другой перспективой, и оно не "на самом деле", оно одно из возможных, обычно материал, о котором идет речь там в background'е (и соответственно виден не так уж четко), а в фокусе вещи, которые этим студентам скорей всего вообще никогда не пригодятся.
Приходят в голову разные метафоры, лень их все разворачивать -- например, что когда учишь ребенка говорить не сообщаешь ему как это на других языках и прочие интересные тебе взрослому побочные сведения. И что как ребенок -- не недоделанный взрослый, так и студент линейной алгебры -- не недоделанный алгебраист, в том смысле, что есть вещи интересные человеку впервые видящему матрицы, и это совсем не те вещи, которые интересны алгебраисту, думающему про линейную алгебру (учебник Кострикина, Манина начинается с моей любимой цитаты: "На всякую вещь можно смотреть с разных точек зрения. Предмет этой книги не исключение.") И что как про стихотворение или музыкальное произведение нельзя нельзя полностью описать словами "о чем оно", так и для системы аксиом/определения часто нет способа раскрыть ее суть иначе чем через опыт обращения с ней.
Хотя надо пытаться! :)

[snusmumrikkk.livejournal.com]

Я как студент второго курса очень даже испытываю четкую потребность в объяснении именно background'а изучаемых вещей (впрочем, не могу ручаться за других студентов). Какие вопросы побудили создать некую теорему/объект, почему такая формулировка лучше, чем другая, попроще и т.д. Линейная алгебра на первом курсе из-за отсутствия глубокого разъяснения что происходит, а главное — зачем, превращается в заклинания, которые надо применить к условию и получить ответ, а затем зачет.

Некоторые студенты (и даже преподаватели) считают математику «мясорубкой», в которую заправляют условие, применяют алгоритм и получают ответ. А путь к созданию этой мясорубки так и остается неясным.

[rwalk.livejournal.com]

Пока собрался написать, накидали Вам уже комментов. Дело же, на мой взгляд, даже не столько в учебниках. Аналогичная проблема возникает и в исследовательской математике. Очень часто существует некоторый набор стандартных "заклинаний", которые гарантируют "хорошесть" ситуации, причем о том, что произойдет, если эти предположения не выполнены, люди (активные математики, а не студенты), как правило, не задумываются. Нельзя объять необъятное, и поэтому существенную роль в правильном подходе к исследовательской проблемe играет выбор "точек фокусировки". То, что является дремучей экзотикой для одной точки зрения, может при смене фокуса стать самым насущным и естественным вопросом.

Что же касается Вашего вопроса, то, действительно, иногда (довольно редко и, как правило, в монографиях, а не в учебниках) основной текст сопровождается расширенными примечаниями, в которых упомянутые Вами вещи и обсуждаются. Но такой анализ остается обычно все-таки достоянием специалистов. Причин тут несколько. Во-первых, для содержательного объяснения подобных различий нужна, как правило, куда более основательная "общекультурная" база, чем то, что доступно к моменту введения определений. Кроме того, создание неформального понимания соответствующих структур часто представляется более важным, чем обсуждение "технических формальностей" или совсем уж дремучей экзотики. Но все это очень лично и экспертно. Я, например, считаю, что обсуждение всевоможных патологий, связанных с неотделимостью или несепарабельностью, не является столь обязательным при определении понятия многообразия (хотя это и часто встречается в учебниках). С другой стороны, раз уж Вы помянули теорию меры: я не знаю учебников по вероятности, в которых бы достаточно подробно обсуждался (или хотя бы упоминался) конечно аддитивный мир.

[buddha239.livejournal.com]

Да, активные математики не всегда любопытны.:)

[cema.livejournal.com]

Странно, что в комментариях многие поддерживают текущее положение дел, так сказать. Отсутствие "мотивации", да и вообще метаизложения, в учебниках математики мне всегда казалось недостатком. (Конечно, я никогда не был математиком, а только учеником математических дисциплин, но вокруг меня математиков всегда было предостаточно.) Учебники, как правило, предлагают науку в стиле "вот как это сделано", а не в стиле "вот как это делается", т.е. изложение результатов, а не процесса их получения.

