о размерности: литры, люди, километры и часы

[avva]

Эта запись продолжает предыдущую "о литрах, людях и умножении" - начните с нее, если еще не читали.

Сейчас я расскажу вам, что я лично для себя нового понял из всей этой истории. Не знаю, как для вас, а для меня это понимание было совершенно неожиданным, даже ошеломительным. Я думал, что все понимаю в задаче про 18 литров и вычислении размерностей, а оказалось, что самое важное понимаю не до конца.

Я сидел и читал довольно долго отрывки из разных учебников арифметики 19 века вчера, некоторые из которых процитировал в прошлой записи. И все не мог понять, зачем же им нужны эти странные правила, что только множимое может быть конкретным (литры, люди, метры, доллары), а множитель обязательно абстрактным (разы)? Ведь действительно, самый простой способ записать пример с литрами, чтобы все размерности сходились - это
"2л/ч * 9ч = 18л". Тут все учтено и все логично, и ведь сказано в условии, что по два литра на человека. Или возьмите другой тривиальный пример, который приводили: машина едет 2 часа со скоростью 60 км/ч. Сколько она проехала? Понятно же, что 2ч * 60км/ч = 60км/ч * 2ч = 120км, порядок значения не имеет, часы в любом случае сокращаются и размерности обоих множителей важны для этого. А если по этим книгам 19 века, то непонятно даже, как это записать логично. Почему же они так извращались?

Я вам сейчас задам несколько риторических вопросов, а вы в них вдумайтесь, как следует, не отвергайте как глупые сразу, ладно?

Машина едет со скоростью 60 километров в час. Или, как мы записываем, 60 км/ч. Единица измерения - единица скорости - км/ч.

Скажите, друзья, а что это такое - поделить километр на час? Какой у этого действия смысл? Когда это вы такое видели? Я знаю, что такое поделить километр на 10 равных частей, например. Поделить пирог на три куска. Поделить 18 на 3. Это все я понимаю. А что такое "поделить километр на час"?

Фермер продал 9 покупателям по 2 литра на человека, мы записываем 2 л/чел * 9чел = 18л. Извините, а что это такое "л/чел"? Как это - поделить литр на человека? Как вы себе такое представляете?

Я знаю, что такое километр в час, это значит, что одному часу соответствует один километр. Но я не знаю, что такое километр поделить на час. Я знаю, что такое литр на человека, это значит, что один человек получает один литр. Но я не знаю, что такое литр поделить на человека, если пользоваться тем понятием 'деление', которое мы знаем из арифметики. То, в котором можно поделить пирог на троих или 10 на 2.

Но мы говорим вслух "километр в час", а записываем км/ч. Говорим вслух "литр на человека", а записываем л/ч. Я осознал, что я это делаю, не задумываясь ни на секунду о том, что это несколько разные вещи. Я предлагаю вам продумать это, как следует - ведь это прекрасно совершенно, мы постоянно пишем бессмыслицу, не задумываясь об этом! (я преувеличиваю ради риторики, это не бессмыслица, конечно, но можно так на это посмотреть). Все эти км/ч - что это такое вообще?

"км/ч" - это использование, повседневное и незаметное, метода размерностей. "км/ч" - это такой способ записать алгебраически обычное и понятное "километр в час", чтобы потом обычными правилами умножения этих абстрактных единиц все "правильно сократилось". Когда мы записываем 60 км/ч * 2 ч = 120 км, то все удобно сокращается, потому что мы так специально подстроили, записав км/ч в виде дроби. По природе своей в этом понятии скорости нет дроби в арифметическом смысле, нет деления, как мы его знаем из арифметики.

Каковы на самом деле единицы скорости, что такое "60 километров в час"? Это фиксирование определенного масштабирования, определенного способа совместить шкалу "километры" и шкалу "часы". В этом нет ничего от "деления", но у этой операции общие свойства с делением. Если мы берем сколько-то "километров в час" и умножаем их на сколько-то "часов", то в результате будут только "километры". Это раз. Более того, если мы изменим масштаб километров (перейдем в метры, скажем), то скорость изменится в одну сторону, а если изменим масштаб часов, то в другую (километры в метры - скорость увеличится; часы в секунды - уменьшится). Это ровно то, что происходит с делением: если делитель увеличить, частное увеличится, делимое увеличить - частное уменьшится. Выходит, что эту операцию фиксации масштаба, операцию "в,на", удобно записать в виде деления "км/ч", и все единицы размерности будут себя вести ровно так, как нам надо.

