о литрах, людях и умножении

Об этой истории уже написаны десятки записей и тысячи комментариев, и я не собирался к ним ничего добавлять, но пришло в голову несколько соображений, которые вроде бы в других местах не видел (хотя все тысячи комментариев не читал), и решил поделиться.

История в двух словах для тех, кто не слышал: выложили, как учитель поставил тройку за "неправильный" порядок множителей. В задаче "Фермер продал 9 покупателям по 2л. молока, сколько всего молока он продал?" школьница написала 9*2=18, а учитель перечеркнул, написал, что надо 2*9=18, и поставил тройку.

В комментариях, которых тысячи, мнения разделились на тех, кто возмущается идиотизмом учителя, и тех, кто неожиданно его защищает, и говорит, что если два литра умножить на девять человек, то в ответе будет 18 литров, как надо, а если девять человек на два литра, то в ответе будет 18 человек. В поддержку этой теории обнаружились цитаты из учебников арифметики и методичек; в свою очередь те, кто возмущаются этой оценкой, распостраняют это возмущение также на эти цитаты и их защитников.

Впрочем, есть более сильный аргумент "за учителя", и правильным будет его привести, не ограничиваясь довольно дурацким (на мой взгляд) аргументом, описанным выше. Более сильный аргумент состоит в том, что для того, чтобы дети как следует поняли смысл умножения и его связь с сложением, полезно заставить их заучить фиксированный порядок множителей: 2*9 это 2+2+2... девять раз, а ни в коем случае не 9+9 два раза. И только потом, на более позднем уроке, объяснить им, что порядок на самом деле не имеет значения, и это то же самое.

Те, которые возмущаются, смотрят на это, как на начетничество, считают, что зазубривать такой фиксированный порядок нелепо и ничему не помогает, и говорят, что в любом случае это не оправдывает снижения оценки за правильный ответ.

Мое мнение - за тех, кто "против учителя" и против начетничества. Но об этом подробно говорить уже по-моему бессмысленно (написаны километры за и против); я бы хотел внимательнее приглядеться к аргументу, выделенному выше курсивом. Повторю его тут:

если 2 литра умножить на 9 человек, то в ответе будет 18 литров, а если 9 человек на 2 литра, то в ответе будет 18 человек

Практически теми же словами это сказано в методичке для учителей, ссылка на которую есть выше. Откуда взялось такое убеждение в учебниках арифметики и методичках? Тут надо сослаться на любопытный анализ biglebowsky (стоит прочитать его целиком), который представляет это как "альтернативное умножение":

Оказалось, что огромное количество людей пользуется неким альтернативным умножением по следующей методике:

"В качестве размерности произведения берем размерность первого множителя, т.е., все размерности, упомянутые после первого множителя, из рассмотрения выбрасываем."

Другой способ сказать примерно то же самое - это что мы рассматриваем все множители, кроме первого, как безразмерные. То есть не "два литра умножить на девять человек", а "два литра умножить на девять", и не "девять человек на два литра", а "девять человек на два". В такой форме утверждение защитников учителя даже начинает выглядеть резонным, потому что размерности совпадают: 2л*9=18л, 9ч*2=18ч, и "выходит", что неправильно писать 9*2. Однако на это можно возразить: но почему не сказать 9*2л=18л? В ответ на это защитники учителя говорят: потому что порядок важен, и первой в умножении мы всегда пишем "размерную" величину - литры, человеки, что угодно еще, а второй безразмерную, т.е. 'разы'. Почему так - потому что так проявляется связь с сложением, см. выше. С другой стороны, как при таком подходе понять вычисление площади комнаты размером 6 метров на 6 метров, совершенно непонятно, как справедливо замечает biglebowsky. Если мы всегда смотрим только на первый множитель, почему в произведении оказываются не метры, а квадратные метры?