[http://users.livejournal.com/korvin_/]

по-моему, это происходит из-за перекоса в сторону всяких "непрерывных" дисциплин - матан и прочие анализы, диффуры
а вот матлогика, теория доказательств обычно либо спецкурсом, либо очень ограниченно
а матлогика как раз и объясняет на как все это устроено - на метауровне

[alsterellie.livejournal.com]

Да-да, именно это меня расстраивает в учебниках математики. Легче всего читать учебники, в которых даётся и историческая часть предмета, — так иногда можно реконструировать, почему именно эти аксиомы взяты за основу, например.

[alsterellie.livejournal.com]

Здесь некоторые говорят о том, что такое положение дел объясняется обилием материала, который преподавателю нужно втиснуть в одну лекцию. Но это не объясняет отсутствия учебников с хорошей мотивацией вводимых понятий.

[posic.livejournal.com]

Так понятно же, что у модуля над кольцом базиса может и не быть. Взять хоть модуль Z/nZ над кольцом Z.

А абстрактно-топологический мир -- это теоретико-множественная топология. В алгебраической же топологии рассматриваются пространства, склеенные из клеток, гомеоморфных шарам в аффинных вещественных пространствах (там и другие пространства рассматриваются, но типичные --- и в известном смысле исчерпывающие -- примеры таковы). Где-то поблизости от определения гомотопии должно быть определение CW-комплекса. В контексте таких пространств, выбор отрезка [0,1] вполне естественен.

Ну, и потом это очень легкое упражнение -- понять, что будет, если заменить отрезок на любое из пространств, которое вы предлагаете. Например, если в пространсте параметров точки 0 и 1 принадлежат разным связным компонентам, то "гомотопию" с такими параметрами можно построить между любыми двумя отображениями. А если взять диск в C, получится определение, эквивалентное стандартному.

Квантовую физику я, конечно, не знаю, но как мне вспоминается, в уравнении Шредингера фигурирует экспонента от корня из минус единицы помноженного на самосопряженный оператор. Вряд ли это имеет смысл в вещественном гильбертовом пространстве.

Комплексно-значные меры и даже меры со значениями в банаховых пространствах вполне себе рассматриваются, а p-адически-значные -- не знаю. Можно было бы для начала попробовать придумать пример такой меры.

Вопрос, конечно, упирается в то, на кого рассчитан учебник. Но вообще говоря, почему бы читателю, которого занимают такие вопросы, не поразмыслить над ними самостоятельно? Я, помнится, лет в 10-11 ожесточенно пытался упорядочить поле комплексных чисел, хотя мне и говорили родители, что это невозможно.

[avva.livejournal.com]

Так понятно же, что у модуля над кольцом базиса может и не быть. Взять хоть модуль Z/nZ над кольцом Z.

Вспомним, что студент (даже математик), изучающий линейную алгебру, еще обычно не имеет ни малейшего понятия о том, что такое модуль и кольцо (возможно, в России это не так? Я смутно помню что-то о том, что стандартный западный порядок изучения не универсален). Я, по сути дела, "прошу" совсем немногого - даже не объяснять ему на этой стадии про свободные и несвободные модуля, а всего лишь указать, при обсуждении существования базиса, что аксиома о делении используется здесь существенным образом, и без нее доказательство не работает. Студенты, которых такие вещи не волнуют, просто пропустят это мимо ушей, ну и ладно.

Кстати, я специально выбрал пример потривиальнее, с делением. Можно чуть посложнее, хоть все еще и тривиально, и у меня уже нет наготове очевидного ответа: где становится по-настоящему важной коммутативность поля в линейной алгебре? Понятно, что можно подумать и разобраться. Но я не понимаю, почему бы хорошему учебнику по линейной алгебре не сообщить мне этот факт во время изучения соответствующих результатов, между прочим. Много слов не отберет.