Но кто-то должен был это придумать. Это не очевидно "просто так", что можно взять и записать "километр в час" как км/ч. И я не знаю, когда это придумали, но в 19-м веке, судя по всему, так не делали! Я просмотрел, например, несколько учебников механики 19 века. Когда там описывается скорость, везде пишут "feet per second" итд., нигде ни разу не написано "f/s" или m/s или еще как. Нам кажется странным, что они так не писали, а с их точки зрения, вполне резонной, это же полный бред: как можно метры поделить на секунду, зачем писать такую чепуху???

(да, они умели, конечно, оперировать многочленами, и понимали, что такое x/y. Но зачем, с их точки зрения, относиться к конкретным метрам и секундам как к неизвестным величинам x и y? Опять-таки, бред какой-то).

В "Британнике" за 1911 год я прочитал статью о единицах измерения, и там сказано, что метод размерностей впервые был сформулирован в 1822 году, в книге Фурье "Аналитическая теория тепла". Вот соответствующий раздел этой книги в английском переводе (раздел "General remarks"). Фурье объясняет там, что в каждом физическом уравнении размерности длины/времени/температуры/итд. с двух сторон должны быть одинаковыми, и этим удобно пользоваться. Но он не пишет, как написали бы мы сейчас, что если слева m/s^2, то и справа должно быть m/s^2. Он не делит метры на секунды! Он пишет, что в такой ситуации у длины есть экспонента +1 с обеих сторон уравнения, а у времени экспонента -2. И объясняет, что это значит, с точки зрения перехода на другие единицы (скажем, если экспонента длины +1, то увеличив длину в 10 раз, мы увеличим значение в 10 раз, а если -1, то уменьшим в 10 раз). Но ему не приходит в голову взять эти единицы размерности и записать их делением (или умножением!). Это определенный дополнительный абстрактный шаг, который кто-то когда-то придумал позже, возможно, в конце 19-го века или даже начале 20-го. Я бы хотел проследить, кто и когда (если у вас есть идеи, поделитесь).

И вот это меня ошеломило, на самом деле - что столь очевидное для меня км/ч или л/чел или что угодно еще на самом деле даже в конце 19-го века не использовалось широко, и всего за последние 100 лет так твердо вошло в наш математический язык, что школьники сейчас пользуются этим, не задумываясь ни на секунду.

Но вот что следует признать из всего этого, и опять-таки мне это было нетривиально понять - что как минимум школьникам в младших классах, которым только объясняют, что такое умножение, объяснять "2 л/чел * 9 чел" было бы совершенно неправильно. Нам эти 2л/чел кажутся совершенно прозрачным способом написать "2 литра на человека", но на самом деле это нетривиальная абстракция (до которой в 19-м веке не додумались!), в определенном смысле "нечестное" использование деления - которого эти школьники вообще еще не знают - для того, чтобы сошлись размерности. Это не значит, что я согласен с защитниками того самого учителя, нет; все равно и 2*9, и 9*2 надо считать правильным ответом. Но до того, как я обо всем этом как следует подумал, я бы наивно предложил объяснить детям про 2л/чел, а теперь понимаю, что это куда сложнее, чем материал "что такое умножение", который они проходят.

Comments

[a-bugaev.livejournal.com]

Со скоростью деление км/ч могло бы вытекать из дифференцирования dx/dt. Тут вполне естественно возникает переход от "в" к "/".

Но с размерностью "л/чел" будет непросто.

[ibsorath.livejournal.com]

нет. даже если не лезть в дифференцирование, и брать среднюю скорость, которая просто s/t, то значение скорости - это значение расстояния, деленное на значение времени. Но о размерностях тут речи не идёт. Само понятие размерности в виде умножения и деления базовых размерностей - это поздняя и нетривиальная придумка, сама по себе не вытекающая из формул.

[substractor.livejournal.com]

а возведение в дробную или отрицательную степень тоже надо пытаться представить в натуральном виде?.

[3d-object.livejournal.com]

Это вопрос скорее абстрактный. Например, Better Place продает электричество не в киловаттах, а в километрах.