Хорошо, а как противники учителя анализируют размерность в произведении, т.е. почему действительно, если порядок умножения не важен, 2 литра умножить на 9 человек получается 18 именно литров, а не человек? Потому что, говорят они совершенно резонно, на самом деле это не "2 литра умножить на 9 человек", а "2 литра/человек умножить на 9 человек". Действительно, продают по два литра на человека, т.е. 2 л/ч, и при умножении этого на 9 человек люди сокращаются и остаются одни литры - а в каком порядке умножать, неважно.

До сих пор был краткий пересказ того, что уже написано на эту тему, дальше идут мои соображения. Я решил поискать в англоязычных учебниках следы того же подхода к размерности произведения, следы этого "альтернативного умножения", используя терминологию biglebowsky. И нашел примеры этого в учебниках 19 века, так что это совсем не российское/советское изобретение. Вот два примера:

1. Книга "Arithmetic & its Applications", D.P.Colburn, 1856. Раздел под названием "Multiplication", стр. 76 и далее. Обратите внимание, что четко разделены multiplicand и multiplier, соответствующие в русской терминологии множимому и множителю. Любопытно, что "нормативный" порядок в этой книге противопожен русскому! По-русски учебники, которые настаивают на нормативном порядке, в записи 2*9 определяют 2 как множимое, 9 как множитель, а смысл действия как 'взять 2 девять раз'. Тут наоборот 2*9 означает "взять 9 два раза", и это вполне логично, потому что словами это говорится "2 times 9", т.е. дословно именно "два раза девять".

На странице 79 мы читаем:

NOTE: In changing the order of factors the one taken for the multiplier should always be regarded as an abstract number (see 74g) the other should take the denomination of the original multiplicand. Thus 4 times 3 apples = 12 apples etc.

Здесь "abstract number" как раз означает безразмерное число, а "denomination" - размерность (литры, человеки итд.). То есть, если следовать этим правилам и применить их к задаче про 18 литров, как раз надо записать 9 * 2 литра = 18 литров, но никак на 2 литра * 9 = 18 литров - это неправильно, потому что первый множитель это всегда число "раз", абстрактное, безразмерное число.

2. В другой книге, "The Complete Algebra", Edward Olney (1870), порядок множимого и множителя другой, такой, как по-русски, но суть та же. На странице 50 все написано. В этом учебнике запись "2 x 9" означает словами "nine times two", т.е. множимое, multiplicand, пишется всегда первым, как в русских учебниках. И черным по белому написано: множитель всегда должен быть безразмерным числом. Можно умножить $12 на 5, но как умножить $12 на $5? - это же абсурд.

Отмечу, что я не слишком глубоко копал и не знаю, действительно ли процитированный выше из двух учебников подход был стандартным в описании умножения в 19-м веке по-английски. Если кто-то хочет найти еще примеры и сравнить, то буду рад узнать результаты ваших поисков. Но как минимум это демонстрирует, что этот подход был вполне обычным, и не был придуман в России или СССР.

Напрашивается вопрос, как же в таком случае эти книги рассматривают примеры, когда действительно надо умножать одно размерное число на другое? Например, площадь комнаты размером 6 метров на 6 метров? Во второй из вышепроцитированных книг геометрии нет вообще, но в первой есть определение единицы площади ("square measure"), и целый раздел задач на измерение ("mensuration"), в котором все время умножаются длины. Как же книга это объясняет?

Если честно, я сам до конца не понимаю, это не очень хорошо объяснено, но мне это представляется примерно так. Там, где мы скажем "6 метров умножить * 6 метров = 36 квадратных метра", этот учебник скажет следующее. Есть единица площади, квадратный метр, которую мы представляем вполне геометрически (квадрат размером 1x1), и чтобы узнать, сколько квадратных метров входит в квадрат размером 6 метров на 6 метров, нужно его длину умножить на его ширину, и результат будет вот это число квадратных метров. Т.е. сама операция умножения происходит с безразмерными числами 6 и 6, и мы заранее решили, какая будет размерность результата. Мы не умножаем 6 метров на 6 метров, умножать можно только безразмерные числа или одно размерное число на безразмерное. Так, мне кажется, они это объясняют (прямая цитата, стр. 35: "...and generally any surface must contain as many square units as there are in the product obtained by multiplying its length by its breadth").