Где-то поблизости от определения гомотопии должно быть определение CW-комплекса. В контексте таких пространств, выбор отрезка [0,1] вполне естественен.

Я бы сказал, естественен выбор отрезка для параметризации кривых в определении фундаментальной группы, но необязательно выбор отрезка для параметризации времени при определении гомотопии вообще - это представляется как бы "другим измерением", неформально говоря.

И самое главное. "Почему бы не поразмыслить самостоятельно?" Да, конечно, это лучше всего. Но почему бы не подтолкнуть ученика к такого рода размышлениям? В э
том, собственное, главная польза того, что я предлагаю.

[a1argus.livejournal.com]

Убеждён, что именно так и надо преподавать математику и другие сложные дисциплины, даже не только технические. Человек приспособлен хорошо воспринимать истории как некие повествования с внутренней логикой развития и сюжетом. Иногда они в науках присутствуют естественным образом и намертво въедаются в память студентов. Если же таковых нет, то их стоит придумать.

Я давно обдумываю метод изложения, который условно назвал "Реконструкция изобретения". Это как бы рассказ от том, как та или иная теория была создана с нуля. А штука в том, что это совсем не обязательно должна быть историческая правда. Это должна быть максимально релевантная (целям обучения) и запоминающаяся история. Вещь на стыке худлита и сухого институтского учебника. В какой пропорции, пока непонятно, возможно, любые пропорции окажутся полезны.

Вообще, с этим подходом видятся 2 основные проблемы.
1) Нужны образцы стиля. Как только появится хотя бы 2-3 блестящих книги в этом жанре, сразу станет проще создавать новые. Пока же очень сложно понять, что будет работать, а что нет, что надо безжалостно выбрасывать, а о чём говорить подробно.
2) Автор должен блестяще разбираться в предмете, видеть его с разных точек зрения. Чувствовать его красоту и уметь её выразить. В принципе это сокращает круг кандидатур.

Возможно я изобретаю велосипед и такие книги уже есть, если да, подскажите.

[teamachine.livejournal.com]

По математике таких книг я не видал, но встречал нечто подобное в книгах Страуструпа по C++. Другие авторы обычно дают синтаксис декларативно, не объясняя то или иное правило. Но Страуструп все эти тонкости объясняет, и становится ясно, что правила не надуманные или случайные, в результате они воспринимаются и запоминаются лучше. Плюс такие объяснения формируют конструктивное мышление: когда не понятно, как делать в той или иной ситуации, то применив данный автором принцип, находишь ответ.

[(Anonymous)]

"Жаль, что в учебниках математики нет объяснений следующих двух видов"

That's a completely different subject, that's why.

[avva.livejournal.com]

Не понимаю, почему. По-моему, это не так.

[ajawa-took.livejournal.com]

В хороших учебниках такие вещи откладывают в упраженния. Злые преподаватели предлагают доказать что-нибудь недодавая гипотез: как я мучилась, пытаясь построить field of fractions of a non-commutative ring!

Для вопроса о векторных пространствах совсем не нужно понятий "кольцо" или "модуль" - достаточно спросить, какую бяку можно сделать над целыми числами. Правда, вряд ли средний студент первого курса (тем более инженер, которых в линейке гораздо больше, чем математиков) сам предложит Z/nZ; скорее всего, он Z/nZ никогда не видел. Но можно придумать пример с матрицами.

[avva.livejournal.com]

Да даже просто указать, когда доказываешь существование базиса, что вот этот шаг в доказательстве мы можем выполнить только потому, что можем делить, и без этого не обойтись - просто привлечь внимание к этому - уже было бы хорошо.

[ppetya.livejournal.com]

Линейная алгебра - синтетическая дисциплина. Лет 120 назад ее не было. Скажем, рассказывают, жорданова нормальная форма долгое время входила в курс дифференциальных уравнений. Идея линейности тоже, отчасти, восходит к Ньютону. Это, конечно, небольшая часть истории. Часто вся эта история (содержащая важнейшие примеры!) опускается при аксиоматическом изложении.