[vitus_wagner]

Как в Германии пиво в метрах продают, это я понимаю. Но электричество в километрах?

[vllad-gordeyev.livejournal.com]

Поделить литры на человеков просто. Деление в чистом виде: берете десять литров молока, отливаете одному пять и другому столько же. Жена каждый день по три раза суп так наливает и не видит нелогичности.

[thawing-wind.livejournal.com]

О! А также конфеты, яблоки и прочие ништяки хорошо делить на человеков, главное - чтобы поровну.:)

[evocator.livejournal.com]

Браво! Ваша способность к остранению не прекращает радовать.

[i-am-a-jew-01.livejournal.com]

учитель обязан был на уроке привести пример умножения

2л*9 = 9*2л = 18л и не морочить ребенку голову

[the-aaa13.livejournal.com]

Из каких правовых отношений проистекает эта конкретная обязанность учителя?

[janatem.livejournal.com]

Когда я писал свой пост про эти несчастные литры и человеков, тоже задумывался о том, где лежит обоснование этой, грубо говоря, теории размерностей. Почему можно приписать величинам размерности и почему они должны формально совпадать в обеих частях равенства. Я не смог внятно ответить себе на этот вопрос. Невнятный ответ звучит так: философски-неформальное обоснование идет из физики, а математического обоснования как такового нет — есть ad hoc формализм, который получился непротиворечивыми (что можно в некотором смысле «доказать», если смотреть на преобразования формул как на манипуляции с символами) и полезным на практике.

PS. А имперская система раздражает меня не только единицами одной размерности, коряво выражающиеся друг через друга, но и обозначениями типа mph (которое вызывает твердую ассоциацию). Еще доставляет такая единица как FLOPS, про которую не могут решить, то ли это FLoating OPerations per Second, то ли просто FLoating OPerationS. Как будто люди боятся поставить знак деления или умножения между единицами размерностей. Скорее всего, это дань консерватизму, а современные обозначения появились, действительно, недавно — в XX веке.

[onemorepash.livejournal.com]

Насчет совпадения размерностей в обеих частях — вроде бы как есть какая-то теорема по этому поводу: http://ufn.ru/ufn53/ufn53_1/Russian/r531n.pdf

В сущности, анализ размерности — это довольно хорошо разработанная дисциплина. Мне когда-то в институте про это немножко рассказывали, но я почти все забыл. В частности даже приводили пример какой-то достаточно известной физической формулы, которую то ли вообще невозможно получить никаким способом, кроме как анализом размерности, то ли можно, но как-то очень через одно место.

Ключевым философским понятием, про которое математика ничего не знает, мне кажется, можно считать понятие независимой размерности. Определение ее действительно чисто умозрительное: величины с независимыми размерностями нельзя представить в виде комбинации других величин с независимыми размерностями. Или, что то же самое, из величин с независимыми размерностями нельзя построить безразмерного комплекса.

Собственно, похоже (мне кажется), что вся фундаментальность вопроса в это и упирается. Так же как независимые события являются ключевым фактором, отличающими теорию вероятности от функана и другой математики про пространства с мерой.

Впрочем в математике ведь, мера — всегда сопоставление чисел (удовлетворяющих каким-то требованиям, но без всякого закона, т. е. математичка не отвечает на вопрос КАК выбираются числа) элементам множества. Соответственно, откуда берется эта независимость, математика действительно ничего не знает.

Даже в школьном учебнике геометрии длина и площадь определены именно как мера, т. е., сопоставленные объектам, которые должны удовлетворять требованиям типа аддитивности, неотрицательности и т. п., но про ответ на вопрос Анатолия там ничего не говорится (и правильно, потому что это не про математику).

Я не буду тут фантазировать на тему, в которой не силен, но-моему, если вооружиться понятием независимых размерностей, то все остальное, включая необходимость совпадения размерностей в левой и правой частях равенства, выводится чисто формально-математическими методами примерно теми же способами, какими исследуется возможность перехода от базиса к базису, линейная независимость и т. п.

[cmm.livejournal.com]

я примерно подобное же чувство лёгкой нереальности испытывал, когда "следил за руками" автора какого-то писания про Хаскель.  где рассуждение было примерно такое: "что же такое делает функция f и для чего она нужна?  а это очень просто понять, внимательно посмотрев на её тип!".