Я остановлюсь пока на этом, и в следующей записи перейду к тому, что на самом деле интересно для меня - откуда взялся этот подход, и сравнение его с тем вычислением размерностей, которое нам привычно и логично.

о размерности: литры, люди, километры и часы

Эта запись продолжает предыдущую "о литрах, людях и умножении" - начните с нее, если еще не читали.

Сейчас я расскажу вам, что я лично для себя нового понял из всей этой истории. Не знаю, как для вас, а для меня это понимание было совершенно неожиданным, даже ошеломительным. Я думал, что все понимаю в задаче про 18 литров и вычислении размерностей, а оказалось, что самое важное понимаю не до конца.

Я сидел и читал довольно долго отрывки из разных учебников арифметики 19 века вчера, некоторые из которых процитировал в прошлой записи. И все не мог понять, зачем же им нужны эти странные правила, что только множимое может быть конкретным (литры, люди, метры, доллары), а множитель обязательно абстрактным (разы)? Ведь действительно, самый простой способ записать пример с литрами, чтобы все размерности сходились - это
"2л/ч * 9ч = 18л". Тут все учтено и все логично, и ведь сказано в условии, что по два литра на человека. Или возьмите другой тривиальный пример, который приводили: машина едет 2 часа со скоростью 60 км/ч. Сколько она проехала? Понятно же, что 2ч * 60км/ч = 60км/ч * 2ч = 120км, порядок значения не имеет, часы в любом случае сокращаются и размерности обоих множителей важны для этого. А если по этим книгам 19 века, то непонятно даже, как это записать логично. Почему же они так извращались?

Я вам сейчас задам несколько риторических вопросов, а вы в них вдумайтесь, как следует, не отвергайте как глупые сразу, ладно?

Машина едет со скоростью 60 километров в час. Или, как мы записываем, 60 км/ч. Единица измерения - единица скорости - км/ч.

Скажите, друзья, а что это такое - поделить километр на час? Какой у этого действия смысл? Когда это вы такое видели? Я знаю, что такое поделить километр на 10 равных частей, например. Поделить пирог на три куска. Поделить 18 на 3. Это все я понимаю. А что такое "поделить километр на час"?

Фермер продал 9 покупателям по 2 литра на человека, мы записываем 2 л/чел * 9чел = 18л. Извините, а что это такое "л/чел"? Как это - поделить литр на человека? Как вы себе такое представляете?

Я знаю, что такое километр в час, это значит, что одному часу соответствует один километр. Но я не знаю, что такое километр поделить на час. Я знаю, что такое литр на человека, это значит, что один человек получает один литр. Но я не знаю, что такое литр поделить на человека, если пользоваться тем понятием 'деление', которое мы знаем из арифметики. То, в котором можно поделить пирог на троих или 10 на 2.

Но мы говорим вслух "километр в час", а записываем км/ч. Говорим вслух "литр на человека", а записываем л/ч. Я осознал, что я это делаю, не задумываясь ни на секунду о том, что это несколько разные вещи. Я предлагаю вам продумать это, как следует - ведь это прекрасно совершенно, мы постоянно пишем бессмыслицу, не задумываясь об этом! (я преувеличиваю ради риторики, это не бессмыслица, конечно, но можно так на это посмотреть). Все эти км/ч - что это такое вообще?

"км/ч" - это использование, повседневное и незаметное, метода размерностей. "км/ч" - это такой способ записать алгебраически обычное и понятное "километр в час", чтобы потом обычными правилами умножения этих абстрактных единиц все "правильно сократилось". Когда мы записываем 60 км/ч * 2 ч = 120 км, то все удобно сокращается, потому что мы так специально подстроили, записав км/ч в виде дроби. По природе своей в этом понятии скорости нет дроби в арифметическом смысле, нет деления, как мы его знаем из арифметики.