Мотивация определений тоже лежит в примерах, в постановке вопросов. "Почему именно R вторгается в этот до сих пор абстрактно-топологический мир, какие его свойства здесь необходимы?" - да потому что этот "абстрактно-топологический мир" не самозародился, и потому не такой уж он абстрактный.

[avva.livejournal.com]

Первый твой абзац я не очень понял. А какие дисциплины были 120 лет назад, что сейчас есть? Топологии не было, она тоже синтетическая? Геометрия была, но то, что называли геометрией тогда и то, что под этим названием изучают теперь...

Со вторым абзацем я совершенно согласен; но в изложении учебников это ведь выглядит совсем не так (возьми любой учебник алг. топологии). Простота и логическая стройность теоретико-множественной топологии завораживает, и потому всегда есть соблазн начать именно с нее. Абстрактное пространство, еще одно, две непрерывные функции между ними, назовем их гомотопными если существует... бац! R? откуда R? что R? почему именно R? Тебе не кажется, что это удивление вполне естественно, а отсутствие ответа на него - неестественно?

[frenky-bob.livejournal.com]

вот кстати по линейной алгебре у нас был преподаватель разрешающий пользоваться любой литературой на экзамене и вопрос о том, "а что если это так?" или "а для чего необходимо это условие?" или прочее как раз был вопрос о понимании предмета.

Хотя лично мне было бы конечно гораздо легче воспронимать информацию если в начале говорилось пусть функция f обладает свойствами такими-то и такими в скобочках - "гладкая", например и определена в пространстве которое такое-то и такое-то в скобочках - "например R3" и потом в доказательстве при очередном умозаключении была бы ссылка на оговорённое в "дано" свойство.

Это конечно бы освободило мысли на расширение или модификацию например теоремы например, взамен мыслям а зачем дано то или иное условие и где оно использовалось.

[nikaan.livejournal.com]

Скорее, об этом надо на экзаменах спрашивать. тогда все будут сами при подготовке задавать себе такие вопросы - что гораздо ценнее.

[(Anonymous)]

Обратите внимание на 20-ти томный курс математики Валерия Босса. Ничего подобного, насколько мне известно, до сих пор не появлялось.
Вот характерная цитата из 1-го тома "Анализ"

10.1. О загадке комплексных чисел
Попытки задуматься о подноготной комплексных чисел (КЧ) из-
извлекают на свет мысли типа «чушь, мистика». Однако первый позыв
«перечеркнуть и забыть» быстро проходит, поскольку выясняется,
что вещь все-таки удобная. КЧ резко упрощают теорию колеба-
колебаний, электричество... Законы волновой оптики странным образом
оказываются согласованы с правилами умножения комплексных
чисел. Потом вдруг обнаруживается, что изучение линейных диф-
дифференциальных уравнений без КЧ вообще невозможно. Постепен-
Постепенно становится ясно, что это не просто удобная вещь, а невероятно
удобная. Дальше — больше. Получается, без комплексных чисел
никуда нет ходу. Даже в теорию вероятностей. Даже в теорию
чисел. Хотя, казалось бы...
Тогда размышления устремляются в другое русло. В чем при-
причина? Почему добавление к колебанию фиктивной мнимой части
сразу все упрощает? Почему, чтобы найти радиус сходимости ряда
а0 + а1*х + а2*х^2 + ...
для вещественного ж, надо изучать поведение ряда в комплексной
плоскости (причем иначе — невозможно)? Откуда у вспомога-
вспомогательного инструмента такая колоссальная мощь и проникающая
способность? Вот в чем источник подозрения, что какая-то косми-
космическая тайна стоит за кадром.
Сегодня на все эти вопросы есть простые и ясные ответы, кото-
которые начали созревать и оформляться относительно недавно — в де-
девятнадцатом веке.
...