[gineer.livejournal.com]

1/чел -- это доля на человека
проценты, промиле -- туда же.

[bortans.livejournal.com]

Это все, на самом деле, аргументы в пользу того, чтобы понятием размерности вообще не загружать младших школьников, которые еще не выучили даже деления. Умножение же проще всего представлять как количество элементов в "целочисленном" прямоугольнике n x m, откуда сразу очевидна его коммутативность. Где у строк и столбцов размерности? Это просто "числа" или "штуки", совершенно равноправные столбцы и строки. Про это и надо говорить при изучении умножения, а не про бессмысленные понятия множитель и множимое, или про то, как размерности сокращаются (про последнее можно рассказать позже).

Да, конечно, не все было сразу очевидным. Но даже и символьная запись в математике появилась только в 17-ом веке, до этого все было только словами, включая решения уравнений третьей и четвертой степени. И, конечно, деление у размерностей это подгонка, но это ведь верно по отношению к ЛЮБОМУ делению, а не только к делению размерностей. Ведь деление это всего лишь обратная операция к умножению, т.е. "подгонка под умножение" по самому своему определению. Глубокого "физического смысла" в ней кроме этого нет. Дроби как "разрезание яблока или пирога на части" - прокатит только в первых классах. Потом же понимаешь, что, например, рациональные дроби - это классы эквивалентности пар чисел с определенным образом заданной операцией умножения. А, например, деление в мультипликативных группах - это умножение на обратный элемент.

И, например, "степень 1/2" вместо "квадратного корня" это же тоже подгонка для того, чтобы с корнями и дробными степенями можно было производить те же операции, что и с обычными целочисленными степенями, т.е. (a^n)*(a^m)=a^(n+m) и т.д.

Кстати, недавно встретил такую ссылку по поводу математической формализации понятия размерности: A mathematical formalisation of dimensional analysis, возможно вам будет интересно. Это известный математик и подход кажется интересным, но детально я еще не вчитывался.

[http://users.livejournal.com/_glav_/]

Для младших школьников совершенно неочевидно, что исходная задача про человеков и литров аналогична задаче о количестве элементов в прямоугольнике. Потом, когда понятие абстрактного числа становится привычным, это можно и показать. А привыкание к абстрактности числа как раз и происходит при оперировании с этими человеко-литрами и литро-человеками, из наблюдения, что перестановка человеков и литров не меняет результат.

[vadim-i-z.livejournal.com]

Множество постов на эту тему, и мало кто говорит очевидное для физика: что "кружки", "куски сахара" и "человеки" "люди" никакие не размерности. Ибо нет такой единицы измерения - "человек" или "кусок сахара". Ну, разве что кружка в качестве меры объёма :-)

[bortans.livejournal.com]

В предыдущем посту это обсуждали.

[thevlad.myopenid.com (from livejournal.com)]

ну я тут тоже немного потролю адептов литров/чел. в комментариях предложили хорошую физическую аналогию.

>А если вылить те же 18 литров на 9 квадратных метров пола, что >будет?

2 л/м^2. теперь мы спрашиваем, у нас есть два куска пола один 3 м^2 другой 4 м^2 сколько там литров? 2 л/м^2*3 м^2 + 2 л/м^2 * 4 м^2 = 6 л + 8 л. То есть мы проделываем первый шажок и получаем, что на первом куске 6 литров, на втором 8 литров молока, затем складываем.

Теперь если это по аналогии перенести на задачу с магазином, то нас там спрашивают - сколько на N кусках пола (неизвестной площади и неизвестно средним количеством литров на м^2) литров молока, если нам известно что на каждом куске 2 литра? откуда тут могут взяться л/м^2 и прочая ересь? притом если почитать комментарии в исходных темах откуда это все пошло, то литры/человека является всеобще преобладающей и "признанной" версией - отличный пример "синтаксического мышления" и виральности мнений.

[vllad-gordeyev.livejournal.com]

Хоть синтетическое, хоть синтаксическое, хоть похуистическое: зашли девять человек, каждый несет по две бутылки водки. Вот вам размерность, она изначально задана, в условии. ЗАДАНА, блять, учителем. Только сам учитель об этом не знает, почему-то. Вопрос: почему?

