об аксиомах и определениях

[avva]

Эта запись может быть интересна тем, кого интересует математика.

(по мотивам беседы вчера с гостями Г. и Ш.)

Жаль, что в учебниках математики нет объяснений следующих двух видов:

1. Мотивация аксиом. Для чего нужна та или иная аксиома математической структуры? Что "не работало бы" без нее? Иногда это совсем очевидно, тогда, понятно, не нужно. Иногда, когда нужно, это есть, но редко. Пример, который мне иногда приходит в голову - начала линейной алгебры. Для определения векторного пространства над полем не нужна аксиома деления (в поле). Для чего же она нужна в линейной алгебре? В каком месте стандартные построения "не проходят", если мы имеем дело с кольцом и модулем над ним (т.е. нет деления), а не с полем и пространством над ним? В принципе можно это уловить во время изучения доказательства, но мне кажется, что было бы лучше, если бы тексты учебников привлекали к таким вещам внимание.

2. Мотивация определений. Это можно считать частью предыдущего пункта, но мне он кажется отдельным. Когда в определении используется та или иная уже известная структура - учебные тексты почти никогда не объясняют, почему эта, а не другая. В алгебраической топологии, когда определяется в самом начале гомотопия между отображениями - почему параметром служит отрезок действительной оси [0,1]? Что бы случилось, если бы мы попробовали взять параметром отрезок в Q, или диск в C, или p-адические числа? Почему именно R вторгается в этот до сих пор абстрактно-топологический мир, какие его свойства здесь необходимы? Или можно задать тот же вопрос в теории меры. Или выйти за пределы математики: в квантовой физике, что именно не работает, если мы попытаемся амплитуды брать не комплексными, а действительными, что ломается? Мне кажется, что объяснения такого рода помогли бы лучше понять суть определений и теорий.

Comments

[rwalk.livejournal.com]

Пока собрался написать, накидали Вам уже комментов. Дело же, на мой взгляд, даже не столько в учебниках. Аналогичная проблема возникает и в исследовательской математике. Очень часто существует некоторый набор стандартных "заклинаний", которые гарантируют "хорошесть" ситуации, причем о том, что произойдет, если эти предположения не выполнены, люди (активные математики, а не студенты), как правило, не задумываются. Нельзя объять необъятное, и поэтому существенную роль в правильном подходе к исследовательской проблемe играет выбор "точек фокусировки". То, что является дремучей экзотикой для одной точки зрения, может при смене фокуса стать самым насущным и естественным вопросом.

Что же касается Вашего вопроса, то, действительно, иногда (довольно редко и, как правило, в монографиях, а не в учебниках) основной текст сопровождается расширенными примечаниями, в которых упомянутые Вами вещи и обсуждаются. Но такой анализ остается обычно все-таки достоянием специалистов. Причин тут несколько. Во-первых, для содержательного объяснения подобных различий нужна, как правило, куда более основательная "общекультурная" база, чем то, что доступно к моменту введения определений. Кроме того, создание неформального понимания соответствующих структур часто представляется более важным, чем обсуждение "технических формальностей" или совсем уж дремучей экзотики. Но все это очень лично и экспертно. Я, например, считаю, что обсуждение всевоможных патологий, связанных с неотделимостью или несепарабельностью, не является столь обязательным при определении понятия многообразия (хотя это и часто встречается в учебниках). С другой стороны, раз уж Вы помянули теорию меры: я не знаю учебников по вероятности, в которых бы достаточно подробно обсуждался (или хотя бы упоминался) конечно аддитивный мир.

[buddha239.livejournal.com]

Да, активные математики не всегда любопытны.:)