Каковы на самом деле единицы скорости, что такое "60 километров в час"? Это фиксирование определенного масштабирования, определенного способа совместить шкалу "километры" и шкалу "часы". В этом нет ничего от "деления", но у этой операции общие свойства с делением. Если мы берем сколько-то "километров в час" и умножаем их на сколько-то "часов", то в результате будут только "километры". Это раз. Более того, если мы изменим масштаб километров (перейдем в метры, скажем), то скорость изменится в одну сторону, а если изменим масштаб часов, то в другую (километры в метры - скорость увеличится; часы в секунды - уменьшится). Это ровно то, что происходит с делением: если делитель увеличить, частное увеличится, делимое увеличить - частное уменьшится. Выходит, что эту операцию фиксации масштаба, операцию "в,на", удобно записать в виде деления "км/ч", и все единицы размерности будут себя вести ровно так, как нам надо.

Но кто-то должен был это придумать. Это не очевидно "просто так", что можно взять и записать "километр в час" как км/ч. И я не знаю, когда это придумали, но в 19-м веке, судя по всему, так не делали! Я просмотрел, например, несколько учебников механики 19 века. Когда там описывается скорость, везде пишут "feet per second" итд., нигде ни разу не написано "f/s" или m/s или еще как. Нам кажется странным, что они так не писали, а с их точки зрения, вполне резонной, это же полный бред: как можно метры поделить на секунду, зачем писать такую чепуху???

(да, они умели, конечно, оперировать многочленами, и понимали, что такое x/y. Но зачем, с их точки зрения, относиться к конкретным метрам и секундам как к неизвестным величинам x и y? Опять-таки, бред какой-то).

В "Британнике" за 1911 год я прочитал статью о единицах измерения, и там сказано, что метод размерностей впервые был сформулирован в 1822 году, в книге Фурье "Аналитическая теория тепла". Вот соответствующий раздел этой книги в английском переводе (раздел "General remarks"). Фурье объясняет там, что в каждом физическом уравнении размерности длины/времени/температуры/итд. с двух сторон должны быть одинаковыми, и этим удобно пользоваться. Но он не пишет, как написали бы мы сейчас, что если слева m/s^2, то и справа должно быть m/s^2. Он не делит метры на секунды! Он пишет, что в такой ситуации у длины есть экспонента +1 с обеих сторон уравнения, а у времени экспонента -2. И объясняет, что это значит, с точки зрения перехода на другие единицы (скажем, если экспонента длины +1, то увеличив длину в 10 раз, мы увеличим значение в 10 раз, а если -1, то уменьшим в 10 раз). Но ему не приходит в голову взять эти единицы размерности и записать их делением (или умножением!). Это определенный дополнительный абстрактный шаг, который кто-то когда-то придумал позже, возможно, в конце 19-го века или даже начале 20-го. Я бы хотел проследить, кто и когда (если у вас есть идеи, поделитесь).

И вот это меня ошеломило, на самом деле - что столь очевидное для меня км/ч или л/чел или что угодно еще на самом деле даже в конце 19-го века не использовалось широко, и всего за последние 100 лет так твердо вошло в наш математический язык, что школьники сейчас пользуются этим, не задумываясь ни на секунду.

Но вот что следует признать из всего этого, и опять-таки мне это было нетривиально понять - что как минимум школьникам в младших классах, которым только объясняют, что такое умножение, объяснять "2 л/чел * 9 чел" было бы совершенно неправильно. Нам эти 2л/чел кажутся совершенно прозрачным способом написать "2 литра на человека", но на самом деле это нетривиальная абстракция (до которой в 19-м веке не додумались!), в определенном смысле "нечестное" использование деления - которого эти школьники вообще еще не знают - для того, чтобы сошлись размерности. Это не значит, что я согласен с защитниками того самого учителя, нет; все равно и 2*9, и 9*2 надо считать правильным ответом. Но до того, как я обо всем этом как следует подумал, я бы наивно предложил объяснить детям про 2л/чел, а теперь понимаю, что это куда сложнее, чем материал "что такое умножение", который они проходят.