[http://users.livejournal.com/_glav_/]

Ну объяснять умножение через л/чел было бы неправильно уже только потому, что операция деления вводится после операции умножения и с помощью умножения. А деление "размерных" чисел - тем более

[nashev.livejournal.com]

Единственный верный аргумент против аппеляции к л/ч, и полный игнор. Возразить нечего, ага. Однако вокруг всякое обсуждалось, как будто его не было...

[http://users.livejournal.com/_benvenuta_/]

Именно, именно. В любой науке есть понятия, а то и целые глыбы практической теории, которые абсолютно ясны специалисту и абсолютно непонятны новичку, не имеющему за плечами опыт прохождения от атома к слону. Как получился слон и почему он считается абсолютной, непререкаемой реальностью? Он аксиома или имеется целая теория, полная доводов и практик, уже доказанных? Для специалиста, который уже знает, слон реальность. Бывают товарищи, которые не опустятся до уровня тех, кто этого не понимает, не начинают с таких азов, с атома.
Если таким товарищем является учитель, то это караул. Детям придется просто зубрить "как учитель сказал". И хорошо, если этот паразит сказал до контрольной, а не после, на разборке полетов. Особенно караул, потому что редкая сволочь птица среди таких товарищей еще и упустит случай дать качественную и количественную характеристику не понимающим его ученикам. Высокие стороны в этом случае, как обычно, показывают за спиной фак друг другу и расходятся, так мало чему и научившись.

[buddha239.livejournal.com]

Собственно, в школе совершенно правильно говорится, что деление - действие, обратное к умножению.:) То есть никакого собственного мистического смысла в нем нет. А вот л/чел - это таки да, некая абстракция, которая при умножении на людей дает литры.

[xaxam.livejournal.com]

Интересно, что никто не задаётся вопросом, что же такое вообще 1/2 или 2/3. Все с лёгкостью себе представляют в ответ пол-яблока или две трети пиццы. А на вопрос, - как же так, ведь два НЕ ДЕЛИТСЯ на 3, а единица ВООБЩЕ НИ НА ЧТО НЕ ДЕЛИТСЯ, - предпочитают не отвечать...

[alexander anciferov (from livejournal.com)]

Операция умножения(и обратная к ней операция деления) определенная на множестве размерностей наверное обьясняется общей алгеброй. http://en.wikipedia.org/wiki/Abstract_algebra

Операции умножения(деления), сложения(вычитания) можно определять для дыркок от бубликов.

[xraptor.livejournal.com]

По-моему, это методическая проблема, а не математическая. Существует некая схема, по которой надлежит учить учеников в школе. Не важно, как она соотносится с правилами математики. Но есть представление, если, дескать, ученик будет умножать не "абстрактно", а соблюдая определённый стиль записи множителей таким-то способом, потом ему будет проще освоить что-то (размерности, например). Насколько это соответствует действительности, вопрос чисто педагогический.

Допустимо ли чтобы учитель сильно снижал за это оценку? Исходя из здравого смысла - нет, однако, если учитель заранее обговаривал требования к записи решения задачи на уроке, в рамках действующей схемы обучения, мог и снизить. Опять же, не важно насколько это математически правильно, важно что мозг ученика был вправлен в нужном направлении.

Понятно, что с точки зрения человека со сформированным представлением о математике, это выглядит дико. Я помню, когда я учился, были жаркие споры, допустимо ли в знаке умножения писать "*" вместо "X".

Другое, дело насколько такая методика обучения хороша и эффективна. Это вопрос спорный, и тоже относится к сфере педагогики. Подозреваю, для каждого ребёнка - по разному. Кому-то поможет, кто-то наоборот привыкнет зубрить, не вдумываясь в смысл. Следствие унификации образования. Не знаток детской психологии, но по своему опыту, эффект больше отрицательный. С ужасом вспоминаю все эти "отступите 5 клеточек от левого края страницы" и прочее крючкотворство и формализм. Он воспитывает страх думать, неистребимый до окончания института. Часто вижу, как студент не может решить задачу не потому что не может, а потому что боится, что "сделает что-то не так", и приходит к неизбежному выводу, что безопаснее списать.

[http://users.livejournal.com/_glav_/]

С ещё одним замечанием, что учитель оценивает не правильность ответа, а усвоение пройденного материала, проблема становится действительно исключительно методической.

[bamsic.livejournal.com]

Вроде, с делением км на ч всё просто.
Что такое скорость? Это расстояние за время.
Как получить величину скорости? Надо величину расстояния разделить на величину времени. Так ведь?
Т.е. если поезд прошел 50 км за 5 ч, то он двигался со скоростью 10 км в(за) ч. Вот из этих расчетов и получилось км/ч...
Тут вопрос в том, откуда они узнали, что надо расстояние делить на время?

[redtigra.livejournal.com]

в общем, можно было вполне и в часах на км. бегуны так меряют, только в минутах на километр.

[qehgt.livejournal.com]

У древних греков все операции над числами имели вполне ясное геометрическое толкование -- например, (a x b) означало площадь прямоугольника с соответствующими сторонами.

Как следствие, запись (a x b x c x d) для них смысла уже не имела (да, та же формула Герона - уже "плохая и неправильная").

Вот все эти битвы "как правильно 2 на 9 умножать" - они такого же плана. Спор взрослых людей на эту тему выглядит смешно.

[mediaplayer.livejournal.com]

Avva, спасибо, интересный анализ.

Но при всем этом мне вспоминается другой скриншот с плохой оценкой - зачеркнутая запятая в сочинении второкласника, и написано - "Такое правило мы еще не проходили".

Мое мнение - какая разница что было раньше?. Если ребенку все понятно, то надо двигаться дальше, а не пользоваться методологиями двухвековой давности. Средний уровень интеллектуального развития каждого поколения растет, и то, до чего сложно было додуматься два века назад, сейчас очевидно первокласнику.


Абсолютно не поддерживаю учительницу, и, более того, считаю невозможным ее допуск к преподаванию.

[vasaku.livejournal.com]

у меня тоже с этого скандала было несколько инсайтов в, казалось бы, простейшем и очевидном вопросе - смысл умножения.

а вообще шаг с делением размерностей - чисто алгебраический выверт, и его появление естественно, при условии развития алгебры, как раз последние два века, в основном.

мне не кажется что это очень уж сложно объяснять детям. принцип - всё что ведет себя как утка, выглядит как утка, звучит как утка, - считаем примерно уткой, прост и понятен.

[vasaku.livejournal.com]

а ещё отличная аналогия к происходящему - шаблоны C++. пофиг что это на самом деле, главное чтобы поддерживал определенные операции.

[dark-beer.livejournal.com]

Для меня в свое время было откровением прочитать в книге Арнольда (Теоретическая арифметика ЕМНИП) про разницу между количественными числами и порядковыми.

[artuska.livejournal.com]

Скопипэйстите сюда мысль? Или может ссылка есть?

[a-young.livejournal.com]

Интересно, а в сокращениях "с/м" и "б/г" тоже сокрыт сакральный арифметический смысл?
("свеже-мороженый" и "без головы", если кто давно не бывал в магазинах)
А так же в часто употребимом знаке --/--, заменяющем повтор приведённого выше значения.

[redtigra.livejournal.com]

с/м - это еще и с мякотью. неоднозначная размерность, однако.

[onemorepash.livejournal.com]

Кстати, между прочим, обратный тип размерности, в которой употребляется умножение, а не деление — до сих пор в массе интуитивно не очень понятен: киловат умножить на час, ньютон умножить на метр и т. д.

Т. е., опять же, арифметически все верно, но интуитивно это уже, согласитесь, далеко не так легко воспринимается.

Кроме того, есть еще например логарифмические единицы: децибелы. Или, скажем, децибел-миливатты. Не смотря на очень, казалось бы, простой аналитический смысл всех этих делений и логарифмирований, интуитивное понимание этих величин не является навыком по умолчанию. Нутром их воспринимают только люди, часто встречающиеся с ними на практике.

[biglebowsky.livejournal.com]

Спасибо за интересный исторический обзор!

[dphq.livejournal.com]

>>Я знаю, что такое километр в час, это значит, что одному часу соответствует один километр. Но я не знаю, что такое километр поделить на час.

На этом предложении было бы хорошо сделать паузу, открыть школьный учебник и найти там абзац с определением "отношение пройденного телом пути к затраченному времени".

[orlangur-8eyed.livejournal.com]

А если задуматься ещё глубже и прийти к частным производным... А если ещё глубже и прийти к теории групп... :-)